Zinematika

Higidura zirkularra

Higidura zirkularra

 Ibilgailu bi
topo egiten

Magnitude linealen 
eta angeluarren
arteko erlazioa

Kasete-zinta

Azelerazio normala

aN eta aT: bestelako
dedukzioak

Ibilgailu bi topo egiten ibilbide zirkular batean

Saiakuntzak bi ibilgailurekin, ibilbide zirkular batean topo egiten

Lehenik, erreferentzia gisa, ibilgailu bi aztertuko dira ibilbide zuzen batean topo egiten; ondoren ibilgailu biak ibilbide zirkular batean, eta horrela bi kasuak konparatu ahal izango dira.

Ibilgailu bi topo egiten ibilbide zuzen batean

Demagun ibilgailu bat geldi dagoela eta 1.5 m/s² azelerazio konstanteaz abiatzen dela. Aldiune horretan bertan kamioi batek aurreratzen du 15 m/s-ko abiadura konstanteaz. Kalkula bedi zein posiziotan egingo duten topo berriro ibilgailu biek.

Lehenik idatz ditzagun higiduraren ekuazioak ibilgailuetako bakoitzarentzat:

x₁=15·t
x₂=1.5t²/2

Topo egiteko posizioan  x₁=x₂  eta bigarren graduko ekuazio bat lortzen da:

0.75t²-15t=0

horrek soluzio bi ditu:  t=0, eta t=20.

Topo egiteko aldiune berria t_t=20s da, eta posizioa x_t=300 m irteeratik neurtuta.

Soluzio grafikoa

• Grafikoki adierazten bada x₁ denboraren menpe, zuzen bat ateratzen da, ondoko irudian urdin kolorekoa.
• Grafikoki adierazten bada x₂ denboraren menpe, parabola bat ateratzen da, irudian gorria.

Ebaketa-puntuak topo egitea adierazten du: t_t aldiunea eta x_t posizioa.

Ikus dezagun orain beste ariketa konplexuago bat.

Gorputz bi bertikalki jaurtitzen dira gorantz baina bigarrena bi segundoko atzerapenaz. Lehena 50 m/s-ko abiaduraz eta bigarrena 80 m/s-koaz. Kalkula bedi zein aldiunetan eta zein altueratan egingo duten topo.

Lehen gorputzak airean t denbora daramanean  bigarenak t-2 darama (t>2). Higiduraren ekuazioak honakoak dira:

x₁=50·t-9.8t²/2
x₂=80(t-2)-9.8(t-2)²/2

Ekuazio hori lehengoan bezalaxe ebatz daiteke eta honako emaitzak lortzen dira: t_t=3.62 s, x_t=116.8 m

Soluzio grafikoa

• Grafikoki adierazten bada x₁ denboraren menpe, parabola urdina ateratzen da.
• Grafikoki adierazten bada x₂ denboraren menpe, parabola gorria ateratzen da.

Ebaketa-puntuak topo egitea adierazten du: t_t aldiunea eta x_t posizioa.

Ibilgailu bi topo egiten ibilbide zirkular batean

Ibilgailu bi, A eta B, zirkunferentzia baten gainetik ibiltzen ari dira. Lehen ibilgailuak higidura uniformea du eta bere abiadura 60 r.p.m. da. Bigarrenak ordea higidura uniformeki azeleratua du eta honako azelerazio angeluarra dauka: -p/6 rad/s2. Hasieran lehen ibilgailua A posiziotik pasatzen da eta bi segundo beranduago bigarren ibilgailua B-tik ateratzen da 120 r.p.m-ko abiaduraz. Kalkula bedi zein aldiunetan egingo duten topo ibilgailu biek lehen aldiz.

Ariketa planteatu aurretik ikus dezagun nola mugitzen diren bi ibilgailuak. Itxoin ezazu, B ibilgailua t=2 segundoan abiatzen da-ta.

