Garraio fenomenoak

Bero garraioa

Bero garraioa (I)

Bero garraioa (II)

Bero garraioa (III)

Eroankortasun
termikoa nola neurtu

Uhin termikoak

Bero garraioaren
simulazioa

Saiakuntza

Erreferentzia

Aurreko kapituluan bero garraioa aztertu dugu, L luzeradun habe lineal batean. Ikusi dugunez, tenperatura-banaketaren erregimen aldakorra bi terminotan adieraz daiteke: bata egoera egonkorrekoa eta bestea egoera iragankorrekoa. Horretaz gain, ezagutzen badira, habearen mugalde-baldintzak eta hasierako tenperatura-banaketa, orduan, bi aldagaietako T(x,t) funtzioa kalkulatzera irits gaitezke, alegia, habearen x puntu zehatz bakoitzeko tenperatura, edozein t aldiunetan.

Honako kapitulu honetan antzeko adibidea aztertuko dugu: esfera batek, hasieran, tenperatura uniformea dauka, T₀, eta bat batean, bainu termiko batean murgiltzen da, T_s tenperaturaduna. Bainuaren tamaina infinitutzat hartuko dugu, alegia, bere tenperatura ez da aldatzen.

Bero  garraioaren ekuazioa esfera homogeneo batean

Hona hemen bero garraioaren ekuazioa, hiru dimentsiotako medio homogeneo eta isotropo batean:

• ρ medioaren dentsitatea.
• c bero espezifikoa.
• K eroankortasun termikoa.

R erradiodun esfera bat hartzen badugu eta, simetria esferikoa baldin badaukate, bai hasierako tenperatura-banaketak zein mugalde baldintzek, orduan, gainazal isotermikoak esferak izango dira, zentrukideak, eta tenperaturak soilik izango du menpekotasuna r distantzia erradialarekin eta t denborarekin.

Adibidez: demagun esferak hasieran tenperatura uniformea daukala, T₀, alegia, hasierako tenperatura-banaketa, T(r, 0)=T₀. Bat batean, t=0 aldiunean, esfera ur-ontzi handi batean murgiltzen dugu, non urak T_s tenperatura duen eta etengabe ura mugitzen ari den. Mugalde baldintza, beraz: T(R, t)=T_s. Denbora "nahikoa" iragan ondoren, (teorikoki t→∞, infinitua) esferaren tenperatura egoera egonkorrera iritsiko da, eta bainuaren tenperatura bera izango du.

Bero-garraioaren ekuazioa koordenatu esferikotan honela berridazten da:

Aldagaia aldatuz gero, V=r·T , deribatu partzialetako ekuazio diferentzialean, aldagaiak bananduta berridatz daiteke:

ondoren egiazta daitekeenez:

Bila ditzagun aldagaiak bananduta dituzten soluzioak: V(r, t)=F(r)·G(t) (aldagai bakoitzak faktore bana).

"Minus" zeinuak izaera iragankorra bermatzen du.

Lehen ekuazio diferentziala integra dezagun:

Ondoren bigarrena:

Ekuazio diferentzial hori Higidura Harmoniko Sinplearena bezalakoa da, eta honelako soluzioa du: a·sin(ωr+δ)

Esferaren tenperatura-banaketaren erregimen aldakorra bi terminoz osatzen da: bata egoera egonkorra eta bestea egoera iragankorra:

Soluzioaren forma zehatzak menpekotasuna du, mugalde baldintzekin eta hasierako tenperatura banaketarekin.

Hasieran, t=0, esferako puntu guztiek tenperatura bera dute, T₀. Esferaren zentroaren tenperatura ere horixe bera da: T(0, 0)=T₀

Mugalde baldintza

Esfera bainu termikoan murgiltzen denean, eta aurrerantzean, gainazalak tenperatura finkoa izango du, T_s, izan ere, bainu termikoaren tenperatura bera: T(R, t)=T_s

Beraz, esferaren erregimen aldakor orokorra honela idatz daiteke:

Hasierako tenperatura banaketa

Soilik geratzen zaigu a_n koefizienteak kalkulatzea, eta horretarako, hasierako tenperatura banaketa ordezka daiteke, alegia, t=0 aldiunean: T(r, 0)=T₀.

Berdintzaren eskuin aldeko seriezko garapena, f(r) funtzio bakoiti batena da, ez daukalako termino independenterik ezta kosinuaren menpeko terminorik. f(r) funtzioaren periodoa 2R da eta –R-tik +R-raino doa.

Alda dezagun aldagaia: z=πr/R

Integral horren emaitzaren arabera,

a_n koefizienteek balio ezberdinak hartzen dituzte:

Beraz, esferako edozein puntuko T tenperatura, zentrotik r distantziara, eta edozein t aldiunetan, bi terminoren batura gisa adieraz daiteke: batetik, egoera egonkorreko tenperatura, T_s, eta bestetik egoera iragankorra deskribatzen duen serie bat:

Hain zuzen ere, esferaren zentroaren tenperatura (r→0):

eta denboraren menpe adierazita:

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Materialaren Alfa parametroa, α=K/(ρc), desplazamendu barrari saguaz eragiten (10^-7 m²/s unitateetan)

• Esferaren Erradioa, R, zentimetrotan, desplazamendu barrari saguaz eragiten.

Berria botoian klik egin.

• Hasteko, esferaren hasierako tenperatura uniformea finkatu behar da, T₀ , eta bainu termikoaren tenperatura, T_s, saguarekin bi termometroetako gezi urdinak gora eta behera desplazatuz.

Hasi botoian klik egitean, esfera bainu termikoan murgiltzen da.

Leihatilan bi termometro erakusten dira: gainekoak bainu termikoaren tenperatura adierazten du (finkoa) eta behekoak esferaren zentroarena, T(0, t) (aldakorra).  Goiko eta ezkerreko erpinean programak denbora zenbakiz erakusten du, minututan emanda.

Grafikoa laukia aktibatuz gero, Hasi botoian klik egitean, programak grafiko batean erakusten du esferaren zentroaren tenperatura, T(0, t) (ardatz bertikalean) denboraren menpe (ardatz horizontalean eta minututan).