Oscilaciones transversales de un imán

En esta página, se simula una experiencia que nos permite determinar el momento dipolar magnético de un imán mediante el método de las oscilaciones transversales.

Momento magnético de un imán.

Para calcular el momento magnético de un imán a lo largo de su eje, consideraremos la equivalencia existente entre corrientes e imanes. Consideramos un imán cilíndrico de radio a y longitud L. Si el momento magnético del imán es m, la corriente equivalente I_eq que produce este momento magnético es

$I_{e q} = \frac{m}{π a^{2}}$

La corriente di que circula por la espira de anchura dx comprendida entre x y x+dx es

$d i = \frac{I_{e q}}{L} d x = \frac{m}{π a^{2} L} d x$

La corriente di que circula por esta espira de radio a produce en el punto P un campo magnético dB cuya dirección y sentido se señalan en la figura

$d B = \frac{μ_{0} a^{2} d i}{2 {(\sqrt{a^{2} + x^{2}})}^{3}} = \frac{μ_{0} \cdot m}{2 π L {(\sqrt{a^{2} + x^{2}})}^{3}} d x$

Todas las espiras elementales producen en P un campo que tiene la misma dirección y sentido pero distinto módulo, dependiendo de su distancia x al punto P.

Para integrar, tenemos que hacer el cambio de variable a=x·tanθ , y teniendo en cuenta que 1+tan²θ =1/cos²θ , simplificamos mucho la integral

$B = \frac{μ_{0} m}{2 π L a^{2}} \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} - \sin θ \cdot d θ = \frac{μ_{0} m}{2 π L a} (\cos θ_{2} - \cos θ_{1})$

Donde

$\cos θ_{1} = \frac{z}{\sqrt{z^{2} + a^{2}}} \cos θ_{2} = \frac{z + L}{\sqrt{{(z + L)}^{2} + a^{2}}}$

Conocidas las dimensiones del imán, su radio a y su longitud L, se puede medir el campo magnético B producido por el imán a una distancia z a lo largo de su eje y así, determinar mediante la fórmula anterior el momento magnético m del imán.

Oscilaciones transversales de un imán

El dispositivo experimental consta de un par de bobinas de Helmholtz de radio R y que constan de N espiras cada una, conectadas a una batería de modo que la corriente recorre las espiras en el mismo sentido. Las bobinas se disponen paralelamente a una distancia R una de la otra. Un pequeño imán de momento dipolar m se cuelga de un hilo de modo que esté situado en el punto medio del eje de las bobinas.

Cuando el eje del imán no coincide con el eje de las bobinas el campo magnético ejerce un momento que tiende a orientar su momento dipolar en la dirección del campo. Como veremos el imán describe aproximadamente un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.), cuyo periodo podemos medir con un cronómetro.

El campo magnético producido por una bobina de radio R, de N espiras, recorrida por una corriente de intensidad i, en un punto de su eje que dista x de su centro es

$B = \frac{μ_{0} N i R^{2}}{2 {(\sqrt{R^{2} + x^{2}})}^{3}}$

Su dirección es la del eje de la bobina y su sentido está dado por la regla de la mano derecha, el señalado en la figura.

El campo producido por dos bobinas iguales, recorridas por la misma corriente i, en el punto medio del eje común de las bobinas x=R/2 es

$B = B_{1} + B_{2} = 2 \frac{μ_{0} N i}{2 R {(\sqrt{1 + 1 / 4})}^{3}} = \frac{8}{5 \sqrt{5}} \frac{μ_{0} N i}{R}$

Los campos producidos por las dos bobinas tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Si el imán se separa un ángulo pequeño θ del eje de las bobinas, se ejerce sobre él un momento M=m×B

El módulo del momento es M=mB·sinθ
La dirección, el eje de rotación Z
Sentido el indicado en la figura.

La ecuación de la dinámica de rotación alrededor de un eje fijo Z se escribe

I·α=- mB·sinθ

Donde I es el momento de inercia del imán, que depende de su forma y dimensiones y α la aceleración angular

El signo menos se interpreta del siguiente modo:

Cuando el ángulo θ es positivo, el momento M es negativo.
Cuando el ángulo θ es negativo (como en la figura), el momento M es positivo.

