Movimiento rectilíneo

1.-Un móvil describe un movimiento rectilíneo. En la figura, se representa su velocidad en función del tiempo. Sabiendo que en el instante t=0, parte del origen x=0.

Dibuja una gráfica de la aceleración en función del tiempo
Calcula el desplazamiento total del móvil, hasta el instante t=8s.
Escribe la expresión de la posición x del móvil en función del tiempo t, en los tramos AB y BC.

Solución

2.-Un automóvil parte del reposo y se mueve con aceleración constante de 4 m/s², y viaja durante 4 s. Durante los próximos 10 s se mueve con movimiento uniforme. Se aplican los frenos y el automóvil decelera arazón de 8 m/s² hasta que se detiene.

Calcular el desplazamiento del móvil en cada intervalo y el desplazamiento total.
Hacer un gráfico de la velocidad en función del tiempo.
Mostrar que el área comprendida entre la curva y el eje del tiempo mide el desplazamiento total del automóvil

Solución

3.-Un automóvil que está parado, arranca con una aceleración de 1.5 m/s². En ese mismo instante es adelantado por un camión que lleva una velocidad constante de 15 m/s. Calcular la posición de encuentro de ambos vehículos

Solución

4.-Dos coches A y B se mueven a la misma velocidad constante de 20 m/s. El coche A 10 m detrás del B. El coche B frena disminuyendo su velocidad a razón de 2 m/s². Dos segundos más tarde el conductor del coche A se da cuenta del posible choque y pisa el freno, disminuyendo su velocidad a razón de a m/s². Determinar el valor de la mínima aceleración a para evitar el choque.

Solución

El instante t=0 cuando B pisa el freno, el coche B se encuentra en la posición inicial x₀=10 m y su velocidad inicial es v₀=20 m/s . El coche A se encuentra en la posición inicial x₀=0, y su velocidad es 20 m/s (véase la figura)

En el instante t=2, cuando A pisa el freno, el coche A se encuentra en la posición x=20·2=40 m

El coche B se encuentra en la posición

$x_{B} = 10 + 20 \cdot 2 + \frac{1}{2} (- 2) 2^{2} = 46 m$

Su velocidad es v_B=20+(-2)·2=16 m/s

Para evitar el choque, la velocidad de los vehículos sería la misma cuando se encuentren en la misma posición.

La posición y velocidad de A es

$\begin{array}{l} x_{A} = 40 + 20 \cdot t + \frac{1}{2} (- a) t^{2} \\ v_{A} = 20 + (- a) t \end{array}$

La posición y velocidad de B es

$\begin{array}{l} x_{B} = 46 + 16 \cdot t + \frac{1}{2} (- 2) t^{2} \\ v_{B} = 16 + (- 2) t \end{array}$

La mínima aceleración a se obtiene igualando, las velocidades y las posiciones

$\begin{array}{l} 46 + 16 \cdot t + \frac{1}{2} (- 2) t^{2} = 40 + 20 \cdot t + \frac{1}{2} (- a) t^{2} \\ 16 + (- 2) t = 20 + (- a) t \end{array}$

La solución es t=3 s y a= 10/3 m/s². Tardan tres segundos desde que A pisa el freno en alcanzar la misma velocidad 10 m/s en la posición x=85 m

5.-Una partícula se mueve a lo largo del eje X con un aceleración a=2·cos(πt/2) m/s². En el instante t=0, el móvil se encontraba en x=-8/π² m, y tenía la velocidad v=0 m/s.

Hallar las expresiones de x(t) y v(t)

Solución

Caída de los cuerpos

6.-Un objeto se lanza verticalmente con una velocidad de 60 m/s. (tomar g=10 m/s²)

Calcular su altura y velocidad en los instantes t= 2, 4, 6, 8, 10, 12 s después del lanzamiento.
¿Qué altura máxima alcanza?
¿Cuánto tiempo tarda en regresar al suelo

Solución

7.-Se lanza un cuerpo hacia arriba, en dirección vertical, con velocidad inicial de 98 m/s desde el techo de un edificio de 100 m de altura. Tomar g=9.8 m/s². Hallar:

La máxima altura que alcanza el cuerpo medida desde el suelo
El tiempo que transcurre hasta que llega al suelo.
La velocidad al llegar al suelo

Solución

8.-Un hombre situado en el techo de un edificio tira una bola verticalmente hacia arriba con velocidad de 12.2 m/s. La bola llega al suelo 4.25 s más tarde. Tomar g=9.8 m/s²

¿Qué altura tiene el edificio?
La velocidad al llegar al suelo
La máxima altura que alcanza el cuerpo medida desde el suelo.

