Dinámica celeste |
El Sistema Solar Medida de la velocidad de la luz. La luna Máquina de Atwood Péndulo accionado por fuerzas de marea El fenómeno de las mareas Aceleración de la gravedad Viaje por el interior de la Tierra
Desviación hacia el este de un cuerpo que cae (I) Desviación hacia el este de un cuerpo que cae (II) Choque de un meteorito con la Tierra Medida de G La forma de la Tierra |
Variación de la aceleración de la
gravedad g con el radio r
Presión en el centro de la Tierra |
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La variación de la densidad de la Tierra con el radio es bien conocida actualmente (véase el artículo citado en las referencias). La densidad aumenta al disminuir el radio, experimentando un cambio brusco para rc=3490 km o rc/R=0.548. El interior de la Tierra se divide en dos partes: el núcleo una esfera de radio rc y el manto, una capa esférica de radio interior rc y exterior R. Una de las consecuencias más sorprendentes es que, la aceleración de la gravedad aumenta con la profundidad hasta alcanzar un máximo y luego, disminuye.
Vamos a estudiar un modelo de Tierra que consta de un núcleo de radio rc=3490 km y densidad constante ρc=11.0 g/cm3 y un manto de radio interior rc y radio exterior R=6371 km de densidad constante ρm=4.437 g/cm3. Naturalmente, ρc, ρm y la densidad media ρ=5.517 g/cm3 están relacionadas mediante la ecuación
Variación de la aceleración de la gravedad g con el radio rEn la página titulada “Aceleración de la gravedad” demostramos que la aceleración de la gravedad g en un punto P en el interior de una distribución esférica de masa, se debe solamente a la masa contenida en la esfera de radio r<R, y se calcula mediante la fórmula
En la figura, se muestra la dependencia del módulo de g con el cociente r/R (en color rojo) y se compara con el valor de g en función de (r/R) suponiendo la Tierra homogénea (en color azul), de densidad constante e igual a la densidad media
La aceleración de la gravedad crece linealmente con el radio r, en el núcleo para r<rc. En el manto g varía relativamente poco, disminuyendo al principio y aumentando al final, tal como vemos con más detalle en la figura inferior.
Calculamos el valor mínimo de la aceleración de la gravedad en el manto, derivando g con respecto de r e igualando a cero.
En una primera aproximación, podemos tomar la aceleración de la gravedad en el manto como constante e igual al siguiente valor medio (recta de color azul).
Energía potencialUna partícula de masa m experimenta una fuerza F=mg dirigida radialmente hacia el centro de la Tierra. La energía potencial Ep(r) correspondiente a esta fuerza conservativa se calcula del siguiente modo
Tomamos como nivel cero de energía potencial Ep(∞)=0
En la figura, se representa la energía potencial Ep(r) (en color rojo) en función del cociente (r/R), y se compara con la energía potencial correspondiente al modelo de Tierra homogénea (en color azul).
El principio de conservación de la energía
Conocida la posición r0 inicial y la velocidad inicial v0 de la partícula, calculamos la velocidad v de la partícula para una determinada posición r. Para un determinado valor de la energía total, una partícula que atraviese la Tierra a través de uno de sus diámetros alcanzará una velocidad mayor, para una determinada distancia al centro, en el modelo de dos capas, que en el modelo de Tierra homogénea.
Presión en el centro de la TierraLa ecuación fundamental de la hidrostática es
En la página titulada "La aceleración de la gravedad" calculamos la presión en el centro de la Tierra suponiendo que la densidad de la Tierra es constante e igual a la densidad media. La presión en el modelo más realista de núcleo más manto ambos de densidad constante es
donde p0=1.013·105 Pa es la presión para r=R es decir, la presión atmosférica, que es despreciable frente a la presión creada en el centro por el manto y el núcleo. p=3.29·1011 Pa Aproximación Si consideramos la aceleración de la gravedad constante en el manto e igual a su valor medio gm. La expresión para la presión p en el centro de la Tierra es mucho más simple.
p=3.28·1011 Pa
Momento de inerciaEl momento de inercia es un parámetro muy importante en el estudio del movimiento de la Tierra.
