Oszilazioak

Osziladoreak (I)

Oszilazio askeak

Oszilazio indargetuak

Oszilazio behartuak:
egoera iraunkorra

Oszilazio behartuak:
egoera iragankorra

Pohl-en pendulua

Partikula bat malguki
baten gainera erori

Kutxa bat garraio-
zinta baten gainean

Indar konstante
batek indargetutako
osziladorea (I)

Indar konstante
batek indargetutako
osziladorea (II)

Oszilazio indargetuak

Itzultze-koefizientearen eredua

Orri honetan oszilazio indargetuak aztertuko ditugu, alegia, geldotzen doazenak; Naturan hainbat sistema oszilatzaile ezberdin existitzen dira baina, honako honetan, eredu gisa hartuko duguna da, k konstante elastikoa duen malguki bat, mutur bat finko duena, beste muturrean m masadun partikula bat eta aipagarri gisa, marruskadura, baina ez nolanahikoa, abiaduraren proportzionala baizik.

Azkenik, aplikazio gisa, baloi elastiko batek horma batekin talka egitea aztertuko dugu.

Oszilazio indargetuak

Esperientziak esaten digu gorputz oszilatzaileek, besteak beste, malgukiek eta penduluek, anplitudea galtzen joan ohi direla, batzuetan motelki baina besteetan bizkorrago.

Indargetzea azaltzeko, indar elastikoaz gain (F=−k·x) beste indar bat ere sartu behar da jokoan: marruskadura. Honako kalkuluetan hartuko dugun marruskadura mota, ez da ohikoa, abiadurarekiko proportzionala baizik: F_r= −lv  Marruskadura biskosoa (edo likatsua) deritzona. l marruskaduraren konstantea da eta sistema fisikoaren araberakoa, eta v partikularen abiadura (ez dirudien arren, kalkuluak errazten dira). Esate baterako, partikula bat fluido baten barruan desplazatzen denean (airean, uretan etab, erregimen laminarrean), horrelako marruskadura biskosoa jasaten du, desplazamenduaren aurkakoa eta abiadurarekiko proportzionala.

Higiduraren ekuazioa honela idatz daiteke:

ma= -kx-λv

Higidura-ekuazioa ekuazio diferentzial gisa adierazten badugu, kontutan izanda abiadura x posizioaren deribatua dela denborarekiko eta azelerazioa posizioaren bigarren deribatua denborarekiko.

Hona hemen ekuazio diferentzial horren soluzioa:

Oszilazio indargetuen ezaugarri nagusiak:

• Oszilazioen anplitudea gutxituz doa denborarekin.
• Osziladorearen energia gutxituz doa denborarekin, F_r marruskadura biskosoak abiaduraren aurka egindako lanaren eraginez.
• Faseen espazioan (v-x) partikularen ibilbidea espiral bat da, koordenatuen jatorrirantz jotzen duena.

Oszilazio indargetuen maiztasunari erreparatuz: w²=w₀²-g²: Indargetze-efektua ahula bada, g <<w₀ , orduan w maiztasuna marruskadurarik gabeko w_o maiztasunaren antzekoa da (w » w_o). Marruskadura handiagoa bada baina oraindik maiztasun erreala ematen badu, oszilazioek indargetze txikia dutela esaten da. Oraindik marruskadura handiagoa bada, gerta daiteke g =w₀  izatea, eta beraz w  nulu izatera irits daiteke (indargetze kritikoa) edota irudikaria  (g >w₀ : gehiegizko indargetzea). Kasu horretan, partikula oreka-posiziorantz desplazatu, desplazatzen da, baina ez du oszilazio bat bera ere gauzatzen. Oszilazio indargetuetan partikularen energia barreiatu egiten da ingurunean zehar marruskaduraren eraginez.

Hasierako baldintzak

Hasierako posizioak (x₀) eta hasierako abiadurak (v₀) oszilazioen A anplitudea eta j hasierako fasea determinatzen dute.

t=0 denean:

x₀=A·sinj
v₀=-Ag·sinj+Aw·cosj

Ekuazio-sistema horretan A eta j  ateratzen dira x₀  eta v₀ ezagututa.

