Garraio-fenomenoak

Bero garraioa

Bero garraioa (I)

Bero garraioa (II)

Bero garraioa (III)

Eroankortasun
termikoa nola neurtu

Uhin termikoak

Bero garraioaren
simulazioa

Ebazpen analitikoa

Ebazpen numerikoa

Erreferentziak

Fourier-en legea

Demagun habe metaliko baten bi muturretan tenperatura ezberdinak mantentzen ditugula. Orduan, habean zehar energiak zirkulatuko du. Dei diezaiogun J energiaren korronte-dentsitateari (azalera eta denbora unitateko). Fourier-en legearen arabera, energia-fluxua eta tenperatura-gradientea elkarren proportzionalak dira:

K konstantea, materialaren ezaugarria da, eta eroankortasun termiko deritzo, edo konduktibitatea.

Har dezagun habearen elementu bat, dx luzeraduna, eta S sekzioduna, goiko irudiak erakusten duena bezalakoa. Elementu horretan denbora unitatean sartzen den energia, JS , da eta irteten dena, berriz, J'S. Beraz, elementu horren barruan dagoen energia aldatzen ari da, izan ere, sartzen den fluxua ken irteten den fluxua:

Energia horren ondorioz elementuaren tenperatura aldatuko da. Denbora unitatean elementuak xurgatutako (edo emandako) energia izango da, elementuaren masa (r·S·dx), bider bero espezifikoa, bider tenperatura-aldaketa.

Azken bi adierazpenak berdintzen baditugu, eta Fourier-en legea ordezkatuz, ekuazio diferentzial bat lortzen da, bero-garraioa deskribatzen duen ekuazio diferentziala:

Soluzio analitikoa

Har dezagun habe metaliko bat, L luzeraduna, eta  konekta ditzagun bi muturrak foku kalorifiko banatan. Esaterako, T_a ezkerreko muturrean eta T_b eskumakoan. Dei diezaiogun T₀ habearen tenperaturari, oraindik fokuetan konektatu aurretik.

Denbora "nahikoa" igaro ondoren, habearen egoera, egonkorra izatera iritsiko da, alegia, habearen puntu guztietako tenperatura ez da gehiago aldatuko denbora igaro arren (denbora hori, teorikoki, infinitua da eta materialaren araberakoa, baina praktikan finitutzat har daiteke). Egoera egonkorrean, energia-fluxua konstantea izango da, J. Beraz, Fourier-en legearen arabera, T tenperaturak x posizioarekiko menpekotasun lineala izango du:

T(x)=

Egoera iragankorra deskribatzeko, alegia, hasierako egoeratik egonkorra izatera iritsi arteko tartea, honelako soluzio bat proba daiteke, aldagaiak bananduta: T(x, t)=F(x)·G(t), posizioaren menpekotasuna eta denboraren menpekotasuna.

Minus zeinuak izaera iragankorra bermatzen du.

Lehen ekuazio diferentziala integra dezagun:

Eta ondoren, bigarrena:

Alajaina, ekuazio diferentzial hori H.H.S-aren ekuazioa da, eta soluzioa, honelako itxurakoa da: a·sin(ωx+δ)

Ekuazio horren soluzioa T(x, t) da, alegia, tenperatura, habearen edozein x puntutan eta edozein t aldiunetan. Funtzio matematiko horrek bi termino ditu: bata egoera egonkorrekoa da, eta bestea egoera iragankorra.

Mugalde baldintzak

• Batetik, x=0 posizioan, T(0, t)=T_a, habearen ezker muturreko tenperatura finkoa da.

• Bestetik, x=L, posizioan,T(L, t)=T_b, habearen eskuin muturreko tenperatura ere finkoa da.

Beraz, habearen tenperatura-erregimen aldakorra honela idatz daiteke:

Tenperaturen hasierako banaketa

Orain a_n koefizienteak kalkulatu behar ditugu habearen hasierako tenperatura-banaketa ezagututa. Izan ere, t=0 aldiunean habearen tenperatura-banaketa konstantea da: T(x, 0)=T₀ .

Beherago azalduko dugu nola kalkulatzen diren seriezko garapeneko a_n koefizienteak, interes berezia duten irakurleentzat.

Habearen edozein puntuko tenperaturak eta edozein aldiunetan, bi termino ditu: batetik, x-ren menpeko termino bat eta, bestetik, t denboraren menpeko serie konbergente bat, egoera iragankorra deskribatzen duena:

α parametroak adierazten du [a=K/(ρc)], nolabait, egoera egonkorra atzemateko behar den denbora. Zenbat eta handiagoa izan a parametroa orduan eta bizkorrago atzemango da egoera egonkorra.

Saiakuntza

Ondoko saiakuntzan bero-garraioa aztertuko dugu, habe metaliko batean, bi muturrak foku kalorifiko banatan konektatuta dituelarik. Gainera aztertuko dugu, habearen puntu bakoitzak duen tenperaturaren eboluzioa denboran zehar.

Bero-garraioa baldintzatzen duten zenbait faktoreren eragina aztertuko dugu, hala nola, habearen materiala, edota bi muturretako tenperatura finkoen arteko aldea.

