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El péndulo que descarga a un condensador

En esta página, se simula una demostración de aula que realizamos en la E.U.I.T.I. de Eibar.

Ente las placas de un condensador plano-paralelo, se coloca pequeño péndulo, atando al extremo de un hilo una pequeña esfera de metal normalmente, una bolita que se ha hecho plegando con los dedos papel de aluminio.

Una de las placas del condensador se conecta a un electroscopio, la otra placa se conecta a tierra.

Ponemos en marcha un generador de Van de Graaff y transportamos carga desde la esfera del generador a la placa del condensador conectada al espectroscopio mediante una bola metálica situada en el extremo de una varilla de plástico, o bien, conectamos con un cable esta placa con la esfera del generador.

En el primer caso, la placa se va cargando, la aguja del electroscopio se va desviando de su posición de equilibrio. La bolita metálica es atraída hacia la placa cargada. En un momento dado entra en contacto con ella, y el péndulo empieza a moverse rápidamente entre las placas del condensador, descargando la placa unida al electroscopio..

Descripción

En la página anterior, hemos visto que una esfera conductora en un campo eléctrico uniforme se comporta como un dipolo.

Un dipolo en un campo eléctrico uniforme experimenta una fuerza neta nula. Como vemos en la figura, la placa positiva del condensador está más cerca de la carga negativa inducida en la bolita, que de la carga positiva inducida en la misma. Luego, la fuerza neta será atractiva.

Cuando el campo es suficientemente intenso, la bolita toca la placa positiva del condensador. La bolita se carga con una carga positiva Δq y placa pierde la misma carga que ha adquirido la bolita.

El electroscopio indicará la disminución de carga de la placa, la aguja indicadora formará ahora un ángulo ligeramente más pequeño con la vertical.

Una vez que la bolita se ha cargado positivamente, experimenta una fuerza en el sentido del campo, que la mueve rápidamente hacia la placa opuesta conectada a tierra.

La bolita choca con dicha placa y pierde entonces su carga. Rebota y se mueve hacia la posición de equilibrio, rebasándola debido a su energía cinética, y comienza un nuevo ciclo.

El resultado es que la placa positiva va perdiendo una carga Δq, cada vez que la bolita entra en contacto con dicha placa. El electroscopio indicará la disminución paulatina de carga en la placa.

Cuando la carga existente en la placa está por debajo de cierto valor, el campo eléctrico entre las placas es pequeño, y la bolita es atraída por la placa positiva con una fuerza que no es suficiente para que entre en contacto con ella. La bolita oscila cada vez con menos amplitud debido al rozamiento con el aire hasta que se para.

Movimiento de la bolita cargada en un campo eléctrico uniforme

Las fuerzas sobre la bolita cargada son:

• El peso, mg
• La fuerza que ejerce el campo eléctrico, qE
• La tensión de la cuerda, T

Descomponemos las fuerzas en la dirección tangencial y en la dirección normal

La ecuación del movimiento de la bolita es

${\displaystyle ml\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-mg\sin \theta +qE\cos \theta }$  

Si la separación d entre las placas es pequeña comparada con la longitud l del péndulo, la amplitud de la oscilación del péndulo es pequeña y podemos hacer las siguientes aproximaciones

sinθ≈θ, cosθ≈1

La ecuación del movimiento se escribe

${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+{\omega }^2\theta =qE{\omega }^2=\frac{g}{l}}$

La solución de esta ecuación diferencial es

θ=Asin(ωt)+Bcos(ωt)+C
dθ/dt= Aωcos(ωt)-Bωsin(ωt)

La constante C es la solución particular ω²C=qE

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales

En el instante t=0, la posición es θ=-θ₀, dθ/dt=v₀/l

${\displaystyle \begin{array}{l}-{\theta }_0=B+\frac{qE}{{\omega }^2}\frac{v_0}{l}=A\omega \\ \theta =\frac{v_0}{l\omega }\sin (\omega t)-\left({\theta }_0+\frac{qE}{{\omega }^2}\right)\cos (\omega t)+\frac{qE}{{\omega }^2}\end{array}}$

El tiempo que tarda en llegar a la otra placa se calcula poniendo θ=θ₀ y despejando t.

