Dinamika

Masa aldakorreko
sistemak (I)

Kohetearen 
eredu diskretua

Bultzada
konstanteko kohetea

Bi etapako kohetea

Kohetea bertikalki
igotzen

Kohetea
ilargira jaisten

Kohete "perfektua"

Torricelli-ren kohetea

Momentu lineala

Energiak

Adibidea

Saiakuntza

Orri honetan kohetearen mugimendua aztertuko dugu urrutiko espazioan zehar mugitzen ari denean.

Koheteek, funtzionatzeko, gasak egotzi behar dituzte atzeraka. Normalean, erreakzio kimikoen ondorioz, gasek u abiadura erlatibo finkoa izaten dute kohetearekiko. Denbora unitatean kohetearen motorrak erretzen duen erregai-kantitatea (D) konstantea bada, orduan egotzitako gasek koheteari ematen dioten bultzada ere konstantea izango da. 

Orri honetan ikusiko dugu, koheteak duen abiadura erregaia amaitzen zaionean, ez dela D-rekin aldatzen, baina abiadura hori atzemateko behar duen denbora eta horretarako desplazatu den distantzia bai da D-ren araberakoa.

Erregaia agortzen zaionetik aurrera koheteak abiadura konstanteaz mugitzen segituko du.

Higiduraren ekuazioa

Demagun koheteak m masa duela hasieran, eta v abiadura duela erreferentzia-sistema inertzial batekiko (esaterako Lurrarekiko).

Aldiune batean, t+Δt, koheteak atzeraka egozten du gasaren Δμ masa -u abiadura erlatiboaz kohetearekiko. Ondorioz, kohetearen gainontzeko masari (m-Δμ) abiadura handitzen zaio: v+Δv.

Hasierako aldiunean, kohetearen m masa osoak v abiadura du, beraz bere momentu lineala hau da:

p(t)=mv

Eta ondorengo aldiunean, t+Δt

• Koheteak duen masa hau da: m-Δμ, eta abiadura: v+Δv.

• Egotzitako masa Δμ da, eta –u abiadura erlatiboa du kohetearekiko, hortaz –u+v abiadura Lurrarekiko.

Momentu lineala une horretan:

p(t+Δt)=(m-Δμ)(v+Δv)+ Δμ(–u+ v)

Kohetea espazio urrunean zehar mugitzen ari bada (grabitaterik gabeko eskualde batean), orduan koheteak eta egotzitako erregaiak multzo isolatua osatzen dute, eta momentu lineal totala konstantea izan behar da. Kohetearen higidura-ekuazioa hau da:

Δp= p(t+Δt)- p(t)=m·Δv- u·Δμ-Δv·Δμ=0

Eta limitean, Δt→0 jotzen duenean:

Multzo isolatuaren M masa osoa konstantea da, beraz kohetearen m masa gehi egotzitako erregaiaren μ masa konstantea da, alegia M=μ+m, eta beraz dμ+dm=0. Beste modu batean esanda, kohetearen masa dm gutxitzen bada orduan egotzitako erregaiaren masa justu kantitate berean handitzen da: dμ=-dm.

                            (1)

Hortik dv bakanduz:

Integral horiek burutuz 0 eta t aldiuneen artean, honako adierazpenak lortzen dira:

Demagun denbora unitatean egotzitako erregai kantitatea (D) konstantea dela, D= -dm/dt. Orduan kohetearen m masa t denborarekiko adieraz daiteke: m=m₀ -D·t. Hemen, m₀ da, hasieran koheteak eta erregaiak duten masa osoa, eta D·t da, t denboran zehar egotzitako erregai kantitatea.

Higidura ekuazioa (1) beste honela ere interpreta daiteke: partikula bat, m masa aldakorrekoa, mugitzen ari da u·D bultzada edo indar konstantearen eraginpean.

Kohetearen x desplazamendua kalkulatzeko t denborarekiko, abiaduraren adierazpena integratu behar da:

Integral hori burutzeko beharrezkoa da honako integraletik abiatzea:

eta honako adierazpena geratzen da:

Erregaia agortzen denean koheteak abiadura konstanteaz mugitzen segituko du.

Momentu lineala

Kohete batek hasieran m₀ masa du, eta gasak jaurtitzen hasten da, u abiadura erlatiboaz kohetearekiko, ondorioz mugitzen hasten da. Denboran zehar bere abiadura handitzen doa, eta koheteak v abiadura duenean, gasak jaurtitzen segitzen du u abiaduraz berarekiko, edo v-u  abiaduraz lurrarekiko.

Kohetea pausagunetik abiatzen da, v₀=0,  eta gasen abiadura lurrarekiko ez da konstantea (v-u). Hasieran, gasen abiadurak kohetearen higiduraren aurkako noranzkoa du (v-u<0), baina v handitu ahala, gasen abiadurak kohetearen abiaduraren noranzko bera du (v-u>0). Gasen abiadurak noranzkoa aldatzen duen t aldiunean:

t>0.632m₀/D

Justu t=0.632m₀/D aldiunean, koheteak jaurtitzen dituen gasek abiadura nulua dute lurraren ikuspegitik.