Adibidea:

Demagun oszilazio indargetu batek berezko maiztasuna duela: ω₀=100 rad/s, eta marruskaduraren konstantea γ=7.0 s^-1. Partikularen hasierako posizioa x₀=5 bada eta hasierako abiadura v₀=0, idatz ezazu oszilazio indargetuaren ekuazio osotua:

Hona hemen oszilazio indargetuaren maiztasun angeluarra: ω

5=A·sinj
0=-7A·sinj +99.75·A·cosj

Eta hortik oszilazio indargetuaren ekuazio osotua:

x=5.01·exp(-7t)·sin(99.75t+1.5)

Hasierako baldintza horiekin beroiekin oszilazio askeetan A anplitudeak 5 eman du eta eta hasierako φ faseak π/2. Ikusten denez, oszilazio indargetuetan ez du berdin ematen.

Itzultze posizioak

Partikularen desplazamendu maximoa gertatzen da bere abiadura nulu bilakatzen den unean. Abiaduraren adierazpenean ordezkatzen badugu v=0 eta argumentua bakantzen badugu (ωt+φ), honakoa ateratzen da:

tan(ωt+φ)=ω/γ

Hona hemen itzultze-posizioak:

Partikularen hasierako baldintzak honakoak badira: x₀ eta v₀=0, orduan faseak honakoa balio du:  tanφ=ω/γ, eta A=x₀/sinφ

Adibidea:

Hona hemen aurreko adibidearen itzultze-posizioak (ω₀=100 rad/s, γ=7.0 s^-1):

t₀=0, x₀=5
t₁=0.031, x₁=-4.01
t₂=0.063, x₂=3.22
t₃=0.094, x₃=-2.58

eta horrela behin eta berriz.

Osziladore indargetuaren energia

Partikularen energia totala, ohi  bezala, energia zinetikoaren eta energia potentzial elastikoaren batura da:

Partikularen x posizioa eta v abiadura ordezkatzen baditugu t denboraren menpe:

Indargetzearen γ  konstantea txikia bada, aurreko adibidean bezala: ω≈ω_o

Energia esponentzialki doa gutxituz denborarekin, baina parentesi artean dagoen bigarren terminoak oszilazio txiki bat gainezartzen dio, ondoko irudiak erakusten duen bezala:

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Hasierako posizioa, x₀, dagokion kontrolean idatziz.
• Hasierako abiadura, v₀, dagokion kontrolean idatziz.
• Indargetze-konstantea, γ, dagokion kontrolean idatziz.
• Osziladorearen maiztasun angeluarra finkotzat hartu da: w₀ =100 rad/s

Hasi botoia sakatu.

• Ezkerraldean, malguki bat ikusten da bertikalki eskegita eta bere muturrean partikula bat oszilatzen eta indargetua. Ondoan, grafiko bat: partikularen posizioa denboraren menpe: x-t.
• Partikularen x posizioa idatziz erakusten da goiko eta ezkerreko erpinean.
• Eskuman eta goian, partikularen ibilbidea faseen espazioan: v-x grafikoa.
• Eskuman eta  behean partikularen energia totala (zinetikoa gehi potentziala) denboraren menpe: E-t grafikoa.

Saia itzazu, esate baterako, honako indargetze konstanteak: g : 5 (gutxi indargetua), 100 (kritikoki indargetua), 110 (asko indargetua).

Itzultze-koefizientearen eredua

Atal honetan baloi elastiko batek horma finko batekin talka egitea aztertzen da. Talkak irauten duen bitartean baloiak bi indar jasaten ditu: Indar elastiko bat, masa zentroaren desplazamenduaren proportzionala (kx) eta baloiaren masa-zentroa oreka-posiziorantz bultzatzen duena. Marruskadura-indar bat, lv, masa zentroaren abiadurarekiko proportzionala, eta talkak eragiten duen energia-galeraren erantzule. Bestelako indarrak arbuiatzen dira: baloiaren pisua, bi gainazalen irristatzearen aurkako marruskadura, etab.