Solución

9.-Se lanza una pelota desde lo alto de un edificio de 100 m de altura con una velocidad inicial de 2 m/s dirigida hacia abajo. Calcular

El tiempo que tarda en llegar al fondo de un foso de 50 m de profundidad (Tomar g=10 m/s²).

Solución

10.-Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con dos segundos de intervalo. El primero, con una velocidad inicial de 50 m/s y el segundo con una velocidad inicial de 80 m/s. Calcular el instante y la altura a la que se encuentran

Solución

Cuando el primer proyectil lleva un tiempo t>2 moviéndose, el segundo proyectil lleva un tiempo t-2 en el aire. Las ecuaciones del movimiento serán:

$\begin{array}{l} x_{1} = 50 t - \frac{1}{2} 9.8 t^{2} \\ x_{2} = 80 (t - 2) - \frac{1}{2} 9.8 {(t - 2)}^{2} \end{array}$

El instante y la altura de encuentro se pueden calcular resolviendo la ecuación de t_e=3.62 s, x_e=116.8 m

Solución gráfica

Si trazamos x₁en función del tiempo t, obtenemos la curva de color azul.
Si trazamos x₂ en función del tiempo t, obtenemos la curva de color rojo

El punto de intersección señala el instante t_e de encuentro y la posición x_e de encuentro.

11.-Una persona ve un objeto ascender hacia arriba a través de una ventana de 2 m de altura. Con un cronómetro mide que tarda un tiempo de 0.5 s en desaparecer de su vista. Calcular la velocidad v₀ del objeto en la parte inferior de la ventana y la altura h a la que asciende por encima de la ventana, tal como se muestra en la figura.

Solución

Las ecuaciones del movimiento son

$\begin{array}{l} x = v_{0} t + \frac{1}{2} (- g) t^{2} \\ v = v_{0} + (- g) t \end{array}$

Cuando el móvil llega a la parte superior de la ventana, se ha desplazado x=2 m en t₁=0.5 s, y su velocidad es v₁

$\begin{array}{l} 2 = v_{0} \cdot 0.5 - 4.9 \cdot {0.5}^{2} \\ v_{1} = v_{0} - 9.8 \cdot 0.5 \end{array}$

Despejamos de la primera v₀=6.45 m/s, y de la segunda v₁=1.55 m/s

Cuando alcanza la máxima altura

$\begin{array}{l} h = v_{1} t_{2} - 4.9 t_{2}^{2} \\ 0 = v_{1} - 9.8 t_{2} \end{array}$

La solución es t₂=0.158 s, h=0.1226 m

12.-Dos vehículos se mueven a lo largo de una pista horizontal. El primero sale del origen A con velocidad v₁ el segundo sale de B con velocidad v₂.

Las aceleraciones de los vehículos son a₁ dirigida hacia A y a₂ dirigida hacia B.

Los vehículos se encuentran dos veces. El intervalo de tiempo entre los dos encuentros es Δt. Calcular la distancia d entre A y B

Physics Challenges for Teachers and Students. The Road Rage. Phys. Teach. 41, September 2003, pp. 370

Solución

Posición del primer vehículo

$x_{1} = v_{1} t - \frac{1}{2} a_{1} t^{2}$

Posición del segundo vehículo

$x_{2} = d - v_{2} t + \frac{1}{2} a_{2} t^{2}$

Encuentros x₁=x₂

$\begin{array}{l} v_{1} t - \frac{1}{2} a_{1} t^{2} = d - v_{2} t + \frac{1}{2} a_{2} t^{2} \\ \frac{1}{2} (a_{1} + a_{2}) t^{2} - (v_{1} + v_{2}) t + d = 0 \\ t_{1} = \frac{(v_{1} + v_{2}) + \sqrt{{(v_{1} + v_{2})}^{2} - 2 (a_{1} + a_{2}) d}}{a_{1} + a_{2}} \\ t_{2} = \frac{(v_{1} + v_{2}) - \sqrt{{(v_{1} + v_{2})}^{2} - 2 (a_{1} + a_{2}) d}}{a_{1} + a_{2}} \end{array}$

Conocido Δt=t₁-t₂, despejamos d, la distancia entre A y B

$\begin{array}{l} Δ t = t_{1} - t_{2} = \frac{2 \sqrt{{(v_{1} + v_{2})}^{2} - 2 (a_{1} + a_{2}) d}}{a_{1} + a_{2}} \\ {(a_{1} + a_{2})}^{2} {(Δ t)}^{2} = 4 ({(v_{1} + v_{2})}^{2} - 2 (a_{1} + a_{2}) d) \\ d = \frac{{(v_{1} + v_{2})}^{2}}{2 (a_{1} + a_{2})} - \frac{1}{8} (a_{1} + a_{2}) {(Δ t)}^{2} \end{array}$

13.-Un cuerpo parte del reposo y desliza a lo largo de un plano inclinado de longitud l dividido en dos porciones iguales. En la primera, la aceleración del cuerpo es a₁ y en la segunda, la aceleración del cuerpo es a₂. El cuerpo llega al final del plano inclinado en el instante T₁.

