El péndulo simple situado sobre una plataforma móvil

En la página titulada “El péndulo simple” estudiamos este dispositivo formado por una partícula de masa m sujeta por un hilo inextensible y de masa despreciable de longitud l.

En esta página, montamos el péndulo simple sobre una plataforma móvil de masa M que desliza sin rozamiento sobre un plano horizontal.

La ecuación del movimiento de un péndulo simple

Supongamos que un péndulo simple de masa m y de longitud l se desvía un ángulo θ₀ de la posición de equilibrio y se suelta.

Principio de conservación de la energía

Aplicamos el principio de conservación de la energía para calcular la velocidad de la partícula cuando el péndulo se encuentra en la posición angular θ.

Establecemos el nivel cero de energía potencial en el eje de giro O

$\frac{1}{2} m v^{2} - m g l \cos θ = - m g l \cos θ_{0}$

Como la partícula describe un movimiento circular de radio l, la velocidad v=l(dθ/dt). El término entre paréntesis es la velocidad angular de rotación.

${(\frac{d θ}{d t})}^{2} = \frac{2 g}{l} (\cos θ - \cos θ_{0})$

Segunda ley de Newton

En la figura, se muestran las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m y las componentes tangencial a_t= l(d²θ/dt²) y normal a_n=v²/l =l(dθ/dt)² de su aceleración.

Aplicamos la segunda ley de Newton

ma_t=-mg·sinθ
ma_n=T-mg·cosθ

La primera ecuación se escribe en forma diferencial

$\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + \frac{g}{l} \sin θ = 0$

Se resuelve esta ecuación diferencial de segundo orden por procedimientos numéricos, con las condiciones iniciales t=0, θ=θ₀, (dθ/dt)=0

La segunda ecuación, nos permite calcular la tensión de la cuerda T conocida la velocidad v de la partícula. La velocidad v se calcula aplicando el principio de conservación de la energía

$\frac{T}{m g} = 3 \cos θ - 2 \cos θ_{0}$

Ecuación del movimiento de un péndulo simple situado sobre una plataforma móvil

La plataforma y el péndulo constituyen un sistema aislado. Supongamos que inicialmente el péndulo se encuentra en la posición de equilibrio, en reposo, encima del centro de masas del la plataforma. Su proyección sobre el eje horizontal X señala el origen O. Así pues, el origen O es la posición del centro de masas del sistema aislado que permanecerá en reposo si inicialmente lo estaba.

La posición del centro de masas del sistema es el origen X_c=0

Supongamos que el péndulo se desplaza de la posición de equilibrio un ángulo θ₀ hacia la derecha.

La posición del c.m. de la plataforma es x_b.
La posición de la partícula de masa m es x_p=-x_b+l·sinθ.
La posición del centro de masas es X_c=0

$0 = \frac{m x_{p} + M \cdot x_{b}}{m + M}$

La relación entre la posición angular θ del péndulo y la posición del c.m. de la plataforma x_b es

$x_{b} = - \frac{m}{m + M} l \cdot \sin θ$

La velocidad del centro de masas del sistema es V_c=0

Las componentes de la velocidad de la partícula, respecto del observador inercial situado en el plano horizontal, son

horizontal: vcosθ+V_bvertical: v·sinθ

$0 = \frac{m (v \cos θ + V_{b}) + M V_{b}}{m + M}$

La relación entre la velocidad v de la partícula y la velocidad V_b de la plataforma es

$V_{b} = - \frac{m}{m + M} v \cos θ$ (1)

Principio de conservación de la energía

Si establecemos el nivel cero de energía potencial en el eje de giro del péndulo. El principio de conservación de la energía se escribe, véase figura anterior.

