Dinamika

Masa aldakorreko
sistemak (I)

Kohetearen
eredu diskretua

Bultzada
konstanteko kohetea

Bi etapako kohetea

Kohetea bertikalki
igotzen

Kohetea
ilargira jaisten

Kohete "perfektua"

Torricelli-ren kohetea

Momentu lineala

Energia

Desplazamendua

Eredu diskretutik jarraitura

Saiakuntza

Erreferentzia

Kohete baten erregaia lehertzean, hondakinak alde baterantz egotzi egiten dira eta horrek ematen dio bultzada koheteari berari aurkako noranzkoan. Demagun erregaiaren m masa egozten duela denbora tarte finkoetan (esaterako segundoro) eta u abiadura erlatiboaz kohetearekiko. Badago antzeko ariketa errazago bat: patinatzaile batek, M masaduna, izotzaren gainean m masadun bolatxoak jaurtitzen ditu u abiadura konstanteaz berarekiko.

Demagun kohetea grabitaterik gabeko espazioan dabilela, horrela ez du inolako indarrik jasaten. Koheteak erregaia jaurtitzen duen heinean bere abiadura handitzen joango da. Aplika dezagun momentu linealaren kontserbazio-printzipioa.

Kohete baten M masaren zati handi bat erregaia da, eta gainerako masa, zama baliagarria edo erabilgarria da: pilotuak, bidaiariak, tresnak... Demagun koheteak erregaiaren n atal egozten dituela Dt denbora tarte finkotan, denak m masadunak. Irudiak erakusten duen bezala, kohetearen abiadura handitzen joango da (v₁, v₂, ....v_n) honako aldiuneetan: 0, Dt, 2·Dt...(n-1) ·Dt,...

Kohetearen abiadura

1. Lehen egozketaren ondoren, (0-Dt) denbora tartea.

Hasierako aldiunean (t=0) koheteak erregai-zati bat jaurtitzen du, m masaduna eta u abiaduraz berarekiko. Koheteak m masa galtzen du eta v₁ abiadura atzematen du. Hasieran, pausagunean bazegoen, momentu lineal totala nulua da, beraz egotzitako erregaiaren momentu lineala gehi kohetearen momentu lineala nulua izan behar da.

(M-m)v1+m(-u)=0

Kohetea mugitu egingo da, v₁ abiadura konstanteaz, harik eta beste erregai-zati bat egozten duen arte, alegia Dt aldiunera arte, eta egotzitako erregai-zatia -u abiadura konstanteaz mugituko da.

2. Bigarren egozketaren ondoren, (Dt-2Dt) denbora-tartea

Dt aldiunean koheteak beste erregai-zati bat jaurtitzen du, m masaduna eta u abiaduraz berarekiko, edo (v₁-u) abiaduraz lurrarekiko. Koheteak m masa galtzen du berriro eta v₂ abiadura atzematen du.

Kohetearen momentu lineala hasieran (M-m)v₁ da, eta amaieran egotzitako zatiarena gehi kohetearena:

(M-2m)v2+m(v1-u)= (M-m)v1

Kohetea mugitu egingo da, v₂ abiadura konstanteaz, harik eta beste erregai-zati bat egozten duen arte, alegia 2Dt aldiunera arte, eta egotzitako erregai-zatia v₁-u abiadura konstanteaz mugituko da ezkerrerantz.

3. Hirugarren egozketaren ondoren, (2Dt-3Dt) denbora-tartea

2Dt aldiunean koheteak beste erregai-zati bat jaurtitzen du, m masaduna eta u abiaduraz berarekiko, edo (v₂-u) lurrarekiko. Koheteak m masa galtzen du berriro eta v₃ abiadura atzematen du. Berriro momentu linealaren kontserbazioa aplikatuz v₃ abiadura bakan daiteke.

(M-3m)v3+m(v2-u)= (M-2m)v2

Kohetea mugitu egingo da, v₃ abiadura konstanteaz, harik eta beste erregai-zati bat egozten duen arte, alegia 3Dt aldiunera arte, eta egotzitako erregai-zatia v₂-u abiadura konstanteaz mugituko da ezkerrerantz.

4. n-garren egozketaren ondoren, ((n-1)Dt-nDt) denbora-tartea

(n-1)Dt aldiunean koheteak beste erregai-zati bat jaurtitzen du, m masaduna eta u abiaduraz berarekiko, edo (v_n-1-u) lurrarekiko. Koheteak m masa galtzen du berriro eta v_n abiadura atzematen du, azkena.