Expresando la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial

$\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + \frac{m B}{I} \sin θ = 0$

Esta es una ecuación similar a la obtenida en el estudio del péndulo simple. No es la ecuación diferencial de un MAS. Ahora bien, si la amplitud de la oscilación es pequeña podemos realizar la aproximación sinθ≈θ.

$\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + \frac{m B}{I} θ = 0$

Tenemos entonces, la ecuación diferencial de un MAS de frecuencia angular

$ω^{2} = \frac{m B}{I}$

Como el campo magnético B es proporcional a la intensidad i que circula por las espiras, la representación gráfica de ω² en función de i será una línea recta. Midiendo la pendiente de la recta podemos calcular el momento dipolar magnético m del imán

Si el imán parte de la posición θ₀ en el instante t=0, con velocidad angular inicial dθ/dt=0, la ecuación del MAS, como puede deducirse fácilmente, es

θ=θ₀·cos(ωt)

Energía potencial de un dipolo magnético en un campo magnético

Cuando un momento actúa sobre un cuerpo y éste gira un determinado ángulo, se realiza un trabajo. Cuando el dipolo gira un ángulo dθ, el trabajo realizado es

dW=-M·dθ=-mBsinθ·dθ

El signo menos aparece por que el momento tiende a disminuir el ángulo θ,

Como el trabajo de una fuerza conservativa es igual a la variación de energía potencial cambiada de signo (definición de energía potencial)

dE_p=-dW=mBsinθ·dθ

Integrando

E_p=-mBcosθ+C

Donde C es una constante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de energía potencial. La energía potencial es nula cuando θ=90º, luego, C=0.

E_p=-mBcosθ=-m·B

La energía potencial es el producto escalar de dos vectores, el momento magnético m y el campo magnético B.

Actividades

Se pulsa el botón titulado Nuevo. El programa interactivo genera aleatoriamente un valor del momento magnético m comprendido entre 2.0 y 5.0 A·m²

Se introduce la intensidad i de la corriente, en el control de edición titulado Intensidad.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Haciendo uso de los botones titulados Pausa/Continua y Paso se puede medir el periodo. Los pares de datos, intensidad i y periodo P=2π/ω se guardan en el control área de texto situado a la izquierda del applet.

Una vez que se ha recogido varios resultados “experimentales”, se pulsa el botón titulado Gráfica para obtener la representación gráfica de dichos datos y la recta de "ajuste". El programa calcula y muestra en la parte superior del applet la pendiente de dicha recta.

Para calcular el momento dipolar magnético necesitamos los siguientes datos (véase el artículo citado en las referencias):

El radio R de las bobinas, se ha fijado en el valor 20 cm
El número de espiras de cada bobina N=154
El momento de inercia del imán I=3.23·10^-5 kgm²

Con estos datos, obtenemos la relación de proporcionalidad entre el cuadrado de la frecuencia angular ω² y la intensidad i.

$ω^{2} = m \frac{8}{5 \sqrt{5}} \frac{154 \cdot 4 π \cdot 10^{- 7}}{0.20 \cdot 3.23 \cdot 10^{- 5}} i = 21.435 \cdot m \cdot i$

Ejemplo:

Hemos comenzado la “experiencia” pulsando el botón titulado Nuevo y a continuación, se ha introducido varios valores de la intensidad de la corriente i.

Se ha pulsado el botón titulado Gráfica, el valor de la pendiente de la recta de “ajuste” a los datos experimentales es 94.01. Por lo que el momento dipolar magnético del imán vale

94.01=21.435·m m=4.39 A·m²

SolenoideApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Referencias

Bisquert J., Manzanares J. A., Mafé S. Determinación experimental del momento dipolar magnético, un modelo estático y dos dinámicos. Revista Española de Física, V-6, nº 2, 1992, págs. 43-47.