Dinámica celeste |
El Sistema Solar Medida de la velocidad de la luz. La luna Máquina de Atwood Periodo de un péndulo Péndulo accionado por fuerzas de marea El fenómeno de las mareas
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El punto P está en el exterior de la esfera de radio R. | |||||||||||||||||
dirección radial, y sentido hacia la masa puntual M, tal como se muestra en al figura. En esta página, vamos a calcular la aceleración de la gravedad en un punto P situado a una distancia r del centro de una distribución esférica y uniforme de masa de radio R.
El punto P está en el exterior de la esfera de radio R.Supongamos que el punto P está situado a una distancia r>R a lo largo del eje Z del centro de un planeta de masa M. Dividimos la esfera en discos (de color azul claro) de radio variable y de espesor dz, tal como se muestra en la figura. Para calcular la fuerza que ejerce uno de estos discos sobre la unidad de masa situada en P, dividimos cada disco en anillos (en color amarillo) de radio x, de anchura dx y espesor dz. Por simetría, como vemos en la figura, las componentes horizontales (a lo largo del eje X e Y) de la fuerza que ejercen los elementos de masa del anillo (considerados como masas puntuales, en color rojo) se anulan de dos en dos, quedando solamente la componente Z de la fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo. Si ρ es la densidad constante de la distribución esférica y uniforme de masa. La masa contenida en el anillo es ρ·(2πx·dx)·dz. La fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo sobre la sobre la unidad de masa situada en P es Integramos respecto de la variable x, entre los límites 0 e y para calcular resultante de las fuerzas en P debidas a la distribución de masa contenida por el disco de radio y y de espesor dz. Relacionamos la variable y y z para integrar respecto de la variable z entre los límites –R y +R z2+y2=R2 La aceleración de la gravedad en el punto P, se obtendrá integrando Integrando por partes el tercer término entre paréntesis En vez de dividir la esfera en discos de radio variable y y espesor dz, podemos dividir la esfera en capas esféricas concéntricas de radio x y de espesor dx. Dicha capa la dividimos en anillos. Por simetría, como vemos en la figura, las componentes horizontales (a lo largo del eje X e Y) de la fuerza que ejercen los elementos de masa del anillo (considerados como masas puntuales, en color rojo) se anulan de dos en dos, quedando solamente la componente Z de la fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo. Si ρ es la densidad constante de la distribución esférica y uniforme de masa. La masa contenida en el anillo es ρ·(2πxsenθ)·(x·dθ)·dx. La fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo sobre la sobre la unidad de masa situada en P Integramos respecto de la variable θ, entre los límites 0 y π para calcular la fuerza sobre la unidad de masa situada en P ejercida por la distribución de masa contenida en la capa esférica de radio x y d espesor dx. La primera integral es inmediata, integramos por partes la segunda. El resultado es
Calculamos la fuerza ejercida por la esfera de masa M sobre la unidad de masa situada en P, sumando la fuerza que ejerce cada una de las capas esféricas en la que hemos dividido la esfera. El módulo de la aceleración de la gravedad vale.
El punto P está en el interior de la esfera de radio R.
Fuerza que ejerce la esfera interior La fuerza que ejerce la distribución de masa contenida en la esfera maciza de radio r sobre la unidad de masa situada en el punto P a una distancia r del centro, la hemos calculado en el apartado anterior, solamente hemos de cambiar el límite superior de la integral R por r. Volvemos a calcular la fuerza que ejerce una capa esférica de radio r<x<R y de espesor dx, sobre la unidad de masa situada en P. Ahora bien, la fuerza en P debida a la masa contenida en los anillos que está por encima de P tiene la dirección del eje Z y sentido positivo, mientras que la fuerza en P debida a los anillos que están por debajo de P tiene la misma dirección pero sentido contrario. Porción de la capa esférica por encima de P Si ρ es la densidad constante de la distribución esférica y uniforme de masa. La masa contenida en el anillo es ρ·(2πxsenθ)·(x·dθ)·dx. La fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo sobre la sobre la unidad de masa situada en P
La segunda integral es inmediata, integramos la primera por partes. El resultado es Porción de la capa esférica por debajo de P Si ρ es la densidad constante de la distribución esférica y uniforme de masa. La masa contenida en el anillo es ρ·(2πxsenθ)·(x·dθ)·dx. La fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo sobre la sobre la unidad de masa situada en P Integramos respecto de la variable θ, entre los límites θp=arccos(r/x) y π para calcular la fuerza sobre la unidad de masa situada en P ejercida por la distribución de masa contenida en la capa esférica de radio x y d espesor dx. La primera integral es inmediata, integramos la segunda por partes. El resultado es
Por tanto, la fuerza ejercida sobre la unidad de masa situada en P por la distribución de masa contenida en la esfera hueca de radio interior r y exterior R es cero.
Si tenemos en cuenta que el vector g apunta hacia el centro de la Tierra
La aceleración de la gravedad g aumenta linealmente de 0 a GM/R2, en el interior de una distribución esférica y uniforme de masa M y radio R. En el exterior de dicha distribución, la aceleración de la gravedad disminuye en proporción inversa al cuadrado de la distancia al centro de dicha distribución GM/r2 En la figura, se muestra la gráfica del módulo de la aceleración de la gravedad g en función del cociente r/R para el planeta Tierra, G=6.67·10-11 Nm2/kg2, R=6.37·106 m, M=5.98·1024 kg. La aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra vale g=9.83 m/s2 Energía potencialUna partícula de masa m experimenta una fuerza F=mg. La energía potencial Ep(r) correspondiente a esta fuerza conservativa se calcula del siguiente modo Tomamos como nivel cero de energía potencial Ep(∞)=0
En la figura, se representa la energía potencial Ep(r) en función del cociente (r/R) El principio de conservación de la energía Conocida la posición r0 inicial y la velocidad inicial v0 de la partícula, calculamos la velocidad v de la partícula para una determinada posición r.
Se iguala la energía en la posición inicial r=R, v=0, con la energía en la posición considerada r. Cuando pasa por el centro de la Tierra r=0, v=7913.0 m/s. Los datos son: masa de la Tierra M=5.98·1024 kg, radio de la Tierra R=6.37·106 m, G=6.67·10-11 Nm2/kg2
Presión en el centro de la TierraConsideremos un elemento de volumen (en color rojo) de área dA y de espesor dr. Las fuerzas sobre el elemento de masa dm=ρ·dA·dr son
En el equilibrio p(r)·dA-p(r+dr)·dA-g(r)·dm=0 La ecuación fundamental de la hidrostática es dp=-ρg(r)dr La presión a una distancia r del centro de la Tierra es donde p0=1.013·105 Pa es la presión para r=R es decir, la presión atmosférica En el centro de la Tierra r=0. Con G=6.67·10-11 Nm2/kg2, R=6.37·106 m, M=5.98·1024 kg La presión atmosférica es despreciable frente a la presión en el centro de una distribución esférica y uniforme de masa. |