Magnitude linealen eta angeluarren arteko erlazioa

prev.gif (1231 bytes)home.gif (1232 bytes)next.gif (1211 bytes)

Zinematika

Higidura zirkularra
Higidura zirkularra
Ibilgailu bi
topo egiten
marca.gif (847 bytes) Magnitude linealen
eta angeluarren
arteko erlazioa
Kasete-zinta
Azelerazio normala
aN eta aT: bestelako
dedukzioak
Magnitude linealak eta angeluarrak

java.gif (886 bytes) Bizikletaren mugimendua

 

Magnitude linealak eta angeluarrak

circular_8.gif (1531 bytes) Radianaren definiziotik (angeluen unitate naturala) arkuaren eta erradioaren arteko erlazioa lortzen da. Irudian ikusten den bezala, angelua lortzeko arkuaren luzera eta erradioa zatitu behar dira:

Denborarekiko deribatzen bada s=rq  , abiadura linealaren eta angeluarraren arteko erlazioa lortzen da:

Abiadura lineala ibilbide zirkularraren tangentea da, alegia norabide erradialaren perpendikularra.

Azelerazio tangentziala

Aurreko atalean lortu den erlazioa denborarekiko deribatuz, at  azelerazio tangentzialaren eta azelerazio angeluarraren arteko erlazioa lortzen da:

Gorputz batek azelerazio tangentziala du, bere abiaduraren modulua denborarekiko aldatzen ari bada

Azelerazio normala

Azelerazio normala kalkulatzea pixka bat zailagoa da: azelerazio normalak abiaduraren norabide-aldaketa adierazten du denborarekiko. Esaterako, higidura zirkular uniformea bada, ez dago azelerazio tangentzialik, abiaduraren modulua ez delako denborarekiko aldatzen. Norabidea baino ez da aldatzen, eta beraz azelerazio normala badauka.

circular_2.gif (2190 bytes)

Demagun gorputzaren higidura zirkular uniformea dela (ikus irudia):

  • t aldiunean, bere abiadura v da; modulua v da eta norabidea zirkuluaren tangentea.
  • t'  aldiunean bere abiadura v' da; modulu bera dauka baina norabidea aldatu da.

Kalkula dezagun gorputzak izandako abiadura-aldaketa t eta t' aldiuneen artean: Dv=v’-v  (ikus irudia).  Dv bektoreak norabide erradiala du eta noranzkoa zirkuluaren zentrorantz. Irudiko hiruki biak, gorria eta urdina, isoszeleak dira eta antzekoak. Hortaz honako erlazio hau bete behar dute:

Hemen Δs desplazamendu-bektorearen modulua da hain zuzen t eta t' aldiuneen artean.

Ekuazioko atal biak denbora-tarteaz zatituz:  Dt=t'-t

Eta Dt denbora-tarteak zerorantz jotzen duenean, Ds zuzenkia eta arkuaren luzera berdinak dira, eta ds/dt hain zuzen, gorputzaren v abiaduraren modulua da:

Laburbilduz, an azelerazio normalaren norabidea erradiala da, eta noranzkoa gorputzaren ibilbide zirkularraren zentrorantz. Gainera, bere modulua hau da:

Hau da azelerazio normalaren dedukziorik elementalena eta klasikoena, eta bere gakoa da, zirkunferentzia bateko puntu bi oso hurbil daudenean, arkuaren luzera eta gorputzaren desplazamendua berdintzen direla. Beste dedukzio ezberdin bat aurki daiteke honako atal honetan:  Azelerazio tangentzialaren eta normalaren bestelako dedukzioak.

 

Laburbilduz

circular_9.gif (1491 bytes) Ibilbide zirkularra jarraitzen ari den gorputz baten abiadurak norabide tangentea dauka.

Gorputzak azelerazio tangentziala izango du, at , bere abiaduraren modulua aldatzen ari bada denborarekiko. Azelerazio tangentzialaren norabidea abiaduraren norabide bera da, tangentea, eta noranzkoa abiaduraren aldekoa, azeleratzen ari bada, baina aurkakoa ordea dezeleratzen ari bada. Gorputzak higidura zirkular uniformea badu ez dauka azelerazio tangentzialik.

Ibilbide zirkularra jarraitzen ari den gorputz batek beti du azelerazio normala, an , abiaduraren norabidea aldatzen ari delako denborarekiko. Azelerazio normalaren norabidea erradiala da, eta noranzkoa zirkunferentziaren zentrorantz.

Gorputzaren azelerazio osoa lortzeko, azelerazioaren osagai biak bektorialki gehitu behar dira.

Adibidea

Gurpil bat biraka ari da ω0=4π rad/s, abiadura angeluarraz. Galgak aplikatzean 4 segundoren buruan gelditu egiten da. Gurpilaren erradioa  r=0.1 m bada, kalkula bedi:

  • Azelerazio angeluarra

ω=ω0+αt

t=4 s aldiunean abiadura angeluarra zero da:  ω=0

α= -π rad/s2

Gelditu artean biratutako angelua hau da:

  • t=1 s aldiunean, gurpilaren posizioa eta abiadura angeluarra:

θ=7π/2=2π+3π/2 rad

ω=4π+(-π)·1=3π rad/s

Gurpilaren ertzeko puntu baten abiadura lineala

v=ω·r     v=0.3π m/s

Azelerazioaren osagai tangentziala hau da:

at=α·r      at= -0.1π m/s2

t=1 s aldiunean, azelerazioaren osagai normala hau da:

an=v2/r    an=0.9π2 m/s2

 

Bizikletaren mugimendua

Mendiko bizikleta batek hiru plater eta zazpi pinoi izaten ditu, eta horrek txirrindulariari 21 konbinazio ematen dizkio.

