Efectos mecánicos de la ley de Faraday. Oscilaciones amortiguadas

El programa interactivo de la página anterior no incluye el estudio del comportamiento de la espira en el caso general, en el que la espira tiene una resistencia y una autoinducción. En esta página web se estudia las oscilaciones amortiguadas, críticas y sobreamortiguadas de la espira, siempre que que cumpla la condición de que solamente su lado derecho esté en el interior del campo magnético x≥ 0. Además, este ejemplo, permite al lector familiarizarse con la resolución de ecuaciones diferenciales sencillas.

Resistencia y autoinducción no nulas (L≠ 0, R≠ 0)

En este caso la ecuación del circuito es (suma de fems igual a intensidad por resistencia)

$\begin{array}{l} V_{L} + V_{ε} = i R \\ - L \frac{d i}{d t} + B a v = i R \end{array}$

y la ecuación del movimiento

$m \frac{d v}{d t} = - i a B$

Despejando la intensidad i en la ecuación del movimiento e introduciéndola en la ecuación del circuito, llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden

$\frac{d^{2} v}{d t^{2}} + \frac{R}{L} \frac{d v}{d t} + \frac{B^{2} a^{2}}{m L} v = 0$

Que describe las oscilaciones amortiguadas

$\frac{d^{2} v}{d t^{2}} + 2 γ \frac{d v}{d t} + ω_{0}^{2} v = 0 ω_{0} = \frac{B a}{\sqrt{m L}} γ = \frac{R}{2 L} = \frac{ω_{0}^{2} τ}{2}$

Las condiciones iniciales son:

$t = 0 v = v_{0} \frac{d v}{d t} = 0$

Esta ecuación tiene tres posibles soluciones:

Oscilaciones amortiguadas

Si la resistencia R no es muy grande de modo que ω²₀>γ ² o bien, ω₀τ <2.

$v = A \exp (- γ t) \sin (ω t + ϕ) ω = \sqrt{ω_{0}^{2} - γ^{2}}$

donde ω es la frecuencia de las oscilaciones amortiguadas. Las constantes A y φ se determinan a partir de las condiciones iniciales

$\begin{array}{l} v = v_{0} \sqrt{1 + \frac{γ^{2}}{ω^{2}}} \exp (- γ t) \sin (ω t + ϕ) \tan ϕ = \frac{ω}{γ} \\ v = v_{0} \exp (- γ t) (\frac{γ}{ω} \sin (ω t) + \cos (ω t)) \end{array}$

Integrando dos veces por partes, obtenemos la posición x, de la espira en función del tiempo.

$x = \int_{0}^{t} v d t = \frac{v_{0} γ}{ω_{0}^{2}} [2 - \exp (- γ t) (\frac{γ^{2} - ω^{2}}{ω γ} \sin (ω t) + 2 \cos (ω t))]$

A partir de la ecuación del movimiento, obtenemos la intensidad i derivando la velocidad v.

$i = - \frac{m}{a B} \frac{d v}{d t} = (\frac{B a v_{0}}{ω L}) \exp (- γ t) \sin (ω t)$

Oscilaciones críticas

Cuando la resistencia aumenta, puede ocurrir que ω²₀=γ ² o bien ω₀τ =2.

La solución de la ecuación diferencial es

$v = (A t + B) \exp (- γ t)$

Donde A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales

$v = v_{0} (γ t + 1) \exp (- γ t)$

Integrando por partes, obtenemos la posición x, de la espira en función del tiempo.

$x = \int_{0}^{t} v d t = \frac{v_{0}}{γ} (2 - (γ t + 2) \exp (- γ t))$

A partir de la ecuación del movimiento, obtenemos la intensidad i derivando la velocidad v.

$i = \frac{m v_{0}}{a B} γ^{2} t \exp (- γ t)$

Oscilaciones sobreamortiguadas

Cuando la resistencia es grande, puede ocurrir que ω²₀<γ ² o bien ω₀τ >2.

La solución de la ecuación diferencial es

$v = (A \exp (β t) + B \exp (- β t)) \exp (- γ t)$

Donde A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales

$v = \frac{v_{0}}{2} [(1 + \frac{γ}{β}) \exp (β t) + (1 - \frac{γ}{β}) \exp (- β t)] \exp (- γ t)$

Integrando obtenemos la posición x, de la espira en función del tiempo.

$x = \int_{0}^{t} v d t = \frac{v_{0}}{2 β} [(\frac{β + γ}{β - γ}) (\exp (β - γ) t - 1) - (\frac{β - γ}{β + γ}) (\exp - (β + γ) t - 1)]$

A partir de la ecuación del movimiento, obtenemos la intensidad i derivando la velocidad v.

$i = \frac{B a v_{0}}{2 β L} (\exp (β t) - \exp (- β t)) \exp (- γ t))$

Estudio energético

Parte de la energía cinética inicial se pierde en la resistencia E_R, otra parte se acumula en forma de campo magnético en la autoinducción E_L, y el resto es la energía cinética de la espira E_k.

$\begin{array}{l} E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2} \\ E_{L} = \frac{1}{2} L i^{2} \\ E_{R} = \int_{0}^{t} i^{2} R d t \\ E_{k} + E_{L} + E_{R} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} \end{array}$