Zinematika

Higidura zirkularra

Higidura zirkularra

Ibilgailu bi
topo egiten

Magnitude linealen 
eta angeluarren
arteko erlazioa

Kasete-zinta

Azelerazio normala

aN eta aT: bestelako
dedukzioak

Saiakuntza

Erreferentzia

Galileo eta Descartes-ek jadanik aipatuta zeukaten higidura zirkular eta uniformeaz mugitzen ari den gorputz batek azelerazioa baduela. Huygens izan zen kalkulu hau ebatzi zuen lehena, baina Newtonek erabilitako prozedura askoz errazagoa eta ulergarriagoa da azelerazio normalaren adierazpena deduzitzeko.

Azelerazio normalaren adierazpena deduzitzeko, Newtonek suposatu zuen partikula batek gainazal zilindriko baten barneko aldetik behin eta berriz talka egiten zuela: partikularen ibilbidea poligonal bat da. Dedukzio hori ez da oso zorrotza baina garrantzia historiko handia dauka.

Azelerazio normala, Newtonek egindako dedukzioa

Dedukzio honetan garrantzitsuena abiaduraren aldaketa kalkulatzea da, eta ez hainbeste zerk eragiten duen abiadura aldaketa hori: gainazal baten kontrako talkak, grabitateak edo bestelako indar batek.

Demagun partikula bat zuzen mugitzen ari dela, v abiadura konstanteaz, eta gainazal zurrun baten aurka talka egiten duela. Irudiak erakusten duenez, gainazalaren perpendikularra den abiaduraren osagaia,  v·cosq  , alderantzikatu egiten da talkaren ondorioz. Beste osagaia ordea, gainazalaren paraleloa dena,  v·sinq , ez da aldatzen. Beraz, gainazal zurrunaren aurkako talkak eragindako abiadura-aldaketa honakoa da: Dv=2vcosq

Demagun orain gainazal zurruna zilindroa dela, eta r erradioa duela:

Irudiak talka bakoitzeko Dv abiadura-aldaketa erakusten du: v’ abiadura ondoren (urdinez) eta v abiadura lehenago (gorriz). Abiadura-aldaketa, Dv, erradiala da eta zentrorantz, partikula deskribatzen ari den ibilbidearekiko. Abiadura aldaketaren modulua hau da:

Adierazpen hori bera abiaduraren diagramatik ere deduzi daiteke: lehenagoko eta ondorengo abiadurek, biek, hiruki isoszelea osatzen dute, f  angelua du, eta hiruki horretan aurreko aldearen luzera kalkulatuz emaitza bera ematen du.

Partikularen abiadura konstantea da tarte zuzenetan, eta beraz azelerazioa nulua da. Baina partikulak gainazal zurrunaren aurka talka egitean norabidea bat-batean aldatzen du, modulua aldatu ez arren, eta beraz azelerazioa badago. Batezbesteko azelerazioa kalkulatzen bada, ondoren frogatuko denez, azelerazio normala lortzen da.

Partikulak gainazalaren aurka n talka burutu ondoren, eta bira osoa ematean, n aldedun poligono erregular bat deskribatu du. Biratutako angelu osoa 2p da, beraz: f =2p/n. Orduan n talkaren ondoren abiadura-aldaketa totala honakoa da:

Kalkula dezagun gainera, partikulak ibilbidea burutzeko tardatzen duen denbora (n aldedun poligono erregular bat):

Poligonoaren alde batek eta erradio bik hiruki isoszele bat osatzen dute. Hiruki horretan aldea kalkula daiteke erpinaren f  angelua ezaguna bada. Poligono erregularraren luzera osoa perimetroa da:

Partikularen abiadura norabidez aldatzen da baina modulua ez. Beraz poligono osoa betetzeko tardatzen duen denbora, edo periodoa, hau da: P=l/v

Eta hortaz, azelerazioaren moduluaren batezbesteko balioa hau da:

Batezbesteko azelerazioa infinitu talkarekin

Lehenago kalkulatu den bezala, partikulak n talkaren ondoren jasandako abiadura-aldaketa totala hau da:

Baina n oso handia bada (infinitura jotzen badu) f  angelua oso txikia izango da, eta angeluaren sinua angeluaren beraren ordez ordezka daiteke. Hortaz, partikulak jasandako abiadura-aldaketa totala hau da:

Gainera, n oso handia bada (infinitura jotzen badu) partikulak deskribatzen duen poligono erregularraren perimetroa r erradiodun zirkunferentzia da.

Eta abiaduraren v modulua talketan aldatzen ez denez, zirkunferentzia osoa osatzeko tardatuko duen denbora honakoa izango da:

Hortaz, batezbesteko azelerazioaren modulua hau da:

Baina zirkuluaren simetria bere zentroarekiko konstantea denez, azelerazioa konstantea da eta konstante baten batezbestekoa aldiunekoaren berdina da. Beraz, partikularen azelerazioa edozein aldiunetan:

Saiakuntza

Idatzi:

• Horma zirkular eta zurrunaren erradioa.
• Partikularen abiadura.

Berria botoia sakatu.

Hasiera baten, partikulak hiruki aldekide bat jarraitzen du, beraz, hiru talka burutzen ditu hormaren aurka.

Hurrengoa botoia sakatuz, partikularen ibilbidea den poligono erregularraren alde kopurua handitzen joan daiteke n=4, 6, 10, 12... alde.

Programak honako kalkuluak burutzen ditu:

• Partikulak poligonal osoa burutzeko tardatzen duen denbora.
• Abiadura-aldaketa talka bakoitzean.
• Abiadura-aldaketa osoa hormaren aurkako n talketan.
• Batezbesteko azelerazioa: <a>

Talka bakoitzean ere, bektoreen bitartez adierazten dira aurretiko abiadura (gorriz) , ondorengo abiadura (urdinez) eta abiadura-aldaketa (beltzez). Talka bakoitzean ere nabaria da Dv bektorea erradiala dela eta poligonoaren zentrorantz.