Dinámica celeste |
El Sistema Solar Medida de la velocidad de la luz. La luna Máquina de Atwood Periodo de un péndulo Péndulo accionado por fuerzas de marea El fenómeno de las mareas Aceleración de la gravedad
Modelo del interior de la Tierra Desviación hacia el este de un cuerpo que cae (I) Desviación hacia el este de un cuerpo que cae (II) Choque de un meteorito con la Tierra Medida de G La forma de la Tierra |
Intensidad del campo gravitatorio g
producido por la Tierra Túnel por el interior de la Tierra Movimiento sobre una superficie horizontal |
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Se desprecia el rozamiento, y se supone que la Tierra no gira sobre su eje y que es perfectamente esférica, de densidad uniforme, y que el túnel tiene un diámetro suficientemente pequeño para que no afecte a la fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre la partícula considerada. Podríamos imaginar que se hace un túnel que atraviese la Tierra desde España a sus antípodas situadas en Nueva Zelanda. Una persona que se introdujese en el túnel en Madrid saldría por el extremo opuesto después de 42 minutos de viaje, suponiendo que resista las altas temperaturas existentes en el centro de la Tierra. Supongamos que se hace un túnel que conecte las ciudades de Bilbao y Madrid, una persona que se introduce en el túnel en ciudad origen llegaría al destino al cabo de 42 minutos, más o menos el tiempo de viaje en avión, sin tener en cuenta la larga espera en el aeropuerto antes del embarque.
Intensidad del campo gravitatorio g producido por la TierraEn la sección campo eléctrico del capítulo Electromagnetismo, se estudia un caso similar, el modelo de Kelvin-Thomson de un átomo de hidrógeno o ión hidrogenoide con un solo electrón. El átomo tiene forma esférica de radio R, y la carga positiva Q está uniformemente distribuida en dicha esfera. El campo gravitatorio y el campo eléctrico tienen similitudes y diferencias. · El campo eléctrico está asociado a una propiedad de la materia que es la carga eléctrica. Hay dos tipos de carga positiva y negativa. Las fuerzas que describen las interacciones entre partículas cargadas pueden ser atractivas o repulsivas. · El campo gravitatorio está asociado a una propiedad de la materia que es la masa. La fuerza que describe la interacción entre dos partículas es siempre atractiva. El campo gravitatorio producido por una distribución esférica de masa de radio R y masa M , tiene una expresión similar al campo eléctrico producido por una distribución esférica de carga de radio R y carga total Q. Para calcular el campo gravitatorio utilizaremos en las siguientes equivalencias fundamentadas en la ley de Gauss.
El campo gravitatorio producido por una distribución esférica uniforme de masa M y de radio R en un punto situado a una distancia r<R del centro, es equivalente al campo gravitatorio producido por la porción de masa contenida en la esfera de radio r en un punto de su superficie.
El campo gravitatorio g producido por una distribución esférica y uniforme de masa de radio R y masa M tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la Tierra. Su módulo vale.
Túnel por el interior de la Tierra
La componente de dicha fuerza Fx a lo largo del eje del túnel es
La fuerza Fx es proporcional al desplazamiento x de la partícula respecto de la posición de equilibrio estable (Fx=0) y de sentido contrario al mismo, un signo inequívoco de que la partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.). La ecuación del movimiento es
Llegamos a la ecuación diferencial de un MAS de periodo P=2π/ω
La partícula describe un MAS cuyo periodo es de 84.3 minutos y es independiente de la amplitud.
Movimiento sobre una superficie horizontal
La fuerza sobre la partícula vale
La componente de dicha fuerza Fx=-F·senθ=-F·x/r es de sentido contrario al desplazamiento pero ya no es proporcional al desplazamiento x sino a x/r3 La ecuación del movimiento de la partícula será ahora
Si el desplazamiento x es pequeño, o el ángulo θ es pequeño, podemos hacer la aproximación r≈R. La partícula describe un MAS cuyo periodo es de nuevo 84.3 minutos siempre que la amplitud sea pequeña. Como en el péndulo simple, el periodo de las oscilaciones es dependiente de la amplitud, y se puede considerar constante en la aproximación de pequeñas desviaciones de la posición de equilibrio estable.
Orbita circular alrededor de la Tierra
El tiempo que tarda en dar una vuelta completa o periodo es
Los cuadrados de los periodos son proporcionales a los cubos de el radio de la trayectoria circular (tercera ley de Kepler). Supongamos que la Tierra es perfectamente esférica, sin accidentes geográficos, y sin atmósfera que frene el movimiento de los cuerpos. El periodo de un satélite artificial que pasase justamente encima de nuestras cabezas sería el mismo que el periodo de las oscilaciones de un cuerpo que viajase por un túnel excavado en la Tierra
Este es el tiempo mínimo que tarda un satélite en completar una vuelta alrededor de la Tierra.
El radio de un satélite geoestacionario se obtiene poniendo el dato P=24·60·60=86400 s en la fórmula del periodo y despejando r.
o bien, 35880 km por encima de la superficie de la Tierra.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Se observa el movimiento oscilatorio de una partícula que se introduce por el extremo del túnel, y se comprueba que el periodo de oscilación es de aproximadamente 84 minutos, y es independiente de la posición del túnel. La amplitud de la oscilación es la mitad de la longitud del túnel. Ejemplo: Tomando como unidad de longitud el radio de la Tierra R=6.37·106 m, si el túnel dista del centro de la Tierra y=0.6, la amplitud es
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Romer R. The answer is forty-two. Many mechanics problems, only one answer. The Physics Teacher, 41, May 2003, pp. 286-290
Viaje por el interior de
la Tierra
