Movimiento relativo de traslación uniforme
1.- Un río fluye hacia el norte con velocidad de 3 km/h. Un bote se dirige al Este con velocidad relativa al agua de 4 km/h.
Calcular la velocidad del bote respecto de tierra.
Si el río tiene 1 km de anchura, calcular el tiempo necesario para cruzarlo.
¿Cuál es la desviación hacia el norte del bote cuando llega a la otra orilla del río?
Solución
Velocidad del bote respecto a tierra
v =
3
2
+
4
2
= 5 km/h θ =arctan
4
3
= 53.1 º
Tiempo para cruzar el río t =1/4 hora
Desviación, x =3·1/4=3/4 km=750 m, o bien x =1·tanθ =3/4 km
2.- Una bandera situada en el mástil de un bote flamea haciendo un ángulo de 45º como se muestra en la figura. pero la bandera situada en la casa flamea haciendo un ángulo de 30º. Si la velocidad del bote es de 10 km/h hacia el norte.
Calcular la velocidad del viento
Solución
Velocidad del bote
v
B
→
Velocidad del aire
v
A
→
Velocidad del aire respecto del bote
v
AB
→
Como vemos en la figura
v
A
→
=
v
B
→
+
v
A B
→
v
A B
→
= −
v
A B
cos 45 ·
i
^
−
v
A B
sin 45 ·
j
^
v
B
→
= 10 ·
j
^
v
A
→
= −
v
A
cos 30 ·
i
^
−
v
A
sin 30 ·
j
^
{
−
v
A B
cos 45 = −
v
A
cos 30
−
v
A B
sin 45 + 10 = −
v
A
sin 30
v
A
=
20
3
− 1
= 27.3 km/h
3.- Un avión vuela desde un punto A a otro B que se encuentra a 3000 km de distancia en la dirección Este. El viento sopla en la dirección S 30º E con velocidad de 80 km/h, y la velocidad del avión es de 600 km/h. Determinar el tiempo de vuelo del avión entre las dos localidades.
Solución
Velocidad del viento
v
B
→
Velocidad del avión respecto a tierra
v
A
→
Velocidad del avión respecto del viento
v
AB
→
Como vemos en la figura
v
A
→
=
v
B
→
+
v
A B
→
{
v
A B
→
= 600 cos θ ·
i
^
+ 600 sin θ ·
j
^
v
B
→
= 80 sin 30 ·
i
^
− 80 cos 30 ·
j
^
v
A
→
=
v
A
i
^
{
v
A
= 600 cos θ + 80 sin 30
0 = 600 sin θ − 80 cos 30
v
A
= 636 km/h θ = 6.6 º
t =
3000
v
A
= 4.7 h
4.- Un barco A está a 10 km hacia el oeste de un barco B. El barco A se mueve con velocidad de 30 km/h hacia el norte, y el barco B se mueve en la dirección norte 60° oeste a una velocidad de 20 km/h. Calcular:
La velocidad relativa del barco B respecto del A
La distancia de máximo acercamiento
Solución
Calculamos el vector velocidad relativa de B respecto de A
v
B
→
= − 20 sin 60 ·
i
^
+ 20 cos 60 ·
j
^
v
A
→
= 30 ·
j
^
V
B A
→
=
v
B
→
−
v
A
→
= 10
3
·
i
^
− 20 ·
j
^
{
10
7
m/s
φ = − 49.1 º
Calculamos la posición relativa de A respecto de B o de B respecto de A, y la distancia entre los dos barcos
r
A
→
= − 10 ·
i
^
+ ( 30 · t )
j
^
r
B
→
= (
− 10
3
t
)
i
^
+ ( 10 t )
j
^
r
A B
= |
r
A
→
−
r
B
→
| =
(
− 10 + 10
3
t
)
2
+
(
20 t
)
2
La distancia mínima se calcula derivando con respecto al tiempo t e igualando a cero
d
r
A B
d t
= 0
t =
3
7
s
r
A B
=
20
7
7
km
5.- Un barquero desea ir desde un punto A a otro B situados en las orillas opuestas de un río de anchura 0.25 km. La velocidad de la corriente es constante u =2 km/h. La velocidad del bote relativa al agua es de v =5 km/h. Calcular el tiempo de viaje
Physics Challenges for Teachers and Students. Gently Up the Stream .The Physics Teacher. Vol. 42, September 2004. pp. 379
Solución
Situamos el origen en el punto de partida A (0, 0), el punto de llegada B (-0.5, 0.25) km. Dibujamos los vectores velocidad
V
→
, la velocidad del bote (respecto de tierra)
u
→
= 5
i
^
, la velocidad de la corriente
v
→
= − 5 sin θ
i
^
+ 5 cos θ j
, la velocidad del bote respecto del agua
La relación entre los vectores es,
v
→
=
V
→
−
u
→
V
→
=
v
→
+
u
→
{
V
x
= 2 − 5 sin θ
V
y
= 5 cos θ
Sea t el tiempo de viaje entre A y B
{
− 0.5 = (
2 − 5 sin θ
) t
0.25 = (
5 cos θ
) t
Eliminado t , obtenemos la ecuación, 5sinθ -10cosθ =2
A sin (
θ − α
) = 2, {
A cos α = 5
A sin α = 10
{
A =
125
tan α = 2
sin (
θ − α
) =
2
125
θ = arcsin (
2
125
) + arctan 2 = 1.2870 rad
Tomando la segunda ecuación, despejamos el tiempo t
t =
0.25
5 cos θ
= 0 .1786 h=10 .71 min
Si el agua del río estuviera quieta, u =0, el tiempo de viaje sería
t =
0.25
2
+
0.5
2
5
= 0 .1118 h = 6.71 min
6.- En el Sistema de Referencia en Tierra la lluvia cae con velocidad vr haciendo un ángulo θ con la vertical.
Para un observador viaja en un vehículo con velocidad constante vc hacia la derecha, la lluvia cae verticalmente.
Para un observador que viaja en la dirección opuesta, la lluvia hace un ángulo φ con la vertical.
Los datos son, la velocidad del vehículo vc y del ángulo φ . Las incógnitas, el ángulo θ y la velocidad de la lluvia vr
Kirk T. McDonald. Rain and Relativity
Solución
El vehículo se mueve hacia la derecha, el conductor aprecia que la lluvia cae vertical, la componente horizontal de la velocidad es nula
0=vr sinθ -vc
El vehículo se mueve hacia la izquierda, la componentes de la velocidad son
vx =vr sinθ +vc =2vr sinθ
vy =vr cosθ
tan φ =
v
x
v
y
=
2
v
r
sin θ
v
r
cos θ
= 2 tan θ
Las incógnitas, vr y θ son
tan θ =
1
2
tan φ
sin θ =
tan θ
1 +
tan
2
θ
=
tan φ
4 +
tan
2
φ
v
r
=
v
c
sin θ
=
v
c
4 +
tan
2
φ
tan φ
Solución