Hona hemen masa-zentroaren higiduraren ekuazioa:

ma=-kx-λv

edota:

Hauxe da oszilazio indargetuen ekuazio diferentziala: w₀²=k/m sistemaren berezko maiztasuna da (marruskadurarik gabea), eta marruskaduraren konstantea: g =l/(2m) .

Ekuazio diferentzial horrek hiru soluzio mota ditu w₀-ren eta g -ren arteko erlazioaren arabera:

Indargetze ahula (g<w₀)

Hasierako baldintzek determinatzen dute A anplitudearen eta f hasierako fasearen balioak: kasu honetan:  t=0, x=0, eta v=v₀.

Beraz:

Ekuazio horrek ematen du zehatz-mehatz baloi elastiko deformatuaren masa-zentroaren posizioa eta abiadura denboraren menpe adierazita:

Irudiak erakusten du baloi elastikoaren masa-zentroaren posizioa denboraren menpe. Periodo erdi bat osatu ondoren, (P/2=p/w) irudian gorriz adierazita, baloiak errebotea egiten du eta hormatik askatu egiten da. Hormatik urruntzean honako abiadura du:

Orokorrean, aurrez-aurreko talka batean itzultze-koefizientea honela definitzen da: e . Justu talkaren ondorengo v abiadura eta justu talka baino lehenagoko v₀ abiaduraren arteko zatidura. Kasu honetan:

Gure eredu honetan, e itzultze koefizienteak beste bi parametroren menpekotasuna du: oszilazio indargetuaren maiztasuna, w, eta indargetzearen konstantea, g.

Ikus daitekeenez, indargetzearen konstantea nulua bada, g=0, ez dago marruskadurarik baloi elastikoaren barnean, eta beraz, ez da energiarik galtzen. Horregatik talka erabat elastikoa da: e=1.

Indargetze kritikoa (g=w₀)

Orduan, ekuazio diferentzialaren soluzioa honakoa da:

Lehen aipatutako hasierako baldintza berdinak ezarrita: t=0, x=0, v=v₀. honela berridazten da:

Baloiaren masa-zentroak hasierako posiziora bueltatzea lortzen du, teorikoki denbora infinituan, alegia, baloiak ez du erreboterik egiten, amaierako abiadura nulua da eta talka horren itzultze-koefizientea nulua da: e=0.

Gehiegizko indargetzea (g>w₀)

Hona hemen ekuazio diferentzialaren soluzioa:

Lehen esandako hasierako baldintza berdinekin honela berridazten da:

Baloiaren masa-zentroak hasierako posiziora bueltatzea lortzen du, teorikoki denbora infinituan, alegia, baloiak ez du erreboterik egiten, amaierako abiadura nulua da eta talka horren itzultze-koefizientea nulua da: e=0.

Saiakuntza

Har dezagun berezko maiztasuna w₀ =100, eta alda dezagun indargetzearen g  konstantea 0-tik (talka erabat elastikotik) 150-eraino.

Oszilazio indargetuak

Aukeran idatz daiteke

• Hasierako abiadura dagokion kontrolean idatziz.
• Indargetze-konstantea dagokion kontrolean idatziz.

Hasi botoia sakatu.

Oszilazio gutxi indargetua bada, baloia ikusten da hormarantz mugitzen ezarritako abiaduraz, horman errebotea egin eta, abiaduraren parte bat galdu ondoren, itzuli egiten da.

1. Egin itzazu probak, esaterako, indargetze-konstantea aldatu gabe, soilik hasierako abiadura aldatuz.
2. Egiazta ezazu itzultze-koefizientea ez dela aldatzen (abiaduren arteko zatidura).
3. Irudika ezazu grafiko batean, amaierako abiadura ardatz bertikalean eta hasierako abiadura ardatz horizontalean. Egiazta ezazu zuzen bat ematen duela.

Indargetze kritikoa edota gehiegizkoa

• Beha ezazu baloiaren deformazioa indargetze kritikoaren kasuan (g=100),
• Eta gehiegi indargetutako kasu batean (g>100).