Garraio fenomenoak

Bero garraioa

Bero garraioa (I)

Bero garraioa (II)

Bero garraioa (III)

Eroankortasun
termikoa nola neurtu

Uhin termikoak

Bero garraioaren
simulazioa

Bero-iturria konektatzean

Bero-iturria deskonektatzean

Saiakuntza

Aurreko kapituluan habe metaliko baten tenperaturaren eboluzioa aztertu dugu denboraren menpe, t, aldiunearen arabera, baina honako datuen menpe:

• Habearen materiala, edota α parametroa: α=K/(ρc)

• Habearen hasierako tenperatura, t=0 aldiunean.

• Bi muturretako tenperatura finkoak.

Honako kapitulu honetan habearen puntu finko bat aukeratuko dugu eta tenperatura aztertuko dugu, alegia, tenperaturaren eboluzioa zenbait parametroren menpe, hala nola, materialaren bero-ahalmena edota eroankortasun termikoa (konduktibitatea).

Habe metalikoak L luzera dauka, bere muturretako batek tenperatura finkoa dauka (T₀) esate baterako, ura eta izotza dauzkan bainu batena, eta beste muturrean potentzia ezaguneko bero-iturri bat konektatzen da (dQ/dt watt). Habearen x posizioan termometro bat kokatzen da. Bero-iturria konektatzen denean, x posizioko tenperatura igotzen hasten da, eta azkenean, denbora-tarte bat igaro ondoren (teorikoki denbora infinitua), tenperatura konstantea izatera iristen da: T. Egoera horri egoera egonkorra deritzogu.

Bero-iturria deskonektatzean, habearen bi muturrek (x=0 eta x=L) tenperatura bera daukate, izan ere, bainuaren tenperatura: T₀. Azter dezagun nola jaisten den x posizioko tenperatura denboraren menpe, T₀ tenperaturara iristen den arte (teorikoki denbora-tarte infinitua izan arren).

Egoera egonkorra

Bero-garraioa deskribatzen duen ekuazio diferentziala hau da:

• ρ dentsitatea da.

• c bero espezifikoa.

• K eroankortasun termikoa (konduktibitatea).

Egoera egonkorrean, habeko edozein punturen tenperatura ez da aldatzen denboraren menpe: ∂T/∂t=0, aldiz, ∂T/∂x konstantea da, eta Fourier-en legearen arabera:

Minus zeinuak adierazi nahi du, tenperatura jaitsi egiten dela habean zehar: iturri beroa x=0 posizioan dago eta iturri hotza, berriz, x=L posizioan.

• S, habearen zeharkako sekzioa da.

• dQ/dt, bero-iturriaren potentzia, ezkerreko muturrean kokatuta dagoena.

• K eroankortasun termikoa, materialaren ezaugarria.

Egoera egonkorrean, t→∞

Ezagutzen badira, bero-iturriaren potentzia, x=L muturraren tenperatura finkoa (T₀) eta x posizioaren T tenperatura, orduan, materialaren K eroankortasun termikoa kalkula daiteke.

Adibidea:

• Demagun bero-iturriaren potentzia 4.0 W dela eta ezkerreko muturrean kokatzen dela.

• Eskumako muturra izotza daukan ur-bainu batean mantentzen da: T₀=0 ºC.

• Habe metalikoa zilindroa da, L=25 cm-ko luzera eta r=5 mm-ko erradioa.

Termometroa kokatu da, x=3 cm-ko posizioan eta neurtu duen tenperatura hau da: T=53.6 ºC (bero-iturria konektatu ondoren  denbora "nahikoa" itxaron da).

Bero iturria konektatzean

Oreka egoerara iritsi aurretik, habeko edozein puntuko tenperaturak, T(x, t), bi atal izango ditu: batetik, egoera egonkorrari dagokiona, T(∞, x), eta, bestetik, egoera iragankorrari dagokiona:

Mugalde baldintzak:

• x=L posizioan, eskuin muturrean, T(L, t)=T₀ tenperatura finkoa da:

• x=0 posizioan, bero-iturriaren potentzia konstantea da, dQ/dt=kte, edozein t aldiunetan, eta Fourierren legearen arabera:

Tenperaturaren adierazpena, T(x,t),  x-rekiko deribatzen badugu:

Beraz, δ_n faseak kalkulatzea lortu dugu eta, hortik, ω_n maiztasun angeluarrak:

Beraz, habearen tenperatura, erregimen aldakorrean, honela adieraz daiteke:

Azkenik, a_n koefizienteak kalkulatzeko, habearen hasierako tenperatura-banaketa aplikatu behar da, alegia, T(x, 0)=T₀ uniformea dela habe osoan zehar, t=0 aldiunean.

Egin dezagun honako integrala:

Integrazioa burutzeko, aldagaia aldatu behar da: z=πx/L, dz= πdx/L

Zatika integratzen da, bi aldiz:

Emaitzaren arabera, seriezko garapeneko a_n koefizienteak kalkula daitezke:

Integra dezagun, berriz ere, zatika:

Kontutan izan, a+bπ=0 dela.