A-ren higiduraren ekuazioak: higidura zirkular uniformea

A ibilgailua t=0 aldiunean jatorritik abiatzen da.

a_A=0
w_A=2p
q_A=2p t

B-ren higiduraren ekuazioak: higidura zirkular uniformeki azeleratua

B ibilgailua t=2s aldiunean p/2 posiziotik abiatzen da.

Topo egiteak

Topo egitea ez da behin bakarrik gertatzen, q_A=q _B , posizioan, are gehiago, posizio bien kenketa zirkunferentzia oso bat denean ere berriro egiten dute topo biek:

q_A+2kp =q_B   eta k=0, ± 1, ± 2, ± 3...

Azter dezagun taula batean ibilgailu bien posizioa denboraren menpe:

Taulan A eta B ibilgailuen posizioak denboraren menpe adierazten dira eta hortxe ikusten da B ibilgailuak A ibilgailua aurreratzen duela 2.7 eta 2.8 aldiuneen bitartean. Beraz lehen aldiz topo egiten duten aldiunea 2.7 eta 2.8 s bitarteko aldiuneren bat izan behar da.

Taulan ikusten da A eta B ibilgailuen posizioen artean dagoen erlazioa justu honakoa dela:

q_A - 2p =q_B

Bigarren graduko ekuazio horretatik denbora bakanduz, lehen topaldiaren unea ateratzen da: t=2.77 s.

Eta t aldiune hori A eta B ibilgailuen posizioen adierazpenetan ordezkatuz:

q_A=5.56p rad
q_B=3.56p rad

Saiakuntzak bi ibilgailurekin, ibilbide zirkular batean topo egiten

Lehenago erakutsi den applet-a bakarrik da ariketa konkretu hori aurkezteko, baina ondoren datorrena edozein motako topoak praktikatzeko erabil daiteke, betiere ibilbide zirkular batean eta higidura uniformeki azeleratuekin.

Lehen ibilgailuaren higidura-ekuazioak:

Bigarren ibilgailuaren higidura-ekuazioak:

hemen t₀-k adierazten du bigarren ibilgailua noiz abiatzen den.

Ondorengo applet-ean gainera, bi ibilgailuen hasierako baldintzak idazteko, zenbakiz adieraz daiteke, baina, nahi bada, p zenbakiaren zatikiak ere bai. Esate baterako, ibilgailu baten abiadura kasu hauetako bat bada:

• p/2, idatz daiteke: pi/2.
• 3p/2, idatz daiteke 3*pi/2 edota, 3pi/2.
• p, idatz daiteke pi edo PI.

Programak berak itzultzen du testua zenbaki hamartarretan prezisio bikoitza erabiliz.

Idatzi beharrekoak:

Lehen ibilgailuarentzat: (gorria)

• Hasierako posizio angeluarra, θ₀₁, lehen ibilgailuarena t=0 aldiunean, posizioa izeneko laukian.
• Hasierako abiadura angeluarra, ω₀₁, lehen ibilgailuarena t=0 aldiunean, abiadura izeneko laukian.
• Azelerazio angeluarra, α₁, lehen ibilgailuarena, azelerazioa izeneko laukian.

Bigarren ibilgailuarentzat: (urdina)

• Hasierako posizio angeluarra, θ₀₂, bigarren ibilgailua abiatzen denean, t=t₀ aldiunean, posizioa izeneko laukian.
• Hasierako abiadura angeluarra, ω₀₂, bigarren ibilgailua abiatzen denean, t=t₀ aldiunean, abiadura izeneko laukian.
• Azelerazio angeluarra, α₂, bigarren ibilgailuarena, azelerazioa izeneko laukian.

Bigarren ibilgailua abiatzen den aldiunea, t₀, Atzerapena izeneko laukian idatzi behar da.

Azkenik aukera daiteke, ibilgailu bien posizio eta abiadura kontsekutibo bi kalkulatzeko denbora-tartea. Alegia, kalkuluek eta grafikoak  denboran zehar duten zehaztasuna.