Movimiento circular

1.-12. Una rueda de radio 10 cm está girando con una velocidad angular de 120 r.p.m., se aplican los frenos y se detiene en 4 s. Calcular:

La aceleración angular (supuesta constante la fuerza de frenado).
El ángulo girado a los 4 s.

Calcular 1 s. después de aplicar los frenos:

La velocidad angular, la velocidad (lineal) de un punto de la periferia de la rueda.
Las componentes tangencial y normal de la aceleración.

Solución

2.-Una partícula describe una trayectoria circular 20 cm de radio. Parte de la posición π/2 rad con velocidad angular inicial de 240 r.p.m. Se le aplica una fuerza que produce una desaceleración constante de π/2 rad/s². Calcular:

El instante en el que se detiene y su posición angular.
La posición angular, la velocidad angular, la velocidad (lineal), las componentes tangencial y normal de la aceleración de la partícula en el instante t=3 s. Dibujar la trayectoria circular, señalar en ella la posición angular que ocupa la partícula en dicho instante, dibujar el vector velocidad y las componentes de su aceleración.

Solución

ω₀=240 rpm=8π rad/s

$\begin{array}{l} α = - \frac{π}{2} \\ ω = 8 π + (- \frac{π}{2}) t \\ θ = \frac{π}{2} + 8 π t + \frac{1}{2} (- \frac{π}{2}) t^{2} \end{array}$

El móvil se detiene ω=0 en el instante t=16 s, su posición es θ=129π/2 rad

En el instante t=3 s

$\begin{array}{l} α = - \frac{π}{2} {rad/s}^{2} \\ a_{t} = α \cdot r = - 0.1 π {m/s}^{2} \\ ω = 8 π + (- \frac{π}{2}) 3 = \frac{13 π}{2} rad/s \\ v = ω \cdot r = 1.3 π m/s \\ a_{n} = ω^{2} \cdot r = 8.45 π^{2} {m/s}^{2} \\ θ = \frac{π}{2} + 8 π \cdot 3 + \frac{1}{2} (- \frac{π}{2}) 3^{2} = \frac{89}{4} π = 22 π + \frac{π}{4} rad \end{array}$

3.-Dos vehículos describen la misma trayectoria circular. El primero, está animado de un movimiento uniforme cuya velocidad angular es 60 r.p.m., el segundo está animado de un movimiento uniformemente acelerado cuya aceleración angular vale -π/6 rad/s². Sabiendo que en el instante inicial el primer móvil pasa por A, y dos segundos más tarde el segundo móvil pasa por B, llevando una velocidad angular de 120 r.p.m. Calcular:

El instante en el que los móviles se encuentran por primera vez

Solución

Ecuaciones del movimiento de A: movimiento circular uniforme

El móvil sale del origen en el instante t=0.

$α_{A} = 0 ω_{A} = 2 π θ_{A} = 2 π t$

Ecuaciones del movimiento de B: movimiento uniformemente acelerado

El móvil sale de la posición π/2 en el instante t=2s.

$\begin{array}{l} α_{B} = - \frac{π}{6} ω_{B} = 4 π + (- \frac{π}{6}) (t - 2) \\ θ_{B} = \frac{π}{2} + 4 π (t - 2) + \frac{1}{2} (- \frac{π}{6}) {(t - 2)}^{2} \end{array}$

Encuentros

Los encuentros no solamente se obtienen igualando las posiciones de ambos móviles θ_A=θ _B, sino también y por ser la trayectoria circular, aquellas cuya posición se diferencia en una circunferencia completa.

θ_A+2kπ =θ_B con k=0, ± 1, ± 2, ± 3...

Examinemos en un cuadro la posición de los dos móviles en función del tiempo

t	θ_A	θ_B
2	4π (2 vueltas)	π /2	Sale el móvil B
2.5	5π (4π +π )	2.48π (2π +0.48π )	B detrás de A
2.6	5.2π (4π +1.2π )	2.87π (2π +0.87π )	B detrás de A
2.7	5.4π (4π +1.4π )	3.26π (2π +1.26π )	B detrás de A
2.8	5.6π (4π +1.6π )	3.64π (2π +1.64π )	B delante de A

Tal como apreciamos en la tabla de las posiciones de los móviles A y B en función del tiempo, el móvil B pasa al móvil A entre los instantes 2.7 y 2.8. El momento en el que se produce el primer encuentro será un instante t a determinar en el intervalo de tiempo comprendido entre 2.7 y 2.8 s.

La relación que existe entre las posiciones del móvil A y del móvil B, tal como vemos en la tabla es

$\begin{array}{l} θ_{A} - 2 π = θ_{B} \\ 2 π t - 2 π = \frac{π}{2} + 4 π (t - 2) + \frac{1}{2} (- \frac{π}{6}) {(t - 2)}^{2} \end{array}$

Despejando el tiempo t en la ecuación de segundo grado, obtenemos el instante del primer encuentro t=2.77 s.

Introduciendo t en la ecuación de la posición de A y de B obtenemos la posición de los móviles en el instante del encuentro

θ_A=5.56π rad
θ_B=3.56π rad

4.-Dos ruedas, en un cierto instante, giran a razón de 120 r.p.m. y 240 r.p.m., siendo sus radios de 20 cm y 40 cm respectivamente. A cada una se le aplica un freno y se detiene la menor en 16 s y la mayor en 8 s, ambas con movimiento uniformemente acelerado.

¿En qué instante tienen ambas ruedas la misma velocidad angular?
¿En qué instante, un punto de la periferia, tiene la misma velocidad lineal?. Calcula la aceleración tangencial y la aceleración normal en dichos instantes.
¿Cuál es el ángulo girado por cada una de las ruedas?

Solución

Velocidades angulares iniciales

ω₁₀=120 rpm=4π rad/s
ω₂₀=240 rpm=8π rad/s

Se paran

ω₁= ω₁₀+α₁·t
0=4π+ α₁·16, α₁=- π/4 rad/s²

ω₂= ω₂₀+α₂·t
0=8π+α₂·8, α₂=- π rad/s²

Ecuaciones del movimiento

ω₁=4π+(- π/4) t

ω₂=8π+(- π) ·t

$\begin{array}{l} θ_{1} = 4 π t + \frac{1}{2} (- \frac{π}{4}) t^{2} \\ θ_{2} = 8 π t + \frac{1}{2} (- π) t^{2} \end{array}$

Para que tengan la misma velocidad angular

ω₁= ω₂
4π+(- π/4)·t=8π+(- π)·t, t=16/3 s

Para que tengan la misma velocidad lineal

v₁=v₂
r₁·ω₁=r₂· ω₂

0.2·(4π+(- π/4)·t)=0.4 ·(8π+(- π)·t), t=48/7 s

En este instante

aceleraciones tangenciales

a_t1= r₁·α₁=0.2·(- π/4)=-0.157 m/s²
a_t2= r₂·α₂=0.4·(- π)=-1.257 m/s²

aceleraciones normales

a_n1= r₁·(ω₁)²=10.31m/s²
a_n2= r₂·(ω₂)²=5.15 m/s²