Consideramos la distribución esférica de masa M y radio R, dividida en capas esféricas de radio x y de espesor dx. Cada capa esférica a su vez, la dividimos en anillos de radio variable x·senθ. La masa contenida en el anillo es dm=ρ·(2πxsenθ)·(x·dθ)·dx. El momento de inercia del anillo respecto del eje de rotación Z es (xsenθ)2·dm
El momento de inercia del núcleo con respeto al eje Z es
El momento de inercia del manto respecto del eje Z es
El momento de inercia de la Tierra respecto del eje Z es I=Ic+Im=9.543·1036+7.412·1037=8.366·1037 kgm2=0.345·MR2 Siendo M=5.98·1024 kg la masa de la Tierra, y R=6.371·106 m el radio de la Tierra El momento de inercia de una distribución esférica y homogénea de masa es I=2MR2/5=0.40MR2
Túnel que atraviesa la Tierra por un diámetro
La fuerza que ejerce la Tierra sobre una partícula de masa m es mg, dirigida radialmente hacia el centro de la Tierra, su aceleración es g.
Con los datos del modelo de Tierra: tc=392.4 s, v=9635.9 m/s. En el modelo de tierra homogénea la velocidad es 7913.0 m/s. Completamos un cuarto de oscilación en el tiempo tm+tc. El periodo de unas oscilación es P=4(tc+tm) Aproximación para el movimiento de la partícula en el manto Se describe de forma aproximada el movimiento de la partícula, suponiendo que la aceleración de la gravedad en el manto es constante e igual al valor medio gm. En el manto el movimiento de la partícula es rectilíneo uniformemente acelerado
Llega al núcleo x=rc en el instante tm con velocidad -vm.
Sabiendo que la aceleración de la gravedad media en el manto es gm=9.57 m/s2, la velocidad de la partícula cuando alcanza el núcleo es vm=7424.5 m/s, un valor próximo al calculado mediante el principio de conservación de la energía o resolviendo la ecuación diferencial del movimiento por procedimientos numéricos.
A partir de aquí, la partícula describe un MAS, hasta que llega a la frontera entre el núcleo y el manto x=-rc, con velocidad –vm. En el manto se frena la partícula hasta que llega a x=-R en reposo, completando medio ciclo de oscilación. El periodo P=4(tc+tm)=4676.4 s=77.9 min
Túnel a lo largo de una cuerda
El tiempo que pasa la partícula en el interior del núcleo 4·tc, va disminuyendo a medida que aumenta d. Aplicando el principio de conservación de la energía calculamos la velocidad con la que llega la partícula al origen. La partícula parte del reposo desde una posición que dista R del centro de la Tierra y llega a una posición que dista d del centro de la Tierra.
Por ejemplo si d=0.2R=1.274·106 m, v=9373.4 m/s A partir de aquí, la partícula describe un MAS, hasta
que llega a la frontera entre el núcleo y el manto
Aproximación Si tomamos la aceleración de la gravedad en el manto constante gm, la componente de la fuerza sobre la partícula a lo largo del túnel -gm·x/r deja de ser constante. Por lo que la ecuación del movimiento se ha de integrar aplicando procedimientos numéricos.
Caso particular d>rcLa partícula no toca el núcleo, su movimiento transcurre en el manto. La ecuación del movimiento de la partícula en el manto es
La partícula parte de la posición
Aplicando el principio de conservación de la energía calculamos la velocidad con la que llega la partícula al origen. La partícula parte del reposo desde una posición que dista R del centro de la Tierra y llega a una posición que dista d del centro de la Tierra en el interior del manto.
Para llegar a esta expresión se ha empleado la relación entre las densidades del manto ρm, núcleo ρc y media ρ.
Por ejemplo si d=0.6R=3.823·106 m, v=6965.3 m/s
ActividadesSe introduce La distancia d, del túnel al centro de la Tierra, actuando en la barra de desplazamiento titulada Distancia al centro Se pulsa el botón titulado EmpiezaSe observa el movimiento de la partícula en el túnel que atraviesa la Tierra, cuando parte del reposo en uno de los extremos del túnel. Una flecha indica la componente de fuerza de atracción sobre la partícula a lo largo del túnel.
Se proporciona los datos del
Los datos del modelo del interior de la Tierra son:
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Snyder R. Two-density model of the Earth. Am. J. Phys. 54 (6) June 1986, pp. 511-513
Modelo del interior de
la Tierra
con velocidad nula
dx/dt=0, llega al núcleo,
en el instante tm
con velocidad -vm, que se calculan resolviendo la ecuación
diferencial de segundo orden por procedimientos numéricos.
, con velocidad –vm.
En el manto, se frena la partícula hasta que llega a
en reposo, completando
medio ciclo de oscilación. El periodo es P=4(tc+tm)
