Fluidoak

Gainazal-tentsioa

Tantak: Tate-ren legea

Gainazalen kurbadurak
eragindako presioa

Gainazal-tentsioa
xaboi-ponpa batean (I)

Gainazal-tentsioa
xaboi-ponpa batean (II)

Burbuilaren metodoa

Fenomeno kapilarrak

Ponpa bati eusten
dion sokaren forma

Tanten Laplace-ren ekuazioaren bestelako dedukzioa

Xaboi-ponpa bi komunikatzea

Saiakuntza

Erreferentzia

Gainazal esferiko baten barrualdean eta kanpoan presio ezberdinak daude. Young-ek eta Laplacek, bakoitzak bere aldetik, 1805 urtean deduzitu zuten presio-diferentzia horren adierazpen matematikoa.

Young-Laplace adierazpen matematiko horren arabera, gainazal esferikoaren barruan beti dago kanpoan baino presio handiagoa, eta presio-diferentzia areagotu egiten da esfera horren erradioa gutxitzean, eta alderantziz, presio-diferentzia nulua da gainazala laua denean (erradio infinitua).

Likidoek gainazala gutxitzeko joera dute eta, horregatik grabitaterik ezean, likidoek esfera-forma izaten dute. Gainazal-tentsioak gainazalaren azalera gutxitzeko joera du eta, beraz, tantaren bolumena. Presio-diferentziak, berriz, tantaren bolumena handitzeko joera dauka (barruan handiagoa delako). Beraz, oreka-egoera atzematen da justu bi joerak konpentsatzen direnean.

Gainazal baten kurbadurak eragindako presio-diferentzia

Frogatuko dugu, orekan, tanta baten, edo burbuila baten, barrualdean presioa handiagoa dela kanpoaldean baino. Presio-diferentzia hori gainazalaren kurbadurak sortzen du.

Presioak eragindako indarra gainazalarekiko perpendikularra da. Demagun burbuilaren barrualdeko presioa p dela eta kanpokoa p0. Hortaz, irudiak erakusten duen bezala, gainazalaren dA elementu batek jasaten duen indar erresultantea (p-p0)·dA izango da (bektore urdina). Indar horren osagai horizontala (p-p0)dAcosq , baina izan ere, dAcosq  azaleraren proiekzioa da plano bertikal  batean (irudian eskuman).

Burbuilaren barneko eta kanpoko presio-diferentziak indarrak eragiten ditu burbuilaren gainazalean, izan ere, gainazalarekiko perpendikularrak, azpiko irudiko gezi urdinak bezalakoak. Indar guzti horien osagai horizontalak hartzen baditugu, bere erresultantea izango da, presio diferentzia (p-p₀) bider azalera osoaren proiekzioa plano bertikal batean (R erradiodun esfera erdiak plano bertikalean ematen duen proiekzioa pR² da).

Horrelako bi esfera-erdik burbuila osoa osatzen dute, bata besteagandik oso-oso hurbil kokatuta. Har dezagun esfera-erdi bat eta azter dezagun zein indar jasaten dituen orekan: Batetik, presio-diferentziak eragindako indarra: F1= (p-p0)·pR2 Bestetik, gainazal-tentsioak eragiten duen indarra. Burbuilaren ezkerreko aldeak (irudian ez dagoenak) eskumako aldeari eragiten dion indarra ezkerrerantz doa (erakarlea da, irudian gezi gorriak) eta bere modulua hau da: bi bider gainazal-tentsioa bider perimetroa: F2=2g ·2pR

Orekan: F₁=F₂

Beraz, zenbat eta txikiagoa izan burbuilaren R erradioa, presio-diferentzia handiagoa izango da. Adierazpen matematiko hori da Laplace-ren adierazpenaren kasu berezi bat.

Burbuiletan, edo xaboi-ponpetan, lauko faktore hori agertzen da bi gainazal dituelako, barrukoa eta kanpokoa. Ur-tanta batean, berriz, gainazal bakarra da, eta horregatik presio-diferentzia horren erdia da.

