Garraio fenomenoak

Bero garraioa

Bero garraioa (I)

Bero garraioa (II)

Bero garraioa (III)

Eroankortasun 
termikoa nola neurtu

 Uhin termikoak

Bero garraioaren
simulazioa

Uhin termikoaren hedapena (propagazioa)

Anplitudearen indargetze-koefizientea nola neurtu, k

Uhin termikoen hedatze-abiadura nola neurtu

Saiakuntza

Erreferentzia

Kapitulu honetan, esperimentu batez, uhin termikoak ezagutu eta aztertuko ditugu, eta ikusiko dugu nola hedatzen diren metalezko habe batean zehar.

Aplikazio gisa aipatuko dugu, egunean zehar gertatzen diren tenperatura aldaketak zoruan behera bizkorrago hedatzen direla, baina sakonera txikiraino iristen direla urtean zeharreko tenperatura aldaketak baino, alegia, urtaroei dagozkienak baino. Fenomeno hori azter daiteke hedatze-abiaduraren menpe edota uhin termikoaren anplitudearen indargetzearen menpe, biak ala biak maiztasunaren menpekoak baitira.

Bero-iturri batez kobrezko habe baten muturra berotzen dugu. Bero-iturria oszilatzailea da, alegia, periodikoki piztu eta itzali egin daiteke erloju batez. Esperimentua abiatu eta gero, denbora pasatzen utzi behar da eta, azkenean, egoera egonkor dinamikoa atzematen da, izan ere, habeko puntu bakoitzaren tenperatura oszilatzailea da, batezbesteko balio baten inguruan.

Habearen luzera L=50 cm da.

Bi puntutako tenperaturak neurtuko ditugu, x₁ eta x₂. Puntu horietako oszilazio termikoen bi anplitudeekin, indargetze koefizientea kalkulatu ahal izango dugu, eta fase-diferentziarekin, uhin termikoaren hedatze-abiadura. Bi magnitude horien arteko erlazioak a² koefizientea ematen du, bero-garraioaren ekuazioan agertzen den konstantea:

α koefizienteak hiru konstante biltzen ditu: metalaren dentsitatea, ρ, bero espezifikoa, c, eta eroankortasun termikoa, K.

Habearen ezker muturraren berotze-funtzioa

Habearen muturra, x=0, periodikoki berotzen da, P periodoaz, eta 2·To anplitudeaz, ondoko irudiak erakusten duen bezala. Funtzio hori Fourier-en seriezko garapen gisa adieraz daiteke (xehetasunak Kalkulu Integraleko edozein liburutan kontsulta daitezke).

Har dezagun P periododun funtzio periodiko bat: f(t). Horrelako edozein funtzio, funtzio harmonikoen seriezko garapen gisa adieraz daiteke (sinuak eta kosinuak):

non,

Bereziki, gure funtzioa maila-funtzio bat da:

f(t)=T₀     baldin 0≤t<P/2
f(t)=−T₀   baldin P/2≤t<P

Eta kasu horretan, Fourier-en  a_i eta b_i koefizienteak honakoak ateratzen dira:

Integral horren emaitza hau da:

Alegia, a_i koefiziente guztiak nuluak dira (kosinuenak) eta b_i koefiziente bikoitiak ere bai (sinuen bikoitiak) Beraz, sinuen koefiziente bakoitiak soilik dira ez-nuluak. Orduan, maila-funtzioa honela adieraz daiteke seriezko garapen gisa:

Ondoko irudiak erakusten du habearen ezker muturraren beroketa-funtzioa, P=80 s periodoaz eta T₀=10º C anplitudeaz.

Eta ondoko irudiak erakusten du seriezko garapenaren lehen bost terminoen batura: i=1, 3, 5, 7 eta 9.

Hurrengo irudiak, berriz, seriezko garapenaren emaitza erakusten du, lehen 50 terminoen batura hartuta. Izan ere, termino bikoitiak nuluak direnez, termino bakoitiak hartu dira:  i=1-etik i=99-raino.

Uhin termikoaren propagazioa

Beroketa hasi eta denbora "nahikoa" iragan denean, sistemak ahaztu egin ditu hasierako baldintzak, eta habearen tenperatura-banaketa serie batez adierazten da. Seriearen terminoetako bakoitza uhin harmonikoa da ω_i maiztasun angeluarrekoa, k_i uhin-zenbakiduna eta, beraz, hedatze-abiadura: v_i=ω_i/k_i.

Soluzio hori ordezkatzen bada uhin termikoaren hedapenaren ekuazioan

honako hau lortzen da:

Adierazpen hori nulua izateak esan nahi du sinuen koefizienteak eta kosinuen koefizienteak denak nuluak izan behar direla, eta horrek bi ekuazio diferentzial ematen ditu:

Eta habearen ezker muturreko tenperatura-funtzioa mugalde baldintzatzat har daiteke.

