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• Inducción mutua y autoinducción

Caída de un imán

En las páginas tituladas “Demostración de la ley de Faraday”, hemos estudiado la corriente inducida producida en una espira, cuando un imán se mueve a lo largo de su eje con velocidad constante. La corriente inducida no afecta al movimiento del imán.

En esta página, vemos a estudiar un ejemplo algo más complicado. El imán se sitúa a cierta altura, se libera y cae bajo la acción de la gravedad hacia la espira a lo largo de su eje. Se originan corrientes inducidas en la espira que van a modificar el movimiento del imán, como veremos a continuación.

En la página "Movimiento de un imán en un tubo metálico vertical" no se han considerado los efectos de la autoinducción de la espira. En esta página, la espira va a tener una autoinducción no nula y esto hace cambiar la descripción del movimiento del imán.

Fuerzas sobre el imán

El campo magnético producido por una espira de radio a por la que circula una corriente eléctrica de intensidad I, en un punto z de su eje es

${\displaystyle B_z=\frac{{\mu }_{0}I}{2}\frac{a^2}{{\left(z^2+a^2\right)}^{3/2}}}$

Consideramos el imán como un dipolo de momento μ= μk

La energía potencial de un dipolo de momento magnético μ en un campo magnético B que tiene la dirección del eje Z es el producto escalar

U=-μ·B=-μ·B_z

Como B es variable a lo largo del eje de la espira, el dipolo magnético experimenta una fuerza

${\displaystyle F_z=-\frac{\partial U}{\partial z}=-\frac{3\mu {\mu }_{0}I{a}^2}{2}\frac{z}{{\left(z^2+a^2\right)}^{5/2}}}$

Si la corriente I en la espira es negativa (en el sentido de las agujas del reloj) la fuerza es repulsiva (las corrientes se repelen si tienen sentido contrario y se atraen, si tienen el mismo sentido).

Aplicamos la segunda ley de Newton al movimiento del imán

${\displaystyle m\frac{d^{2}z}{d{t}^2}=-mg-\frac{3\mu {\mu }_{0}I{a}^2}{2}\frac{z}{{\left(z^2+a^2\right)}^{5/2}}}$

Ecuación del circuito (espira)

Si consideramos que el imán es un dipolo magnético de momento magnético μ=iπa², el campo magnético producido por el imán tiene la siguientes componentes. En la figura, se muestran las líneas de campo magnético producido por el imán

${\displaystyle B_y=\frac{{\mu }_0·\mu }{4\pi r^3}\left(\frac{3yz}{r^2}\right)B_z=\frac{{\mu }_0·\mu }{4\pi r^3}\left(\frac{3z^2}{r^2}-1\right)}$

El flujo del campo producido por el imán a través de una espira de radio a es.

${\displaystyle \Phi ={\displaystyle \underset{S}{\int }B\cdot dS}={\displaystyle \underset{S}{\int }\left(B_y\widehat{j}+B_z\widehat{k}\right)\cdot dS\widehat{k}}={\displaystyle \underset{S}{\int }{B}_z·dS}}$

Dado que el plano de la espira es perpendicular al eje Z, el flujo de la componente Y del campo es nulo.

El elemento diferencial de superficie dS, es el área de un anillo de radio y y de espesor dy, su valor es dS=2πy·dy

${\displaystyle \begin{array}{l}\Phi ={\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{{\mu }_0·\mu }{4\pi r^3}\left(\frac{3z^2}{r^2}-1\right)·2\pi y·dy}·\\ \Phi =\frac{\pi {\mu }_0·\mu }{4\pi }\left(3z^2{\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{2ydy}{{\left(\sqrt{y^2+z^2}\right)}^5}-}{\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{2ydy}{{\left(\sqrt{y^2+z^2}\right)}^3}}\right)=\frac{{\mu }_0\mu ·a^2}{2{\left(a^2+z^2\right)}^{3/2}}\end{array}}$

Aplicando la ley de Faraday

${\displaystyle V_{\epsilon }=-\frac{d\Phi }{dt}=-\frac{d\Phi }{dz}\frac{dz}{dt}=\frac{3{\mu }_0\mu a^2}{2}\frac{z}{{\left(a^2+z^2\right)}^{5/2}}\frac{dz}{dt}}$

La espira tiene una resistencia R y una autoinducción L. La espira es equivalente al circuito de la figura, cuya ecuación es

${\displaystyle V_{\epsilon }-L\frac{dI}{dt}=IR}$

Recuérdese que la autoinducción actúa como una batería que se opone a los cambios en la corriente I de la espira

${\displaystyle L\frac{dI}{dt}+IR=\frac{3{\mu }_0\mu a^2}{2}\frac{z}{{\left(a^2+z^2\right)}^{5/2}}\frac{dz}{dt}}$

Balance energético

Las energías del sistema formado por la espira y el imán son:

• Energía potencial del imán, (situando el nivel cero en el origen) es mgz

• Energía cinética, $\frac{1}{2}m{v}^2$

• Energía del campo magnético producido por la espira, $\frac{1}{2}L{I}^2$

• Energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia, I²R

Se deberá cumplir que

${\displaystyle \frac{d}{dt}\left(mgz+\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}L{I}^2\right)=-I^{2}R}$

Si la espira es un superconductor R=0, la suma de las tres clases de energía permanece constante.

Solución de las ecuaciones del movimiento

Para determinar el movimiento del imán tenemos que resolver un sistema de dos ecuaciones diferenciales acopladas, con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, la posición del imán es z₀, su velocidad inicial es dz/dt=v₀ y la intensidad inicial en la espira es I₀.