$\frac{1}{2} M V_{b}^{2} + \frac{1}{2} m ({(v \cos θ + V_{b})}^{2} + {(v \cdot \sin θ)}^{2}) - m g l \cos θ = - m g l \cos θ_{0}$ (2)

Sustituimos (1) V_b en función de v, y despejamos v=l(dθ/dt) de (2)

${(\frac{d θ}{d t})}^{2} = \frac{2 g}{l} (\cos θ - \cos θ_{0}) \frac{M + m}{M + m \sin^{2} θ}$

La aceleración del centro de masas del sistema es A_c=0

Las componentes horizontal y vertical de la aceleración de la partícula, respecto del observador inercial situado en el plano horizontal, son

a_tcosθ-a_nsinθ+a_ba_ncosθ+a_tsinθ

$0 = \frac{m (a_{t} \cos θ - a_{n} \sin θ + a_{b}) + M a_{b}}{m + M}$

La relación entre las componentes tangencial a_t y normal a_n de la aceleración de la partícula y la aceleración a_b de la plataforma es

$a_{b} = - \frac{m}{m + M} (a_{t} \cos θ - a_{n} \sin θ)$ (3)

Segunda ley de Newton

Las fuerzas sobre la partícula son

La tensión T
El peso mg

Las fuerzas sobre la plataforma son

La tensión T de la cuerda
El peso de la plataforma y la reacción del plano horizontal no contribuyen al movimiento

Las componentes tangencial y radial de la aceleración de la partícula, respecto del observador inercial situado en el plano horizontal, son

a_t+a_b·cosθ
a_n-a_b·sinθ

La ecuación del movimiento en la dirección tangencial es

m(a_t+a_b·cosθ)=-mgsinθ (4)

La ecuación del movimiento en la dirección normal es

m(a_n-a_b·sinθ)=T- mgcosθ (5)

La ecuación del movimiento de la plataforma es

T·sinθ=Ma_b (6)

Sustituimos a_b de (3) en (4) y teniendo en cuenta que a_n=l(dθ/dt)² y a_t= l(d²θ/dt²) llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden

$\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + \frac{m}{M + m \sin^{2} θ} \sin θ \cdot \cos θ {(\frac{d θ}{d t})}^{2} + \frac{g}{l} \frac{M + m}{M + m \sin^{2} θ} \sin θ = 0$

Que se resuelve por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales

t=0, θ=θ₀, (dθ/dt)=0

Cuando la masa M de la plataforma es muy grande comparada con la masa m de la partícula, m/M→0 obtenemos la ecuación diferencial del movimiento del péndulo.

Vamos a comprobar si es correcta la ecuación diferencial del movimiento.

La aplicación del principio de conservación de la energía nos proporciona la ecuación diferencial de primer orden

${(\frac{d θ}{d t})}^{2} = \frac{2 g}{l} (\cos θ - \cos θ_{0}) \frac{M + m}{M + m \sin^{2} θ}$

Derivamos esta ecuación respecto del tiempo

$\begin{array}{l} 2 (\frac{d θ}{d t}) \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} = \frac{2 g}{l} (- \sin θ) \frac{M + m}{M + m \sin^{2} θ} (\frac{d θ}{d t}) + \frac{2 g}{l} (\cos θ - \cos θ_{0}) \frac{(- 2 m \sin θ \cdot \cos θ) (M + m)}{{(M + m \sin^{2} θ)}^{2}} (\frac{d θ}{d t}) \\ \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} = \frac{g}{l} (- \sin θ) \frac{M + m}{M + m \sin^{2} θ} + \frac{2 g}{l} (\cos θ - \cos θ_{0}) \frac{(- m \sin θ \cdot \cos θ) (M + m)}{{(M + m \sin^{2} θ)}^{2}} \\ \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} = \frac{g}{l} (- \sin θ) \frac{M + m}{M + m \sin^{2} θ} + {(\frac{d θ}{d t})}^{2} \frac{M + m \sin^{2} θ}{(M + m)} \frac{(- m \sin θ \cdot \cos θ) (M + m)}{{(M + m \sin^{2} θ)}^{2}} \\ \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + \frac{g}{l} \frac{M + m}{M + m \sin^{2} θ} \sin θ + {(\frac{d θ}{d t})}^{2} \frac{m \sin θ \cdot \cos θ}{M + m \sin^{2} θ} = 0 \end{array}$

y volvemos a obtener la ecuación diferencial del movimiento

Tensión de la cuerda

De las ecuaciones (5) y (6) despejamos la tensión de la cuerda

$T \frac{M + m \sin^{2} θ}{M} = m l {(\frac{d θ}{d t})}^{2} + m g \cos θ$

Conocida la velocidad angular de rotación (dθ/dt) se despeja la tensión T de la cuerda