De la equivalencia Asin(ωt)+Bcos(ωt)=Msin(ωt+φ)

${\displaystyle t_0=\frac{1}{\omega }\left(\text{arcsin}\left(\frac{{\theta }_0-\frac{qE}{{\omega }^2}}{\sqrt{{\left(\frac{v_0}{l\omega }\right)}^2+{\left({\theta }_0+\frac{qE}{{\omega }^2}\right)}^2}}\right)-\arctan \left(\frac{-\left({\theta }_0+\frac{qE}{{\omega }^2}\right)}{\left(\frac{v_0}{l\omega }\right)}\right)\right)}$

La bolita choca con la placa con velocidad v dada por la expresión

${\displaystyle v=l\left(\frac{v_0}{l}\text{cos}(\omega t_0)+\omega \left({\theta }_0+\frac{qE}{{\omega }^2}\right)\sin (\omega t_0)\right)}$

La bolita rebota con velocidad v’₀ más pequeña si el choque de la bolita con la placa es inelástico, y con la misma velocidad si es elástico.

La componente de la velocidad perpendicular a la placa disminuye su valor, quedando la componente paralela inalterada.

La bolita ha perdido la carga y su movimiento no se ve afectado por el campo eléctrico, es la de un péndulo simple.

${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+{\omega }^2\theta =0{\omega }^2=\frac{g}{l}}$

La solución de la ecuación diferencial es

θ=Asin(ωt)+Bcos(ωt)
dθ/dt= Aωcos(ωt)-Bωsin(ωt)

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales

En el instante t=0, la posición es θ=θ₀, dθ/dt=-v’₀/l

${\displaystyle \begin{array}{l}{\theta }_0=B-\frac{v{\text{'}}_0}{l}=A\omega \\ \theta =-\frac{v{\text{'}}_0}{l\omega }\sin (\omega t)+{\theta }_0\cos (\omega t)\end{array}}$

El péndulo choca con la placa opuesta en el instante t, cuando su posición es θ=-θ₀

${\displaystyle t{\text{'}}_0=\frac{1}{\omega }\left(\text{arcsin}\left(\frac{-{\theta }_0}{\sqrt{{\left(\frac{v{\text{'}}_0}{l\omega }\right)}^2+{\theta }_0^2}}\right)-\arctan \left(\frac{-{\theta }_0}{\left(\frac{v{\text{'}}_0}{l\omega }\right)}\right)\right)}$

La velocidad de la bolita es

${\displaystyle v\text{'}=l\left(-\frac{v{\text{'}}_0}{l}\text{cos}(\omega t{\text{'}}_0)-\omega {\theta }_0\sin (\omega t{\text{'}}_0)\right)}$

La bolita rebota con velocidad v₀ más pequeña si el choque de la bolita con la placa es inelástico, completándose de este modo un ciclo.

La descripción del movimiento del péndulo que descarga el condensador es bastante compleja y comprende los siguientes puntos:

1. Dado el campo eléctrico (supuesto uniforme) entre las placas del condensador, calcular las cargas inducidas en la bolita. Requiere la solución de la ecuación de Laplace, véase la página titulada "Conductor esférico en un campo eléctrico uniforme"
2. Tendríamos que calcular la carga Δq positiva de la placa que pasa a la bolita cuando entran en contacto. Como consecuencia el campo eléctrico disminuye, y la bolita cargada se mueve en un campo eléctrico uniforme.

3. Choca con la placa opuesta, supondremos que la dirección de la velocidad es perpendicular a la placa, pero en realidad forma un ángulo pequeño con la horizontal. La velocidad después del choque deja de ser tangente a la trayectoria circular, lo cual introduce una complicación a la hora de calcular la trayectoria de retorno.
4. La bolita descargada retorna bajo la acción de su propio peso, supondremos que la separación de las cargas que se produce en la bolita bajo la influencia del campo eléctrico no tiene influencia en su movimiento hacia la placa positiva.

Actividades.

Disponemos de un generador de Van de Graaff para suministrar la carga que transportamos a una de las placas del condensador.

• Se pulsa el botón titulado Nuevo
• Con el puntero del ratón movemos la bola que está en contacto con el generador de carga, y tocamos la placa del condensador conectada al electroscopio.
• Pulsamos el botón titulado Otra más,  para repetir la operación de carga del condensador

Repetimos la operación varias veces, vemos como se va cargando la placa y se desvía la aguja indicadora del electroscopio. La bolita es atraída hacia la placa positiva, hasta que entra en contacto con ella. En ese momento la bolita empieza a oscilar y la placa positiva del condensador empieza a perder poco a poco carga en cada oscilación de la bolita.

Para repetir la experiencia se pulsa el botón titulado Nuevo.

LineasApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Se mueve la bola con el puntero del ratón hasta tocar la placa derecha del condensador

Referencias

Kazutoshi Asano. On the theory of an electrostatic pendulum oscillator. Am. J. Phys. 43 (5) May 1975, pp. 423-427

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García