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d^{2}z}{d{t}^2}=-mg-\frac{3\mu {\mu }_{0}I{a}^2}{2}\frac{z}{{\left(z^2+a^2\right)}^{5/2}}\\ L\frac{dI}{dt}+IR=\frac{3{\mu }_0\mu a^2}{2}\frac{z}{{\left(a^2+z^2\right)}^{5/2}}\frac{dz}{dt}\end{array}}$

Escribimos las ecuaciones diferenciales en forma adimensional, definiendo las nuevas variables x, τ e i.

${\displaystyle z=xat=\tau \sqrt{\frac{a}{g}}I=\frac{mg{a}^2}{{\mu }_0\mu }i}$

El sistema de dos ecuaciones diferenciales en términos de las variables adimensionales x, τ e i, se escribe.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{\tau }^2}=-1-\frac{3}{2}\frac{x}{{(x^2+1)}^{5/2}}i\\ \frac{di}{d\tau }+\frac{R}{L}\sqrt{\frac{a}{g}}i=\frac{{(\mu {\mu }_0)}^2}{mg{a}^{3}L}\frac{3}{2}\frac{x}{{\left(x^2+1\right)}^{5/2}}\frac{dx}{d\tau }\end{array}}$

Definimos los parámetros α y β

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{\tau }^2}=-1-\frac{3}{2}\frac{x}{{\left(x^2+1\right)}^{5/2}}i\\ \frac{di}{d\tau }=-\alpha i+\frac{3\beta }{2}\frac{x}{{\left(x^2+1\right)}^{5/2}}\frac{dx}{d\tau }\\ \alpha =\frac{R}{L}\sqrt{\frac{a}{g}}\beta =\frac{{(\mu {\mu }_0)}^2}{mg{a}^{3}L}\end{array}}$

El programa interactivo que viene a continuación, resuelve el sistema de dos ecuaciones diferenciales por el procedimiento de Runge-Kutta, con las siguientes condiciones iniciales, en el instante τ=0, la posición inicial del imán es x₀, y parte del reposo, su velocidad inicial dx/dτ=0, la intensidad inicial en la espira i₀=0.

En función de las variables adimensionales x, τ e i, los distintos tipos de energía se escriben:

• Energía potencial gravitatoria

mgz=-(mga)x

• Energía cinética

${\displaystyle \frac{1}{2}m{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2=(mga)\frac{1}{2}{\left(\frac{dx}{d\tau }\right)}^2}$

• Energía magnética

${\displaystyle \frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{2}L{\left(\frac{mg{a}^2}{{\mu }_0\mu }\right)}^2{i}^2=(mga)\frac{1}{2}\frac{i^2}{\beta }}$

Actividades

Se pulsa el botón titulado Inicio

• Con el puntero del ratón se mueve la flecha de color azul, para establecer la posición inicial x₀.

• El radio de la espira se ha fijado en a=1

Se introduce

• El valor del parámetro α, actuando en la barra de desplazamiento titulada Alfa. Para un superconductor R=0, y α=0

• El valor del parámetro β, actuando en la barra de desplazamiento titulada Beta.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Observamos el movimiento del imán, las fuerzas sobre el mismo, que en términos de las variables adimensionales son:

• El peso, fuerza constante de valor 1 (hacia abajo)

• La fuerza que ejerce el campo magnético producido por la espira sobre el imán.

${\displaystyle -\frac{3}{2}\frac{x}{{\left(x^2+1\right)}^{5/2}}i}$

Positiva si la corriente i es en el sentido de las agujas del reloj y negativa, en caso contrario.

Los puntos rojos en la espira, representan cargas positivas cuyo movimiento nos sugiere el sentido de la corriente inducida.

En la parte derecha del applet, se representa:

• En color rojo, la intensidad i adimensional de la corriente inducida en la espira

• En color azul, la posición x del imán

En el extremo derecho del applet, un diagrama de barras representa el balance energético.

La energía inicial del imán es x₀

La energía en un instante τ es la suma de la energía

• Potencial gravitatoria del imán, x, en color amarillo

• Cinética del imán, $\frac{1}{2}{\left(\frac{dx}{d\tau }\right)}^2$ , en color azul

• Energía magnética$\frac{1}{2}\frac{i^2}{\beta }$ , en color rojo.

Cuando el imán cae, la energía potencial gravitatoria, se convierte por una parte en energía cinética y por la otra, en energía del campo magnético producido por la espira. Si la espira tiene resistencia, una parte de la energía se disipa en forma de calor por efecto Joule, la energía total (suma de las tres clases de energías) va disminuyendo con el tiempo.

Cuando la espira es superconductora, R=0, y α=0, el imán puede levitar sobre la espira, se mueve hacia abajo y hacia arriba, la energía se conserva, y se puede medir el periodo de las oscilaciones. Si la resistencia es pequeña, se observan oscilaciones amortiguadas, cuya amplitud va disminuyendo con el tiempo.

En la siguiente tabla, se sugieren algunos valores de los parámetros α y β, y la posición inicial x₀

Alfa	Beta	Posición inicial
1	35	3.0
0	25	3.0
0	35	3.0
0	18	0.0

SolenoideApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Arrastre la flecha horizontal de color azul con el puntero del ratón

Referencias

Belcher J. W. The falling magnet. web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/resources/fallingMagnetEqs.pdf

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García