Zinematika |
Higidura zirkularra Higidura zirkularra Ibilgailu bi topo egiten Magnitude linealen eta angeluarren arteko erlazioa Kasete-zinta Azelerazio normala
|
Higidura zirkular eta uniformea. Azelerazio normala Higidura zirkular eta ez uniformea. Azelerazio normala eta tangentziala Azelerazio tangentzialaren eta normalaren bestelako dedukzioak Azelerazio normalaren bestelako dedukzioa (I) |
|
| Interesgarria da azelerazio normalaren bestelako dedukzio ezberdinak ere esploratzea. Orri honetan aurkezten den dedukzioa higidura zirkular eta ez uniformeetan ere erabil daiteke. Oso aberasgarria da gero dedukzio ezberdinak elkarrekin konparatzea, bereziki lehenago ere aztertu diren beste biak: Magnitude linealen eta angeluarren arteko erlazioa eta Azelerazio normala, Newtonek egindako dedukzioa. Orri honen amaieran, azelerazio normalaren dedukzio sinple batzuk aipatzen dira, baina higidura zirkular eta uniformerako soilik lortuta daude. Higidura zirkular eta uniformea. Azelerazio normalaDemagun partikula batek ibilbide zirkularra deskribatzen duela, r erradio eta v abiadura konstanteaz.
Partikula t-Dt/2 aldiunean, A posizioan dago eta v1 abiadura dauka (ibilbidearekiko tangentea). Ondorengo une batean, alegia t+Dt/2, posizio simetrikoan dago, B-n, eta bere abiadura v2 da. Bi bektoreek modulu bera dute, v. Koka ditzagun abiadura-bektore biak, v1 eta v2, erdiko P puntuan, eta azter dezagun bien arteko kenketaren (Dv=v2-v1) osagai erradiala (edo normala) eta tangentziala.
Hortaz Dv bektorea PO norabide erradialarekiko paraleloa da eta O zentrorantz da. Partikulak AB arkua v abiadura konstanteaz jarraitzen du, eta arkuak osatzen duen angelua 2f da, beraz:
Orduan, azelerazioaren osagai normalaren batezbesteko balioa:
Azelerazioaren osagai normalaren aldiuneko balioa, batezbesteko balioa da baina denbora-tartea txikia denean, alegia Dt® 0, edota f ® 0. Limite horretan sinf /f ® 1 eta beraz azelerazioak t aldiunean eta P puntuan hauxe balio du:
Jakina, aldiune horretan bertan azelerazioaren osagai tangentziala nulua da: at=0.
Higidura zirkular eta ez uniformea. Azelerazio normal eta tangentzialaDemagun partikula A puntutik pasatzen dela t-Dt1 aldiunean eta v1 abiadura duela (ibilbidearen tangentea) eta B puntutik pasatzen dela t-Dt2 aldiunean eta v2 abiaduraz. Bere higidura ez bada uniformea, abiaduraren moduluak ezberdinak izango dira. Kalkula ditzagun abiaduren kenketaren (Dv=v2-v1) osagai normala (edo erradiala) eta tangentziala:
Abiaduraren moduluak ezberdinak badira, Dv-ren osagai tangentziala ez da nulua eta beraz azelerazioa ez da norabide erradialekoa soilik. Partikulak AB arkua jarraitzen du, arkuak 2f angelua osatzen du, eta tardatzen duen denbora hau da: Dt=Dt1+ Dt2. Hortaz, partikularen <v> batezbesteko abiadura tarte horretan:
Beraz, azelerazioaren osagai normala eta tangentziala honakoak izango dira:
Limitean, denbora-tartea oso txikia denean, Dt® 0 eta f ® 0, beraz sinf / f ® 1 eta cosf ® 1. Batezbesteko abiadura orduan aldiuneko abiadura da <v>® v eta P-tik pasatzean batezbesteko abiadura (v1+v2)/2® v Balio horiek guztiak ordezkatuz azelerazioaren osagai normalerako, aurreko ataleko emaitza bera lortzen da. Osagai tangentzialerako ordea, zenbatzailea abiaduraren moduluaren aldaketa infinitesimala da, dv , eta izendatzailea dt denbora, alegia abiadura-aldaketa horretarako pasatu den denbora-tartea. Beraz, azelerazioaren osagaiak hauexek dira:
Azelerazio tangentzialaren eta normalaren bestelako dedukzioak
Alboko irudiak erakusten duenez, partikula P posizioan dago t aldiunean X ardatzarekin q angelua osatzen. Osagai polarrak erabiliz, partikularen posizio-bektorea honela adierazten da: r = xi+yj = r·cosq i +r·sinq j Abiadura-bektorea lortzeko posizio-bektorea deribatzen da denborarekiko:
Azelerazio-bektorea lortzeko abiadura-bektorea deribatzen da denborarekiko:
Azken adierazpen horretan ikusten denez, azelerazio-bektoreak osagai bi ditu, osagai erradiala zirkunferentziaren zentrorantz doa, eta osagai tangentzialak abiaduraren norabide bera du, ibilbidearen tangentea. Magnitude angeluar eta linealen arteko erlazioa kontutan izanda, azelerazioaren osagaiak bi modu ezberdinetan adieraz daitezke Osagai erradiala: an= w2r = v2/r, Eta osagai tangentziala: at= a r = dv/dt.
Azelerazio normalaren bestelako dedukzioa (I)Demagun partikulak higidura zirkular eta uniformea deskribatzen duela, r erradioaz eta v abiaduraz
Abiadura-bektorea, v, ibilbidearen tangentea da eta r posizio-bektorearekiko perpendikularra. Hona hemen abiadura-bektorearen osagai cartesiarrak:
Baina v/r konstantea denez, a azelerazio-bektorearen osagaiak honakoak izango dira:
Hortaz, a azelerazio-bektorearen modulua higidura zirkular eta uniformean:
Bere norabidea erradiala da eta zentrorantz, azelerazio-bektorearen osagaiak r bektorearen osagaien proportzionalak direlako, eta negatiboak.
Azelerazio normalaren bestelako dedukzioa (II)Atal honetan azelerazio normalaren dedukziorik sinpleena azalduko da, higidura zirkular eta uniforme baten kasurako.
Abiadura bektorea definizioz:
Bere modulua higidura zirkular eta uniformean:
Hemen P periodoa da, edo bira oso bat burutzeko tardatzen duen denbora. Bere norabidea ibilbidearen tangentea da, hau da, r bektorearen perpendikularra. Azelerazio bektorea definizioz:
Abiadura bektorea (v) lortzen da r posizio bektorea deribatuz, baina era berean, a azelerazio bektorea lortzen da v abiadura bektorea deribatuz. Hortaz, azelerazioaren modulua analogoa izango da:
Azelerazioaren norabidea v erradiodun zirkunferentziaren tangentea da, alegia v bektorearen perpendikularra. Goiko irudiak erakusten duenez, a eta r bektoreek norabide bera dute baina aurkako noranzkoak.
ErreferentziakLeff H. Acceleration for circular motion. Am. J. Phys. 70 (5) May 2002. pp. 490-492 Ninio F. Acceleration in uniform circular motion. Am. J. Phys. 61 (11) November 1993, pp. 1052 Brownstein K. R. A simple derivation of centripetal acceleration. Am. J. Phys. 62 (10) October 1994, pp. 946 |
at eta an: bestelako
dedukzioak.