$\frac{T}{m g} = \frac{M}{{(M + m \sin^{2} θ)}^{2}} (3 (M + m) \cos θ - m \cos^{3} θ - 2 (M + m) \cos θ_{0})$

Ejemplo: supongamos que el péndulo se desvía θ₀=90º y se suelta. Cuando pasa por la posición de equilibrio θ=0, la tensión de la cuerda es

$\frac{T}{m g} = 3 + 2 \frac{m}{M}$

Algo mayor que cuando la plataforma está fija T/(mg)=3

Cuando la masa M de la plataforma es muy grande comparada con la masa m de la partícula, m/M→0 obtenemos

$\frac{T}{m g} = 3 \cos θ - 2 \cos θ_{0}$

Ejemplo

Masa de la plataforma M=2 kg, masa de la partícula m=1 kg, de modo que el cociente M/m=2.0
Longitud del péndulo, l=1.0 m
Ángulo inicial de desviación del péndulo θ₀=90º

El bloque se desvía hacia la izquierda, a fin de que la posición del c.m. del sistema aislado permanezca en el origen

$x_{b} = - \frac{m}{m + M} l \cdot \sin θ x_{b} = - \frac{1}{1 + 2} 1.0 \cdot sin 90 = \frac{1}{3} m$

Calcular la posición x_b del bloque, la velocidad v de la partícula, la velocidad V_b de la plataforma y la tensión T de la cuerda cuando θ=30º

$x_{b} = - \frac{1}{1 + 2} 1.0 \cdot \sin 30 = \frac{1}{6} m$

La conservación del momento lineal y de la energía nos proporcionan las dos ecuaciones que nos permiten calcular v y V_b.

$\begin{array}{l} m (v \cos θ + V_{b}) + M V_{b} = 0 \\ \frac{1}{2} M V_{b}^{2} + \frac{1}{2} m ({(v \cos θ + V_{b})}^{2} + {(v \cdot \sin θ)}^{2}) - m g l \cos θ = - m g l \cos θ_{0} \\ 1 (v \cos 30 º + V_{b}) + 2 V_{b} = 0 \\ \frac{1}{2} 2 V_{b}^{2} + \frac{1}{2} 1 ({(v \cos θ + V_{b})}^{2} + {(v \cdot \sin θ)}^{2}) - 1 \cdot 9.8 \cdot 1.0 \cos 30 º = - 1 \cdot 9.8 \cdot 1.0 \cos 90 º \end{array}$

v=-4.75 m/s, V_b=1.37 m/s

La tensión T de la cuerda se calcula mediante el par de ecuaciones

T·sinθ=Ma_b (6)
m(a_n-a_b·sinθ)=T- mgcosθ (5)

T·sin30º=2·a_b (6)
1(4.75²/1.0-a_b·sin30º)=T- 1·9.8·cos30º (5)

Eliminando la aceleración a_b de la plataforma, despejamos T=27.66 N

Comparación

La figura muestra, la comparación entre las oscilaciones de un péndulo (en color azul) y la del mismo péndulo montado en una plataforma móvil (en color rojo) cuya masa es M=m El periodo del péndulo sobre la plataforma móvil es más pequeño.

La figura muestra la posición de la plataforma x_b en función del tiempo. Se observa que difiere notablemente de un Movimiento Armónico Simple.

Actividades

Se introduce

El ángulo inicial θ₀,, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo
El cociente masa de la plataforma, masa de la partícula M/m, en el control de edición titulado Cociente
La longitud del péndulo se ha fijado en l=1m.

Se pulsa el botón titulado Inicio y a continuación, Empieza

Para comenzar una nueva experiencia se pulsa el botón titulado Inicio

Comparar el comportamiento del péndulo, cuando la masa de la plataforma M es del orden de la masa del péndulo m y cuando es mucho mayor. Por ejemplo, M/m=2. y cuando M/m=100.

En la parte superior del applet, se proporcionan los datos relativos:

al péndulo: ángulo de desviación θ, velocidad angular (dθ/dt) y tensión T de la cuerda.
al bloque: posición x_b, y velocidad V_b

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Physics challenges for teachers and students (Solutions to November 2004), The Physics Teacher 43 (2005), pp. s2-s3.