• Programan Metala aukeratu behar da. Erabiltzen diren magnitudeen unitateak Nazioarteko sisteman adierazita daude.

Datuen jatorria: Koshkin N. I., Shirkévich M. G. Manual de Física Elemental. Mir argitaletxea, 1975. orrialdeak: 36, 74-75, 85-86

Saguarekin gezi urdinak desplazatuz, aukeratu daitezke:

• Ezker muturraren tenperatura finkoa, T_a.
• Eskuin muturraren tenperatura finkoa, T_b.
• Habearen hasierako tenperatura, T₀ (erdiko gezia).

Habearen luzera finkotzat hartzen da: L=0.5 m. Berria botoian klikatu.

• Denbora(min) izeneko desplazamendu-barran, t aldiunea aukera dezakegu (minututan).

Grafikoa botoian klikatu.

Programa interaktiboak tenperatura-banaketa irudikatzen du habearen luzera osoan zehar. Aukeratu berri den aldiunean gorriz eta aurretik aukeratutako aldiunean urdinez.

Kuestioak:

• Azter ezazu nola aldatzen den tenperatura-banaketa denboran zehar. Egiazta ezazu egoera egonkorrean banaketa lineala dela eta ez duela menpekotasunik hasierako tenperaturarekin, soilik muturretako bi tenperaturekin.
• Azter itzazu material ezberdinetako habeak, gainontzeko baldintzak berdinak ezarrita.

Nola kalkulatu seriezko garapenaren a_n koefizienteak

f(x) funtzioa bakoitia da, eta goiko definizioak seriezko garapen gisa adierazten du. Ohar bedi ez daukala termino independenterik, ezta kosinuez adierazitako terminorik. f(x) funtzioaren periodoa 2L da eta –L-tik  +L-raino doa, irudiak erakusten duen bezala.

Biderka ditzagun bi atalak bider, sin(mπx/L), eta integra ditzagun –L-tik +L-raino.

Ondoren, aldagai aldaketa egin: z=πx/L, eta dz= πdx/L

(1)

Bigarren ataleko integrala zatika egin daiteke:

Eta berriz ere zatika integratu:

Baldin m=n

Eta (1) adierazpena asko sinplifikatzen da:

Demagun, esaterako, habearen hasierako tenperatura uniformea dela, alegia, puntu guztietan bera dela: T(x, 0)=T₀. Gainera,  f(x)  funtzioa lineala da:

Kalkula ditzagun a_n koefizienteak Fourier-en seriezko garapenean:

Azkenik,

Ebazpen numerikoa

Sinplifikatzeko, har dezagun denboraren eskala honako baldintzarekin: x=a²t, garraio termikoa deskribatzen duen ekuazio diferentziala sinpleago berridatz daiteke:

Deribatu partzialetako ekuazio diferentzial hori sare-prozedura batez ebatz daiteke, ondoren azaltzen den bezala:

Har dezagun posizio-denbora koordenatu sistema bat (x ardatz horizontalean eta x bertikalean). Eraiki dezagun taula bat, zuzen paraleloak irudikatzen, batetik x ardatzarekiko paraleloak (bertikalak) eta haien artean h separazio finkoa utziz, h=L/n, non L habe metalikoaren luzera den, eta n tarte-kopurura. Eta bestetik, egin ditzagun X ardatzarekiko zuzen paraleloak (horizontalak) k separazio finkoa utziz.

Habe metalikoaren tenperaturak kalkula daitezke honako puntuetan: x=ih (i=1, 2, 3, 4...n) eta honako aldiuneetan: x=(j+1)k, ezagutzen baditugu justu posizio horietako tenperaturak baina aurreko aldiunean, x=jk (j=0, 1, 2, 3...). Horretarako, honako prozedura errekurtsiboa erabil daiteke (irudiak erakusten duena):

Hasierako tenperatura-banaketa (j=0) uniformea da, izan ere, habearen hasierako tenperatura: T₀. Eta bi muturretako tenperatura finkoak: T_a eta T_b. Datu horietatik abiatuta eta formula errekurtsiboa behin eta berriz aplikatuz, sarearen posizio guztietako tenperaturak kalkula daitezke: (i, j).

Prozedura hori kalkulagailu batez egin daiteke, edota ordenagailu bidezko programa batez, honako arauak jarraituta:

1. Eraiki bedi esandako taula eta bete bitez hurrenez hurren: ezkerreko zutabea (ezker muturraren tenperatura, T_a), eskumako zutabea (eskuin muturreko tenperatura, T_b) eta azpiko ilara (habearen hasierako tenperatura, T₀).

2. Formula errekurtsiboa aplikatuz, bete bedi hutsik dagoen lehen ilara. Lortzen diren kopuruek "lehen" aldiuneko tenperatura-banaketa osatzen dute, alegia, "zero" aldiunearen hurrengoa.

3. Lehen ilara osatu ondoren, bete ezazu hutsik dagoen bigarren ilara, eta horrela behin eta berriz.