Kohetea mugitu egingo da, v_n abiadura konstanteaz, t=(n-1)Dt aldiunetik aurrera, eta egotzitako erregai-zatia, azkena, v_n-u abiadura konstanteaz mugituko da.

Momentu lineala

Kohetearen momentu lineala idatz daiteke denbora-tarte baterako. Esaterako, (i-1)·Dt eta i·Dt aldiuneen arteko denbora-tartean:

P_K=(M-i·m)v_i

Eta egotzitako erregai-zati guztien (gasen) momentu lineal totala, lehenengo irudian ikus daitekeenez:

P_g=m(-u)+m(v₁-u)+m(v₂-u)+…m(v_i-1-u)

Multzo isolatu baten momentu lineal osoa kontserbatu behar denez, kohetearen momentu lineala eta egotzitako erregai guztiaren momentu lineala berdinak eta aurkakoak izan behar dira:  P_K+P_g=0.

Energia

Sistemaren energia finala kalkulatzeko kohetearen energia eta erregaiaren energia gehitu behar dira: Kohetearen abiadura v_n da amaieran eta hortik bere energia kalkula daiteke: E_k . Erregai-zatiek, denek dute m masa bera, eta honako abiadurak dituzte: (-u), (v₁-u), (v₂-u)… (v_n-1-u), hurrenez hurren.

Desplazamendua

• Lehen tartean (0-Dt) kohetearen desplazamendua hau da: x₁=v₁·Dt
• Bigarren tartean (Dt-2Dt) kohetearen desplazamendua hau da:  x₂=v₂·Dt
• Hirugarrenean (2Dt-3Dt): x₃=v₃·Dt

Kohetearen desplazamendu totala (0- n·Dt) denbora tarte osoan:

Eredu diskretutik eredu jarraitura

Eredu diskretu honetatik eredu jarraitura pasatzeko (ondorengo orrian aztertuko duguna) egozten diren erregai-zatiak gero eta txikiagoak egin behar dira, eta euren m masa, limitean, dm kantitate infinitesimala bilakatuko da. Gainera, aldi berean, n zati-kopurua gero eta handiagoa egingo da eta limitean infinitura joko du. Konpara ditzagun eredu diskretuaren emaitzak eta eredu jarraituarenak.

Kohetearen hasierako M masa osoan hiru masa-mota hartzen dira kontutan: lehenik zama baliagarria, bigarrenik erregaia bera eta azkenik erregaiaren tanga edo depositua. Izan ere, erregaiaren tangaren masa erregaiaren masaren proportzionala izaten da.

hasierako masa M  =zama baliagarriaren masa+(1+r) ·erregaiaren masa.

hemen r izan ohi da %5 inguru edo 0.05.

Har dezagun denbora-tartetzat Dt =1 segundo. Horrela, lehen erregai-zatia t=0 aldiunean egozten da, bigarrena t=1 s aldiunean, hirugarrena t=2 aldiunean eta horrela hurrengoetan ere. Erregaia amaitzen den aldiunea: t=(n-1) s.

• Kohetearen erregaia: 9000 kg
• Kohetearen masa baliagarria, 800 kg.
• Egozketa-kopurua, 3.

Kohetearen masa osoa hasieran: masa baliagarria+ erregaia+ tanga

M=800+1.05·9000=10250 kg.

Erregai-zati bakoitzaren masa m=9000/3=3000 kg da eta honako aldiuneetan egozten dira: t=0, t=1, eta t=2 s.

Erregaiaren zatiak, denak egozten dira abiadura erlatibo berarekin kohetearekiko, eta ondorengo programa interaktiboan u=2000 m/s hartu da.

Eredu diskretua

Kohetea pausagunetik abiatzen da eta, egozketa bakoitzaren ondorioz, honako abiadurak atzematen ditu:

1. Kohetearen desplazamendu osoa (0- 3) s denbora-tartean (lehenago ikusi dugun mailakako kurbak mugatzen duen azalera):

x=827.6·1+2239.3·1+7039.3·1=10106.3 m.

2. Kohetearen momentu lineal finala:

P_k=(10250-3·3000)·7039.3=8799188.6 kg·m/s

Egotzitako gasen momentu lineal totala:

P_g=3000·(-2000)+3000·(827.6-2000)+3000·(2239.3-2000)= -8799188.6 kg·m/s.

3. Kohetearen energia:

E_k=(10250-3·3000)·7039.3²/2=3.097·10¹⁰ J

Egotzitako gasen energia:

E_g=3000·(-2000)²/2+3000·(827.6-2000)²/2+3000·(2239.3-2000)²/2=8.148·10⁹ J

Bi energia horien batura da (E_k+E_g) erabili behar izan den energia osoa, koheteak amaieran 7039.3 m/s-ko abiadura atzemateko:

E= E_c+ E_g=3.912·10¹⁰ J

Eredu jarraitua.