Suposatuko dugu txirrindulariak platera birarazten duela w1 abiadura angeluar konstanteaz. Zein da txirrindulariak eta bere bizikletak duten abiadura?

Demagun bizikletari dagozkion datu guztiak ezagunak direla:

  • Plateraren erradioa, r1
  • Pinoiaren erradioa, r2
  • Atzeko gurpilaren erradioa, ra
  • Aurreko gurpilaren erradioa, rb

Bizikleta gehienetan, gurpil biak erradio berdinekoak izaten dira, baina posiblea da bizikletaren batean gurpilak ezberdinak izatea, besteak beste erlojuaren kontrako zenbait lasterketetan, eta beheko simulazioan horrela hartu da.

Irudiak plater bat eta pinoi bat adierazten ditu, kateak elkartuta. Ez da zinematika askorik jakin behar euren abiadura angeluarrak erlazionatzen jakiteko. Gakoa da, abiadura angeluarrak erradioen alderantziz proportzionalak direla, ondoren frogatuko denez.

lineal_angular.gif (2876 bytes)

Katearen abiadura, vc , plateraren ertzeko puntu baten abiadura da:

vc=w1·r1

Baina katearen abiadura, vc , pinoiaren ertzeko puntu baten abiadura ere bada:

vc=w2·r2

Berdinduz, abiadura angeluar biak erlazionatzea lortzen da:

w2·r2=w1·r1

Katearen maila bat t denboran A-tik B-raino mugitzen da. Hortaz, platerak q1 angelua biratu du eta pinoiak q2 angelua. Hortik ere honako erlazioa lortzen da:

q2·r2= q1·r1

Azter dezagun orain atzeko gurpila; Pinoia finkoa bada bere abiadura, w2 , eta atzeko gurpilarena berdinak dira.

lineal_angular1.gif (3376 bytes)

Hortaz, atzeko gurpilaren ertzeko puntu baten abiadura, va , honakoa da:

va= w2·ra

Baina hauxe da, hain zuzen, txirrindulariaren eta bere bizikletaren abiadura.

Solido zurrunari dagokion kapituluan zehatzago aztertuko da translazio-abiaduraren eta errotazio-abiaduraren arteko erlazioa, solido batek irristatu gabe errodatzen duenean.

Atzeko gurpilak biratutako angelua  t  denbora horretan:

q a== w2·t

Aurreko gurpilaren ardatza eta atzeko gurpilarena elkarri lotuta daude bizikleta osoaren hodi zurrunekin. Beraz, aurreko gurpilaren translazio-abiadura eta atzekoarena berdinak dira. Eta aurreko gurpilaren abiadura angeluarra:

v= w b·rb

Aurreko gurpilak biratutako angelua t denbora horretan:

q b= w b·t

Adibidea:

Ondorengo programa interaktiboan datu hauek finkoak hartu dira:

  • Atzeko gurpilaren erradioa, ra=30 cm
  • Aurreko gurpilaren erradioa, rb=20 cm
  • Plateraren abiadura angeluarra, w1=1.0 rad/s

Pinoiaren eta plateraren erradioak aldatu daitezke, bizikleta batean bezala:

  • Aukeratu plateraren erradioa, esaterako, r1=7.0 cm
  • Aukeratu pinoiaren erradioa, esaterako, r2=3.5 cm

Abiadurak

Pinoiaren abiadura angeluarra:  3.5·w2=1.0·7.0       w 2=2 rad/s

Hauxe, atzeko gurpilaren abiadura ere bada.

Txirrindulariaren eta bere bizikletaren abiadura:  v=2·30=60 cm/s=0.6 m/s

Aurreko gurpilaren abiadura angeluarra:   60= w b·20      w b=3 rad/s

Desplazamenduak

Segundo batean t=1.0 s

Bizikletaren desplazamendua: x=v·t=60·1.0=60 cm=0.6 m

Platerak biratutako angelua:  q 1= w1·t=1.0·1.0=1.0 rad.

Atzeko gurpilak biratutako angelua:  q a= w2·t=2.0·1.0=2.0 rad.

Aurreko gurpilak biratutako angelua:  q b= w b·t=3·1.0=3 rad

Programa interaktiboarekin lantzeko aukeratu behar dira:

  • Plateraren erradioa dagokion laukian.
  • Pinoiaren erradioa dagokion laukian.

Esan bezala, programa interaktiboan datu hauek finkoak hartu dira:

  • Atzeko gurpilaren erradioa, ra=30 cm
  • Aurreko gurpilaren erradioa, rb=20 cm
  • Plateraren abiadura angeluarra, w1=1.0 rad/s

Hasi botoia sakatu.

Bizikleta osoaren mugimendua ikusten da, platera eta pinoia ere bai.

Applet-aren goiko aldean ondoko informazio guztia ematen da:

  • Denbora
  • Plateraren abiadura angeluarra eta ordura arte biratutako angelua.
  • Bizikletaren abiadura.
  • Bizikletaren desplazamendua, izan ere, zoruan margotuta dagoen eskalan egiazta daiteke.
  • Aurreko gurpilaren erradioa eta berak biratutako angelua.
  • Atzeko gurpilaren erradioa eta berak biratutako angelua.