Aldiune horretan (t) kohetearen momentu lineala hau da:

Hasieratik t aldiunea arte egotzitako gasen momentu lineal totala hau da:

Ikusten da, koheteak eta gasek sistema isolatua osatzen dutela, kohetearen momentu lineala eta gasena justu berdinak eta aurkakoak direlako. Gasen momentu lineala kalkulatzea ez da berehalakoa, t=0 aldiunetik t aldiunea arte jaurtitzen diren gasen abiadura ez delako konstantea eta beraz aurreko integral hori kalkulatzea beharrezkoa da. Izan ere, kohetearen higidura-ekuazioa lortzeko momentu linealaren kontserbazioa aplikatu dugu.

Energiak

Kohetearen energia zinetikoa t aldiunean:

Jaurtitako gasen energia zinetikoa, t=0 aldiunetik t aldiunea arte:

Emaitza horretara iristeko honako integralak ezagutu behar dira:

Multzo osoaren energia zinetikoa, alegia kohetearena gehi gasena, hau da:

Kohetearen energia-etekina kalkula daiteke, zatituz kohetearen energia zinetikoa eta energia zinetiko totala (kohetearena eta egotzitako gasena).

Adibidea:

• Kohetearen erregaiaren masa osoa: 9000 kg.
• Kohetearen masa baliagarria: 800 kg.
• Egotzitako erregai-masa segundoko: D=1000 kg/s.
• Egotzitako gasek duten abiadura erlatibo konstantea da: u=2000 m/s kohetearekiko.
• Erregaiaren deposituak (edo andelak), hitzarmenez, erregaiaren masaren %5 du.

Kohetearen masa totala=masa baliagarria+erregaia+depositua

m₀=800+9000+0.05·9000=10250 kg

1. Erregaia agortu arteko denbora:

Erregaiak 9000 kg ditu eta 1000 kg/s erretzen dira, beraz erregaia agortzen den aldiunea: t= 9 s.
 
2. Koheteak atzematen duen abiadura maximoa:

3. Erregaia agortu arte koheteak ibilitako distantzia:

   

   

4. Energiak

Erregaiaren erreakzio kimikoak emandako energia osoa hau da:

Kohetearen energia zinetikoa erregaia agortu denean:

Beraz kohetearen energia-etekina: E_k/E_i= %61.5

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Kohetearen hasierako erregai kantitatea (e) kg-tan, dagokion laukian idatziz (<20.000kg).
• Koheteak duen karga erabilgarria, kg-tan. (<2.000kg).
• Koheteak segundoro xahutzen duen erregai kantitatea (D), kg/s-tan.
• Koheteak egotzitako gasek abiadura erlatibo finkoa dute kohetearekiko: u=2000 m/s konstantea.
• Erregaiaren deposituak (edo andelak), hitzarmenez, erregaiaren masaren %5 du.

Hasi botoia sakatu.

Kohetea pausagunetik abiatzen da, v₀=0, eta koordenatuen jatorritik, x₀=0.

Kohetearen hasierako masa m₀ da: karga erabilgarria+ erregaiaren masa+ deposituaren masa, baina azken hori erregaiaren masaren proportzionala da:

hasierako masa m₀  =karga erabilgarria +(1+r) ·erregaia.

Hemen r hitzarmenez hartu da: %5 edo 0.05

Erregaiak zenbat iraungo duen erraz kalkula daiteke, izan ere, t_max da, kohetearen hasierako erregai-kantitatea (e) zati koheteak segundoro xahutzen duen erregai kantitatea (D):

t_max=e/D

Erregaia osorik agortzen denean (e) koheteak higidura zuzen eta uniformeaz jarraituko du, jadanik ez duelako inolako indarrik jasaten. Une horretako abiadura hau da:

Kohetearen atzealdean gezi gorri batek erakusten du gasek koheteari eragiten dioten bultzada. Gasen abiadura konstantea denez (kohetearen erreferentzia sistemarekiko), bultzada bera ere konstantea da, eta erregaia agortzen denean bultzada ere bukatzen da.

Koheteak amaieran atzematen duen abiadura ez da koheteak segundoro erretzen duen D erregai kantitatearen menpekoa. Beraz applet-ean egiazta daiteke amaierako abiadura beti bera dela, D ezberdinak erabili arren, baina konstante mantenduta erregai kantitatea (e) eta karga erabilgarria. Ondoren erakusten den taulan bete bitez: v_max , koheteak erregaia amaitzean duen abiadura, t_max , abiadura maximoa atzemateko behar den denbora eta x, kohetea zenbat desplazatu den une horretara arte.

Erabil bitez Gelditu eta Pausoka botoiak erregaia agortzen den unera hurbiltzeko.

Applet-ean kohetearen energiaren balantzea erakusten da. Zirkulu batek kohetearen hasierako erregaiaren energia erakusten du. Ondoren, energia hori bilakatzen doa: alde batetik egotzitako gasen energia zinetikoa eta bestetik kohetearen energia zinetikoa. Erregai osoa agortu denean, kohetearen energia zinetikoa da, hasierako energia osoaren zati bat soilik