Lehen ekuazio diferentziala integra dezagun:

Eta hasierako baldintza gisa ordezkatzen bada, x=0 posizioan, A_i(0)= 4·T₀/(i·π). Orduan soluzioa honakoa da:

Ordezkatzen badugu A_i(x) bigarren ekuazio diferentzialean:

Ikusten da anplitudea, A_i(x), esponentzialki gutxituz doala x distantziaren menpe, honela:

Tenperatura-banaketa aldakor osoa, posizioaren menpe eta denboraren menpe, honela adierazten da:

Ikusten denez anplitudea, A_i(x), laster gutxitzen da x-rekiko eta baita ere i-rekiko. Harmoniko altuak laster desagertzen dira eta, bero-iturritik urrutira, lehen harmonikoa bakarrik heltzen da (i=1). Bero-iturritik urrun, tenperatura-banaketa sinpleago idatz daiteke:

Eta uhin termikoen hedatze abiadura, metalezko habe batean zehar, hau izango da:

Uhin baten hedatze-abiadura, v, maiztasunaren menpekoa denean, ω, esaten da medioa dispertsiboa dela.

Zatidura egiten badugu, v/(2k)=α , bero garraioaren prozesuaren parametro bereizgarri bat ateratzen da, metal bakoitzaren ezaugarri berezia.

Anplitudearen indargetze koefizientea nola neurtu, k

Frogatu dugunez, uhin harmonikoaren anplitudea esponentzialki gutxituz doa ibilitako x distantziaren menpe.

Termometro bana kokatzen badugu bi posizio jakinetan, x₁ eta x₂ (bero-iturritik urrun aurreko hurbilketa baliozkoa izan dadin).

x1 posizioan, tenperaturaren oszilazioen anplitudea neurtuko dugu: A1. x2 posizioan, tenperaturaren oszilazioen anplitudea neurtuko dugu: A2.

Uhin termikoen hedatze-abiadura nola neurtu

Uhinak hedatzen direnean, perturbazioa Δx distantzia desplazatu egiten da Δt denbora tarte batean (gailur bat, zero bat...). Esaterako, tenperaturaren maximo bat x1 posizioan baldin badago t1 aldiunean, eta maximo bera x2 posizioan baldin badago t2 aldiunean, orduan, hedatze abiadura honela kalkulatzen da:

Metal batean zehar, beste hiru prozesu ere hedatzen dira, eta denek dute berezko abiadura bat:

• Soinuaren abiadura: menpekotasuna dauka materialaren Young-en moduluarekin eta dentsitatearekin; Kobrean 3000 m/s inguru ateratzen da.

• Korronte elektrikoa garraiatzen duten elektroien abiadura: 4·10^-7 m/s ingurukoa.

• Uhin termikoen hedatze abiadura, 3·10^-3 m/s ingurukoa.

Saiakuntza

Berria botoia sakatu.

Erregelan markatutako bi gezitxoak, urdina eta gorria, saguarekin desplaza daitezke ezker-eskuin, bi termometroen posizioak finkatzeko.

Aukeran idatz daitezke:

• Habea osatzen duen Metala, zerrendako seietako bat aukeratuz.

• Habearen ezker muturrean aplikatzen den Tenperaturaren anplitudea, T₀, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Oszilazioen Periodoa (segundotan), P, dagokion kontrolean idatziz.

Hasi botoian klik egin.

Bero iturria abiatzen da: periodo erdi batez, habearen muturra berotzen du (bero-iturria gorri), eta beste periodo-erdiz hoztu egiten du (urdina). Bero iturria erloju batek gobernatzen du (grisak).

Leihatilaren goiko aldean, baita ere, bi termometro daude (gorria eta urdina) eta, izan ere, gezitxo gorriak eta gezitxo urdinak markatzen dituzten posizioetako tenperaturak neurtzen dituzte. Tenperaturaren oszilazioen anplitudea txikiegia bada eskala handitu daiteke hobeto ikusteko.

Gezitxoen posizioak aukeratzeko, beha ezazu ea toki horietako tenperaturak HHS deskribatzen ote duten (gutxi gora behera).

• Neur ezazu tenperatura maximoa eta minimoa: A₁ eta A₂, eta hortik kalkula daiteke k, anplitudearen indargetze-koefizientea.

• Neur ezazu zenbat denbora behar duen maximo batek x₁ posiziotik x₂ posiziora joateko (Δt), eta hortik uhin termikoaren hedatze abiadura kalkula daiteke.

Adibidea:

• Metala kobrea da.

• Berotze-hozte prozesuaren anplitudea, ezker muturrean: T₀=15ºC.

• Periodoa, P=80 s.

Aukera ditzagun, esate baterako, honako bi posizioak: x₁=15 cm eta x₂=25 cm. Tenperaturaren oszilazioak, gutxi gora behera, HHS itxurakoak dira.

Adierazpen grafikoa argiago ikusteko, aukera ezazu, 10-eko eskala:

• Lehen posizioan, x₁=15 cm, tenperaturaren minimoa atzematen da: t₁=15.0 aldiunean, eta tenperatura minimo hori: A₁=1.201.

• Bigarren posizioan, x₂=25 cm, tenperaturaren minimoa atzematen da: t₂=39.5 aldiunean, eta tenperatura minimo hori da: A₂=0.176.

Beraz, uhin termikoaren anplitudearen indargetze-koefizientea, k, honela kalkulatzen da:

Eta uhin termikoen hedatze-abiadura kobrean:

Kalkula dezagun a parametroa:

Egiaztatzea

Hona hemen kobrearen datuak.

• Dentsitatea, ρ=8900 kg/m³

• Bero espezifikoa, c=390 J/(kg·K)

• Eroankortasun termikoa, K=389.6 W/(m·K)

Beraz, a parametroa: α=K/(ρ·c)=11.22·10^-5 m²/s, esperimentuan lortutako baliotik oso hurbil.