Dinámica celeste |
El Sistema Solar Medida de la velocidad de la luz. La luna
Periodo de un péndulo Péndulo accionado por fuerzas de marea El fenómeno de las mareas Aceleración de la gravedad Viaje por el interior de la Tierra Modelo del interior de la Tierra Desviación hacia el este de un cuerpo que cae (I) Desviación hacia el este de un cuerpo que cae (II) Choque de un meteorito con la Tierra Medida de G La forma de la Tierra |
La máquina de Atwood | |||||||||
La máquina de AtwoodEn la figura, se muestran las fuerzas sobre cada uno de los dos cuerpos, supondremos que m1>m2. Consideramos que la aceleración de la gravedad g es constante en módulo y dirección
La velocidad de los cuerpos cuando el primero desciende una altura h partiendo del reposo es
Aplicando el principio de conservación de la energía, se llega al mismo resultado. Comparamos el estado inicial y el estado final cuando el cuerpo de masa m1 desciende una altura h, y el cuerpo de masa m2 asciende la misma altura. Ponemos el nivel cero de energía potencial en la posición inicial de los dos cuerpos. Igualamos la energía inicial y la energía final.
Una máquina de Atwood gigantescaSi los dos cuerpos tienen la misma masa y están a la misma altura, la máquina de Atwood estará en equilibrio inestable. En cambio, si los dos cuerpos están inicialmente a distinta altura la variación de la aceleración de la gravedad con la altura hace que el cuerpo más cercano a la Tierra experimente una fuerza mayor que el cuerpo más alejado.
Siendo R=6.37·106 m el radio de la Tierra, M=5.98·1024 kg la masa de la Tierra, G=6.67·10-11 Nm2/kg2, y m es la masa de cada uno de los dos cuerpos.
Teniendo en cuenta que H y x son muy pequeños frente al radio R de la Tierra, podemos obtener una expresión sencilla de la aceleración a en función del desplazamiento x.
Escribimos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial
La solución de esta ecuación diferencial tiene la forma
La velocidad de los cuerpos es
Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales, en el instante t=0, el desplazamiento inicial es x=x0, y la velocidad inicial v=0. Las expresiones de la posición y velocidad de los cuerpos son
Tiempo que tarda uno de los cuerpos en llegar al suelo. El cuerpo más cercano a la Tierra parte de la posición x=x0 en el instante t=0, y llega a la posición x=H en el instante t. Despejamos el tiempo t en la ecuación H=x0·cosh(kt)
Haciendo el cambio de variable z=ekt, tenemos una ecuación de segundo grado en z. La raíz que da un tiempo t positivo es
Como podemos apreciar el tiempo t depende del cociente H/x0. Se obtiene el mismo tiempo cuando H=100 y x0=10, que cuando H=10 y x0=1. Siempre que se cumpla que H<<R Balance energético Comparamos la situación inicial con la situación en el instante t (véase la segunda figura). Aplicamos el principio de conservación de la energía
Dado el desplazamiento x calculamos la velocidad v de los cuerpos
EjemploLa posición de equilibrio de los dos cuerpos a la misma altura H=100 m. Se desplaza los dos cuerpos x0=10 m. Calcular el tiempo que emplea en llegar al suelo y la velocidad final de los bloques. Datos:
Aplicando el principio de conservación de la energía
v=0.174795 m/s Hay una pequeña discrepancia entre el cálculo exacto de la velocidad y el aproximado teniendo en cuenta que H y x0 son pequeños frente al radio R de la Tierra ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza
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West J. O., The Atwood machine: two special cases. The Physics Teacher Vol. 37, February 1999, pp. 83-85