Se invierte el plano inclinado conservando la misma inclinación, el cuerpo llega al final del plano en el instante T₂.

Sabiendo que a₂=ka₁, 0<k≤1, calcular el cociente T₁/T₂ en función de k

Physics Challenges for Teachers and Students. Half and Rough. Phys. Teach. 47, September 2009, pp. 392-393

Solución

Para el primer plano inclinado

Sea t₁ el tiempo que tarda el cuerpo en recorrer la primera mitad y t₂ la segunda.

$\begin{array}{l} {\begin{cases} v_{0} = a_{1} t_{1} \\ \frac{l}{2} = \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2} \end{cases} \\ \frac{l}{2} = v_{0} t_{2} + \frac{1}{2} a_{2} t_{2}^{2} \\ T_{1} = t_{1} + t_{2} \end{array}$

Despejamos los tiempos t₁ y t₂

$\begin{array}{l} t_{1} = \sqrt{\frac{l}{a_{1}}}, v_{0} = \sqrt{a_{1} l} \\ a_{2} t_{2}^{2} + 2 \sqrt{a_{1} l} \cdot t_{2} - l = 0 \\ t_{2} = \frac{- \sqrt{a_{1} l} + \sqrt{a_{1} l + l a_{2}}}{a_{2}} = \frac{\sqrt{a_{1} l + l k a_{1}} - \sqrt{a_{1} l}}{k a_{1}} = \sqrt{\frac{l}{a_{1}}} (\frac{\sqrt{1 + k} - 1}{k}) \\ T_{1} = t_{1} + t_{2} = \sqrt{\frac{l}{a_{1}}} + \sqrt{\frac{l}{a_{1}}} (\frac{\sqrt{1 + k} - 1}{k}) = \sqrt{\frac{l}{a_{1}}} (\frac{k + \sqrt{1 + k} - 1}{k}) \end{array}$

Para el segundo plano inclinado

Sea t₁ el tiempo que tarda el cuerpo en recorrer la primera mitad y t₂ la segunda.

$\begin{array}{l} {\begin{cases} v_{0} = a_{2} t_{1} \\ \frac{l}{2} = \frac{1}{2} a_{2} t_{1}^{2} \end{cases} \\ \frac{l}{2} = v_{0} t_{2} + \frac{1}{2} a_{1} t_{2}^{2} \\ T_{2} = t_{1} + t_{2} \end{array}$

Despejamos los tiempos t₁ y t₂

$\begin{array}{l} t_{1} = \sqrt{\frac{l}{a_{2}}}, v_{0} = \sqrt{a_{2} l} \\ a_{1} t_{2}^{2} + 2 \sqrt{a_{2} l} \cdot t_{2} - l = 0 \\ t_{2} = \frac{- \sqrt{a_{2} l} + \sqrt{a_{2} l + a_{1} l}}{a_{1}} = \frac{\sqrt{k a_{1} l + a_{1} l} - \sqrt{k a_{1} l}}{a_{1}} = \sqrt{\frac{l}{a_{1}}} (\sqrt{1 + k} - \sqrt{k}) \\ T_{2} = t_{1} + t_{2} = \sqrt{\frac{l}{a_{2}}} + \sqrt{\frac{l}{a_{1}}} (\sqrt{1 + k} - \sqrt{k}) = \sqrt{\frac{l}{a_{1}}} (\frac{1}{\sqrt{k}} + \sqrt{1 + k} - \sqrt{k}) \\ T_{2} = \sqrt{\frac{l}{a_{1}}} (\frac{1 + \sqrt{k + k^{2}} - k}{\sqrt{k}}) \end{array}$

El cociente

$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{\frac{k + \sqrt{1 + k} - 1}{k}}{\frac{1 + \sqrt{k + k^{2}} - k}{\sqrt{k}}} = \frac{1}{\sqrt{k}} (\frac{k + \sqrt{1 + k} - 1}{1 + \sqrt{k + k^{2}} - k})$

Representamos el cociente T₁/T₂ en función de k

f=@(k) (k+sqrt(1+k)-1)./(sqrt(k).*(1+sqrt(k+k.^2)-k));
fplot(f,[0,1])
grid on
xlabel('k')
ylabel('T_1/T_2')
title('Cociente de tiempos')

Cuando k=1, entonces a₁=a₂, los tiempos T₁=T₂

t(s)	v(m/s)	x(m)
0	60	0
2	40	100
4	20	160
6	0	180
8	-20	160
10	-40	100
12	-60	0