Beraz, habearen tenperatura-banaketa edozein aldiunetan, T(x, t), bi atalen batura gisa idatz daiteke: bata x-ren proportzionala (egoera egonkorra adierazten duena), eta bestea serie konbergente bat (egoera iragankorra deskribatzen duena):

Ondoko irudiak erakusten du, x posizioan dagoen puntuaren T tenperatura denboraren menpe; bero-iturria t=0 aldiunean konektatu da. Puntu horrek atzematen duen tenperatura maximoa, T_max, egoera egonkorrekoa da.

Bero-iturria deskonektatzean

Jar dezagun berriz ere denboren jatorria zeroan: t=0.

Orain, hasierako egoera da, lehengo ataleko egoera egonkorra (bero iturria konektatzean).

Atal honetako egoera egonkorrean, ordea, habearen puntu guztiek bainuaren tenperatura bera daukate: T(x, ∞)=T₀.

Habearen edozein punturen tenperatura edozein aldiunetan, T(x, t), bi terminoren batura da: bata egoera egonkorrekoa, T(∞, x), eta bestea egoera iragankorrekoa:

Mugalde baldintzak:

• x=L posizioan, eskuin muturrean, T(L, t)=T₀, tenperatura finkoa da.

• x=0 posizioan, bero-iturria deskonektatu denez, dQ/dt=0, edozein t aldiunetan, eta Fourier-en legearen arabera:

Deriba dezagun T(x,t) adierazpena x-rekiko:

Beraz, δ_n faseak kalkulatzea lortu dugu eta, hortik, ω_n maiztasun angeluarrak:

Habearen tenperaturaren adierazpen orokorra, x posizioaren eta t denboraren menpe, bi atalen batura da: egonkorra eta iragankorra:

Azkenik, a_n koefizienteak kalkulatzeko, habearen hasierako tenperatura-banaketa aplikatu behar da, alegia, T(x, 0) habe osoan zehar, t=0 aldiunean:

a_n koefizienteak kalkulatu behar ditugu honako funtziotik abiatuta:

Aldagaia aldatuz, z=πx/L, orduan, f(z) funtzioa honela idatz daiteke:

a_n koefizienteak lehen bezala kalkula ditzakegu:

Habearen tenperaturaren adierazpen orokorra, x posizioaren eta t denboraren menpe, bi atalen batura da: egonkorra (T_o termino konstantea) eta iragankorra:

Ondoko irudiak erakusten du, x posizioan dagoen puntuaren T tenperatura denboraren menpe (konexioko puntu bera); bero-iturria t=0 aldiunean deskonektatu da. Hasieran tenperatura maximoa du, T_max, eta egoera egonkorrean T_o.

Saiakuntza:

Aukeran idatz daitezke:

• Bero-iturriaren Potentzia, W, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Materialaren Eroankortasun termikoa, K, kontrolean idatziz, tarte honetako zenbaki bat: 100-400 W/(m·K).

• Bero espezifikoa, c, kontrolean idatziz tarte honetako zenbaki bat: 400-900 J/(kg·K).

Gainontzeko datuak finkotzat hartzen dira:

Materialaren dentsitatea: ρ=5000 kg/m³, habearen luzera L=25 cm, sekzio zirkularraren erradioa r=5 mm eta beste muturreko tenperatura finkoa, T₀=0ºC.

Berria botoian klikatu.

• Saguarekin, termometroa kokatu behar da, habearen luzeran zehar ezker eskuin, edozein puntutan:  2<x<22 cm.

• Denboraren eskala finkatu behar da, Eskala t zerrenda tolesgarriko bat aukeratuz: 1, 2, 5, 10 (segundotan). Horrek adierazten du zein erritmoz igaroko den denbora simulazioan zehar. Hala ere, denbora simulatua erreala baino bizkorragoa da.

Konektatu botoian klikatu.

Ikusten da, termometroak neurtzen duen tenperatura handituz doala, eta programak zenbakiz erakusten du.

Grafikoa laukia aktibatuz gero, programak grafiko batean adierazten du termometroaren tenperatura denboraren menpe.

Tenperaturak egoera egonkorra atzematen duenean (balio maximo konstantea), programak mezu bat erakusten du: Deskonektatu. Eta nahi dugunean bero-iturria deskonekta dezakegu.

Orduan, termometroaren tenperatura gutxituz doa, harik eta bainuaren tenperatura finkoa atzematen duen arte: T₀=0 ºC.

Egin bitez, esaterako, honako probak:

• Termometroaren posizioa aldatu, baina materialaren K eroankortasuna eta c bero espezifikoa mantenduz.

• Bero-iturriaren potentzia aldatu, eta idatz bedi termometroak atzematen duen tenperatura maximoa egoera egonkorrean.

• Bero-iturriaren potentzia eta termometroaren posizioa mantenduz, aldatu bero espezifikoa, c, eta mantendu eroankortasuna, K.

• Bero-iturriaren potentzia eta termometroaren posizioa mantenduz, aldatu eroankortasuna, K, eta mantendu bero espezifikoa, c.