Eredu jarraituan erregaia erritmo finkoaz egozten da, eta guztira 3000 kg erregai jaurtitzen ditu segundoro: D=3000 kg/s. Baldintza horietan lortzen da:

• Kohetearen abiadura finala: v=4208 m/s
• Kohetearen desplazamendu osoa (0- 3) s denbora-tartean: x=4246 m.

Argi ikusten da eredu diskretua eta jarraitua ez datozela bat.

• Kohetearen erregaia: 9000 kg
• Kohetearen masa baliagarria, 800 kg.
• Egozketa-kopurua, 9.

Kohetearen masa osoa hasieran: masa baliagarria+ erregaia+ tanga

M=800+1.05·9000=10250 kg.

Erregai-zati bakoitzaren masa m=9000/9=1000 kg da eta honako aldiuneetan egozten dira: t=0, t=1, ... t=8 s.

Erregaiaren zatiak, denak egozten dira abiadura erlatibo berarekin kohetearekiko, eta ondorengo programa interaktiboan u=2000 m/s hartu da.

Eredu diskretua

Kohetea pausagunetik abiatzen da eta, egozketa bakoitzaren ondorioz, honako abiadurak atzematen ditu:

1. Kohetearen desplazamendu osoa (0- 9) s denbora-tartean: x=16747.4 m.

2. Kohetearen momentu lineal finala: P_K=6262895.8 kg·m/s

Egotzitako gasen momentu lineal totala: P_g=-6262895.8 kg·m/s

3. Kohetearen energia zinetikoa: E_K=1.57·10¹⁰ J

Egotzitako gasen energia zinetikoa: E_g=7.32 10⁹ J.

Energia osoa: E= E_c+ E_g=2.30·10¹⁰ J.

 

Eredu jarraitua

Eredu jarraituan, erregaia erritmo finkoaz egozten da, eta guztira 1000 kg erregai jaurtitzen ditu segundoro: D=1000 kg/s. Baldintza horietan lortzen da:

• Kohetearen abiadura finala: v=4208 m/s
• Kohetearen desplazamendu osoa (0- 9) s denbora-tartean: x=12740 m.

1 adibidearekin konparatuz, ohar bedi eredu jarraituan, kohetearen abiadura finala ez dela D-ren menpekoa, alegia denbora unitatean egozten den erregai kantitatearen menpekoa.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Kohetearen hasierako erregaiaren masa (kg-tan), laukian idatziz (dei diezaiogun e₀).
• Karga baliagarriaren masa (kg-tan), laukian idatziz.
• Erregaia zenbat zatitan egozten den, zenbaki oso bat (n) Bultzada-kopurua laukian idatziz. Erregai-zati bakoitzaren masa hau da: m=e₀/n eta segundoro zati bat egozten da.
• Erregai-zatiak, denak jaurtitzen dira abiadura erlatibo berarekin, eta programak finkotzat hartu du: u=2000 m/s kohetearekiko.

Hasi botoia sakatu.

Leihatilaren beheko aldean kohetea urdinez adierazten da eta egotzitako erregai-zatiak gorriz: nola mugitzen diren beha daiteke.

Leihatilaren goiko eta ezkerreko aldean hiru barra ageri dira:

• Ezkerreko barrak kohetearen erregaia adierazten du: gorriz kohetean gelditzen dena eta zuriz egotzi dena.
• Bigarren barrak momentu lineala adierazten du: urdinez kohetearena eta gorriz egotzitako gas zatiena. Momentu lineal biak berdinak dira eta aurkakoak, hortaz, momentu lineal totala nulua da uneoro.
• Hirugarren barrak energia adierazten du: urdinez, kohetearen energia zinetikoa, gorriz, egotzitako gas zatiena eta bien batura energia totala da.

Azkenik, grafiko batek, kohetearen abiadura adierazten du denboraren menpe. Kurba gorriak adierazten du kohetearen abiadura eredu jarraituaren arabera. Urdinez, kohetearen abiadura adierazten da, orri honetako eredu diskretuaren arabera, horregatik da mailaka (edo saltoka) erregai-zati bat egozten den bakoitzean.

Egin bedi esperimentua bultzada-kopuru ezberdinak frogatuz. Esaterako: n=3 eta  n=9, eta konpara bitez bien emaitzak. Ikusiko da, n handitzen den heinean, eredu diskretuaren emaitza gero eta hurbilago dagoela eredu jarraitutik.