Dinamika

Masa aldakorreko
sistemak (I)

Kohetearen 
eredu diskretua

Bultzada
konstanteko kohetea

Bi etapako kohetea

Kohetea bertikalki
igotzen

Kohetea 
ilargira jaisten

Kohete "perfektua"

Torricelli-ren kohetea

Depositua nola mugitzen den

Saiakuntza

Erreferentzia

Bultzada konstanteko kohete batean, gasen jaurtitze-abiadura erlatiboa konstantea izaten da kohetearekiko.

Orri honetan aztertuko dugu adibide bat, jaurtitze-abiadura aldakorra duena, eta beraz, bultzada ez da konstantea.

Demagun R erradiodun depositu zilindriko batek gurpilak dituela, eta beraz marruskadurarik gabe desplaza daitekeela gainazal horizontalean zehar. Depositua hutsik dagoenean M masa du, eta urez betetzen da H altueraraino. Deposituaren azpialdean zulo bat egiten zaio, r erradioduna, eta ura irten egiten da u abiaduraz. Ondorioz, depositua aurkako noranzkoan mugitzen hasiko da (irudian eskumarantz). Kalkula ditzagun bere abiadura eta posizioa denboraren menpe.

Depositua nola husten den

Fluidoen kapituluan aztertzen da zehazki depositu bat nola husten den. Depositua zilindrikoa da, bere sekzioa S₁=πR² da, urez beteta dago H altueraraino eta hondoan zulo zirkular bat irekitzen zaio (sekzioa, S₂= πr²). Urak zulotik irteten du u abiaduraz, uraren sakonera h bada (gainazal libretik zuloraino), eta zuloaren sekzioa arbuiagarria bada deposituarenarekin konparatuta, Torricelli-ren teoremaren arabera:

Zehazkiago aztertuz, eta zuloaren sekzioa ez bada arbuiagarria deposituarenarekin konparatuta honako adierazpena lortzen da:

Adierazpen horretan, ordezko g'  bat har daiteke grabitatearen azelerazio efektibo gisa, baina zuloaren r erradioa arbuiagarria bada deposituaren R erradioarekin konparatuta, orduan ohiko g-ren berdina da.

Urak depositutik irteten duen heinean, uraren h altuera (edo sakonera) gutxitzen doa, eta hortaz bere masa ere bai. Uraren dentsitatea ρ da, beraz, deposituan geratzen den uraren masa hau da: m=ρπR²h. Zulotik irteten den fluido-kantitatea (bolumena) denbora unitateko hau da: πr²u. Hortaz, ur-masa gutxitzen doa honako adierazpenaren arabera:

Ekuazio hori integragarria da masa eta denborarekiko. Hasieran, t=0 aldiunean, deposituaren masa hau da: m₀= ρπR²H, eta bitarteko t aldiune batean m:

Azkenik berridatz daiteke:

Depositua guztiz husten denean, t_max aldiunean, uraren h altuera eta m masa nuluak dira:

Depositua nola mugitzen den

Indarra, definizioz:

Urak eta deposituak osatzen duten multzoa isolatua da, jasaten duen kanpo-indar totala nulua delako: F=0.

Bultzada konstanteko kohetearen higidura aztertzean honako ekuazioa idazten da:

Han, u gasen abiadura erlatiboa da kohetearekiko eta m kohetearen masa totala (depositu hutsa gehi erregaia).

Oraingo kasu honetan, deposituaren masa totala bi zatitan banatuko da: uraren m masa (gutxituz doana) eta depositu hutsaren M masa konstantea (plataforma eta gurpilak barne):

Uraren m masa denboraren menpe ordezkatuz, higiduraren ekuazioa honela berridatz daiteke:

Eta ekuazio hori integra daiteke: t=0 aldiunetik, depositua pausagunean dagoenean (v=0), eta ondorengo t aldiunean deposituak v abiadura du. Integratzeko aldagai-aldaketa bat behar da:

Eta berehala integratzen da:

Aldaketa desegiten, v abiaduraren adierazpena lortzen da t denboraren menpe:

Adierazpen hori denborarekiko berriro integratuz, deposituaren x posizioa lor daiteke t denboraren menpe. Horretarako arkotangentearen integrala behar da:

Eta depositua guztiz hustu denean, alegia t_max aldiunean:

Orduan, deposituak atzematen duen abiadura maximoa hau da:

Eta deposituaren x posizioa justu hustu den aldiunean:

Kohete batean, amaierako abiadura (v_max) ez da aldatzen denbora unitateko erretzen den erregai kantitatearen arabera (D), baina bai aldatzen da hasierako masaren arabera, amaierako masaren arabera eta gasen u jaurtitze abiadura konstantearen arabera.

Orri honetako "kohete" bereziaren amaierako abiadura ordea, bai aldatzen da, g'-ren bitartez, zuloaren erradioaren arabera, alegia denbora unitateko jaurtitzen den ur-kantitatearen arabera. Hala ere, zuloaren r erradioa arbuiagarria bada deposituaren R erradioarekin konparatuta, orduan g'≈g, eta orduan, amaierako abiadura (v_max) soilik aldatzen da depositu hutsaren masaren arabera (M) eta hasierako ur-kantitatearen arabera m₀= ρπR²H.

Depositua guztiz hustu ondoren, alegia t_max aldiunetik aurrera, depositu hutsak abiadura konstantez mugitzen jarraituko du.

Adibidea

• Deposituaren erradioa: R=10 cm=0.1 m

• Zuloaren erradioa: r=1 cm=0.01 m

• Depositu hutsaren pisua (ur barik): M=20 kg

• Urak hasieran duen sakonera: H=45 cm=0.45 m

Uraren hasierako masa:

m₀=ρπR²H,     m₀=1000·π·0.1²·0.45=14.14 kg

Grabitatearen azelerazio efektiboa:

Hasieran urak depositutik irteten du honako abiadura erlatiboaz deposituarekiko:

Depositua hustu arte iragaten den denbora:

Deposituaren abiadura maximoa (hustu denetik aurrera):

Eta deposituaren posizioa (justu hustu denean):

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Deposituaren erradioa zentimetrotan (<15cm), dagokion laukian idatziz.
• Zuloaren erradioa zentimetrotan (<2cm), dagokion laukian idatziz.
• Depositu hutsaren pisua kilogramotan, (plataforma eta gurpilak barne) desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

Berria botoia sakatu.

• Uraren hasierako altuera finkatu behar da, deposituaren alboko gezi gorria saguaz desplazatzen.

Hasierako baldintza guztiak ondo finkatu ondoren, Hasi botoia sakatu.

Deposituak zuloa dauka ezkerraldeko azpiko aldean. Zuloan bertan, gezi urdin batek uraren abiadura erlatiboa adierazten du deposituarekiko. Gezi gorri batek, aldiz, deposituaren abiadura adierazten du. Bektore bien kenketa da hain zuzen, uraren jaurtitze-abiadura lurrarekiko.

Izan ere, uraren jaurtitze-abiadura lurrarekiko hasieran negatiboa da (ezkerrerantz) eta, deposituak azeleratu ahala, gero eta txikiagoa bilakatzen doa, positibo bihurtzen den arte (eskumarantz). Azkenean, depositua guztiz hustu eta ur-jarioa amaitzen da. Une jakin batez uraren abiadura eta deposituarena berdinak dira, beraz uraren abiadura lurrarekiko nulua da.

Leihatilaren goiko aldean programaren kalkuluak erakusten dira: deposituaren abiadura, denbora (segundotan) eta deposituaren posizioa (ezkerreko ertza, justu zuloaren posizioa). Azkenean, depositua guztiz hustu ondoren, abiadura konstanteaz mugitzen segitzen du.

Oharra: Deposituaren tamaina eskala batean irudikatu da, eta bide horizontala aldiz, beste eskala ezberdin batean. Horrek ez du prozesu fisikoa ezertan aldatzen eta gainera deposituko ur-maila zehazkiago erakusten du.