Dinamika

Masa aldakorreko
sistemak (I)

Kohetearen 
eredu diskretua

Bultzada
konstanteko kohetea

Bi etapako kohetea

Kohetea bertikalki
igotzen

Kohetea
ilargira jaisten

Kohete "perfektua"

Torricelli-ren kohetea

Erregaiaren banaketa optimoa

Erreferentzia

Orri honetan aztertuko dugu, bi etapako koheteak zein abantaila dituen etapa bakarreko kohetearekiko, eta aztertuko dugu bi etapa horien masak nola banatu behar diren, koheteak amaieran atzematen duen abiadura ahalik eta handiena izan dadin.

Bi etapako kohetea

Kohetearen hasierako masa, m0 da: karga erabilgarria, gehi erregaiaren masa, gehi erregaia eramateko andelak. Andelen masa erregaiaren masaren proportzionala da, beraz, erregaiaren masa bider r koefiziente bat. Koefiziente horren balioa hitzarmenez erabaki da:  r= %5 edo 0.05.

Hasierako masa, m₀  =karga erabilgarria+(1+r) · erregai osoaren masa.

Lehen etapak erregaiaren zati bat baino ez dauka: c₀ : erregai osoaren masa bider portzentaia eta zati ehun.

Lehen etaparen erregaia, c₀ =erregai osoa · portzentaia /100;

Lehen etapako erregaia agortzen den arte, t₀  denbora iraungo du: alegia, lehen etapako erregai kantitatea (c₀) zati denbora unitateko erretzen den kantitatea (D):

t₀=c₀/D

Lehen etaparen amaieran atzematen den abiadura hau da:

Une horretan, lehen etaparen andela askatu egiten da, eta koheteari oraindik geratzen zaion masa da, hasierakoa ken erre den erregai kantitatea (c₀) ken lehen etaparen andelaren masa.

bigarren etaparen hasierako masa, m₁=m₀ -(1+r) · c₀

edota

bigarren etaparen hasierako masa, m₁=karga erabilgarria +(1+r) · c₁

Hemen, c₁ bigarren etaparen erregaiaren masa da, izan ere, erregai osoaren masa ken c₀, lehen etapan erretakoa.

Bigarren etapako erregaiaren masa, c₁ =erregai osoaren masa - lehen etapako erregaiaren masa, c₀

Bigarren etapako erregaia agortzen den unea t₁ da, eta da, erregai osoaren masa zati D, denbora unitatean erretzen den erregai kantitatea:

t₁=erregai osoa /D.

Erregaia osorik agortzen denean, koheteak abiadura maximoa atzeman du, v₂, eta aurrerantzean abiadura konstanteaz jarraituko du, jadanik ez duelako inolako indarrik jasaten.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke

• Kohetearen hasierako erregai kantitate osoa (kg-tan), eta bi etapetan erreko dena.
• Lehen etapako erregai portzentaia.
• Koheteak daraman karga erabilgarria (kg-tan).
• Segundoro xahututako erregai kantitatea, D alegia, kg/s-tan.

Hasi botoia sakatu.

Ondorengo applet-ean egiazta daiteke bi etapako kohete batek, hasierako erregai-kantitate bera badu eta karga erabilgarri bera badu, etapa bakarreko kohetea baino hobea dela, amaieran abiadura handiagoa atzematen duelako.

Gainera, zehaztasun gehiagoz aztertuko dugu zein den etapa bien arteko erregai banaketa optimoa koheteak amaieran abiadura ahalik eta handiena atzemateko. Finko mantentzen badira erregaiaren kantitate osoa eta karga erabilgarria, eta aldatzen bada lehen etaparen masa-portzentajea, alegia c₀/(c₀+c₁) , aztertuko da kohetearen amaierako abiadura, erregai osoa agortu duenean. Zein ote da erregaiaren banaketa optimoa? Amaieran abiadura maximoa lortzen duena.

Erregaiaren banaketa optimoa

Bi etapako kohete bat diseinatu behar dugu, karga erabilgarri finkoa duena: m_u, eta pausagunetik abiatuta, v abiadura atzeman behar duena eremu grabitatoriorik ezta airearen marruskadurarik ez dagoen eskualde batean.

Koheteak hasieran daukan erregai osoa hau da: c₀+c₁ bi etapatan banatuta.

Erregaia gordetzen duen andelaren edo deposituaren masa, erregaiaren beraren masaren proportzionala da, alegia erregaiaren masa bider r koefizientea. Gasen abiadura erlatiboa kohetearekiko konstantea da eta u balio du.

Kohetearen hasierako masa osoa da, karga erabilgarria, gehi erregaia, gehi bi andelak:

m₀=m_u+(1+r)·(c₀+c₁)

Lehen etapa agortu denean, kohetearen masa osoa da, karga erabilgarria, gehi bigarren etapako erregaia, gehi bigarren andela:

m₁=m_u+(1+r)·c₁

Lehenago frogatu denez, lehen etapa agortzean kohetearen v₁ abiadura hau da:

Orduan, bigarren etapa agortzen denean kohetearen v₂ abiadura honako hau izango da:

Dei diezaiogun f₀=m₁/m₀ eta  f₁=m_u /m₁  eta berridatziz:

                             (1)

         (2)

Kohetearen masa erabilgarria finkotzat hartzen bada, m_u, eta amaieran atzeman nahi den abiadura ere finkotzat hartzen bada, v₂ , orduan kohetearen m₀  masa osoa minimo bilakatu behar da. (1) eta (2) ekuazioetarako Lagrange-ren biderkatzaileen prozedura erabil daiteke, eta honako emaitza lortzen da:

                                   (3)

Emaitza hori kontutan izanda, kohetearen bi etapen arteko banaketa optimoa kalkula daiteke:

Dei diezaiogun p bigarren etaparen erregai-proportzioari.

Orduan (3) ekuazioak bigarren graduko ekuazioa dakar p-ren menpe berridazten bada:

Eta hona hemen bigarren graduko ekuazioaren emaitza positiboa:

Adibidea

Demagun kohete batek 800 kg-ko karga erabilgarria duela. Erregaiaren masa osoa 9000 kg eta r=0.05 (andelaren masa erregaiaren %5 da).

Kalkula dezagun lehenik k:

eta ondoren  p=0.22.

Beraz, erregaia guztiz agortu ondoren kohetearen abiadura maximoa lortzeko p=0.22, alegia bigarren etaparen erregai-portzentajea %22 eta hortaz lehenengo etaparen portzentajea %78.

Gizakiak ilargira lehen aldiz eraman zituen koheteak 3 etapa zeuzkan. Pentsa liteke hiru etapa bi etapa baino kopuru hobea dela, eta hala da, izan ere, froga daiteke etapa-kopurua handitu ahala, koheteak abiatzerakoan izan dezakeen masa totala txikiagoa izan daitekeela, baina hiru baino etapa gehiagorekin etekin-irabazia ez da hain handia, eta kohetea eraikitzea gero eta zailagoa da.

Erreferentzia

Díaz-Jiménez, A., Mathieu Valderrama R.. Redistribuyendo la masa con la velocidad: El cohete clásico. Revista Española de Física. Volumen 4, nº 3, 1990. págs. 65-67.