Laplace-ren ekuazioaren bestelako dedukzioa

Demagun, irudian erakusten den bezala, xiringa baten muturrean tanta bat eratzen dela xiringaren enboloa desplazatzean.

Kanpoko presioa p₀ bada, enboloarekin p presioa aplikatu beharko zaio tanta hori eratzeko,  p₀ baino pixka bat handiagoa.

Enboloak egindako lana, likidoa desplazatzerakoan p·dV da, baina tantak bere inguruari eragiten dion lana  p₀·dV da, airea desplazatzen duelako bolumena handitzean. Bi bolumenak berdinak dira likidoa konprimiezina bada.

Likidoarengan eragindako lan totala hau da: dW=(p−p₀)·dV

Lan hori erabiltzen da tantaren gainazala handitzeko, eta demagun likidoaren tenperatura konstante mantentzen dela:  dW=g dA

Lan biak berdinduz, eta gainazal esferikoaren azalera eta bolumena erabiliz:

dV=4p r²dr   eta   dA=8p r·dr

Xaboi-ponpa  bi komunikatzea

Xaboi ponpa ezberdin bi (R₁ eta R₂ erradiodunak) irudiak erakusten duen bezala tutu batez komunikatzen baditugu eta bien arteko giltza irekitzen badugu, ikusiko dugu ponpa handiak ponpa txikia "irensten" duela.

Xaboi-ponpa baten barruko eta kanpoko presio-diferentzia oso txikia da presio atmosferikoaren aldean, beraz, kontsidera dezakegu airearen dentsitatea ez dela aldatzen ponpa batetik bestera pasatzen denean (fluido konprimiezina).

Bi esferen arteko presio-diferentzia hau da:

Esfera txikienak dauka presio handiagoa. Presio-diferentzia horren ondorioz, airea tututik desplazatuko da ponpa batetik bestera. Airearen abiadura kalkula daiteke Bernoulli-ren teorema aplikatuz.

Esfera txikitik handira pasatzen den aire-bolumena dt denbora-tartean kalkula dezakegu: vSdt.  Hemen S tutuaren sekzioa da (S=πr² zirkularra bada). Abiadura kalkulatzeko airearen dentsitatea ezagutu behar da: ρ=1.29 kg/m³.

Esfera handiaren bolumena handituz doa eta txikiarena gutxituz:

Integrala ebazteko prozedura numerikoak erabil daitezke:

Esferaren hasierako erradioa ezagututa (R₀₁) kalkula daiteke zenbat denbora behar duen esferaren erradioak R₁ izan arte (R₀₁≤R₁<V^1/3).

Azken ekuazioak erakusten du bi esferen bolumenen batura konstantea dela. Hurbilketa honetan airea fluido konprimiezintzat har dezakegu, burbuila batetik bestera pasatzean, presio-aldaketa oso txikia delako presio atmosferikoaren aldean.

Oharra: atal honetan emandako deskribapena kualitatiboa da, baina nahiko ondo azaltzen du nola bi ponpa ezberdin, tutu txiki batez komunikatzean, ponparik handiena handitu egiten da txikienaren bizkar, harik eta txikiena desagertzen den arte. Ariketa hau zehazkiago aztertzeko, aldaketa termodinamikoak ere kontutan hartuta, erreferentzietan aipatutako bigarren artikulua irakur ezazu.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Bi esferen hasierako erradioa, Burbuilaren erradioa izeneko desplazamendu-barrari saguaz eragiten. Betiere, handiena ezkerraldean irudikatzen da.
• Xaboi ponparen Gainazal tentsioa baina tarte honetan: 20·10^-3 eta 80·10^-3 N/m.
• Tutu komunikatzailearen erradioa finkotzat hartu da: r=0.5 cm

Hasi botoia sakatu.

Ikusten da nola burbuilarik txikiena are gehiago txikitzen den eta handiena handitu. Programak uneoro ematen ditu idatzita eta zenbakiz, denbora, eta bi burbuilen erradioak.