Zinematika

Higidura kurboa

Magnitude zinematikoak

Tiro parabolikoa

Higidura konposatuak

Kanioi bat apuntatzea
itu finko bati jotzeko

Hegazkin batetik itu
mugikorra bonbardatzea

Saskibaloiko
jaurtiketak

Irismen maximoa
plano horizontalean

Irismen maximoa
plano inklinatuan

Bestelako maximo
batzuk

Jaurtigai batekin
itu mugikor bat jotzea

Gurpil batetik askatzen
den buztin-zatia

Tiro parabolikoa eta
higidura zirkularra

Torpedo bat itsasontzi
baten atzetik

Azelerazioaren osagai tangentziala eta normala

Higidura kurboa

Demagun higidura XY planoan gertatzen dela. Ardatz batzuk ezarri, jatorria finkatu eta higikariaren ibilbidea irudika dezakegu, hau da, higikaria puntuz puntu nondik pasatzen den. Higidura kurboa deskribatzeko erabiltzen diren magnitudeak honakoak dira:

Posizio bektorea t aldiunean.

Higikariaren posizioa denboran zehar aldatzen ari denez, P posiziotik pasatzen da t aldiunean eta P' posiziotik t' aldiunean. Posizio horiek erabat deskribatzeko posizio-bektoreak erabiltzen dira: lehenago r eta ondoren r'. Denbora-tartea, Dt=t'-t da eta desplazamendua Dr=r’-r . Bektore horrek P eta P' puntuak lotzen dituen sekantearen norabidea du.

Abiadura bektorea

Batezbesteko abiadura-bektorea zatidura bat da, Dr desplazamenduaren eta Dt denbora-tartearen artekoa: Batezbesteko abiadurak desplazamenduaren norabide bera du, alegia t eta t1 aldiuneen arteko <v1> batezbesteko abiadurak P eta P1 puntuak lotzen dituen sekantearen norabidea du.

Aldiuneko abiadura batezbesteko abiaduraren limitea da, denbora-tarteak zerora jotzen duenean: Irudi bietan ikus daitekeenez denbora-tartea txikitu ahala, batezbesteko abiaduraren norabideak (P eta P1 puntuak lotzen dituen sekantearen norabidea, edo P eta P2 puntuak lotzen dituen sekantearen norabidea, ....) P puntuko tangentearen norabidera jotzen du. t aldiunean, higikaria P puntutan dago, v abiadura du eta P puntuan ibilbidearen tangentea den norabidea du.

Azelerazio bektorea

t aldiunean higikaria P posizioan dago v abiaduraz eta P puntuan ibilbidearen tangentea den norabidea du. t' aldiunean ordea higikaria P' posizioan dago eta v' abiadura du. Higikariaren abiadura aldatu egin da, orokorrean moduluz eta norabidez eta abiadura-aldaketa hau da: Dv=v’-v. (ikusi irudia)

Batezbesteko azelerazio-bektorea ere zatidura bat da, Dv abiadura-aldaketaren eta Dt denbora-tartearen artekoa:

Eta aldiuneko azelerazioa, a 

Laburbilduz, higidura kurboaren ekuazio cartesiarrak XY planoan hauek dira:

Lehen ilarako ekuazioak, X ardatzean zeharreko higidura zuzenari dagozkio, bigarren ilarako ekuazioak ordea Y ardatzean zeharreko higidura zuzenari. Beste Z ardatz bat ere balego, berdin idatziko lirateke higidura zuzenari dagozkion ekuazioak.

Hortaz, higidura kurbo bat higidura zuzenen konposaketa gisara kontsidera daiteke, bakoitza ardatz koordenatu baten norabidean.

1 adibidea:

Auto batek deskribatzen duen ibilbidea denboraren menpe, bere posizioaren koordenatu cartesiarrez adieraz daiteke:

x= 2t³-3t²,   y=t²-2t+1 m.  Kalkula bedi:

• Abiaduraren osagaiak denboraren menpe.

v_x= 6t²-6t  m/s
v_y= 2t-2 m/s

• Azelerazioaren osagaiak denboraren menpe:

a_x= 12t m/s²
a_y= 2 m/s²

2 adibidea:

Partikula bat planoan zehar mugitzen ari da, eta bere abiaduraren osagai cartesiarrak denboraren menpe honela adieraz daitezke:

v_x= 4t³+4t, v_y= 4t m/s. Hasieran, t₀=0 s aldiunean, partikularen posizioa hau da: x₀=1, y₀=2 m. Kalkula bedi:

• Azelerazioaren osagaiak denboraren menpe:

·        Partikularen posizioaren x, y koordenatuak denboraren menpe:

Abiaduraren x osagaia jakinda, v_x=4t³+4t , X ardatzeko desplazamendua kalkula daiteke (x-1) ondoko integrala burutzen 0 eta t aldiuneen artean,

beraz posizioa:   x= t⁴+2t²+1 m

Eta abiaduraren y osagaia jakinda, v_y=4t , Y ardatzeko desplazamendua kalkula daiteke (y-2) ondoko integrala burutzen 0 eta t aldiuneen artean:

beraz posizioa   y=2t²+2 m

3 adibidea:

Pilota bat gorantz eta bertikalki jaurtitzen da 20 m/s-ko abiaduraz, 50 metroko altuera duen eraikin baten teilatutik Haizeak pilota horizontalki bultzatzen du 2 m/s²-ko azelerazio konstanteaz. Kalkula bedi:

• Pilotak lurra non joko duen.

• Altuera maximoa.

• Pilota lurretik 60 m-ko altueran dagoen unean (bi aldiune), zein aldiune den eta zeintzuk diren bere abiaduraren osagaiak.

Hasteko, ardatzak finkatu eta jatorria ezarri: jaurtiketa-puntuan eta irudian adierazitako noranzkoez. Hasierako abiaduraren osagaien zeinuak adierazi: v0x=0 eta v0y=20 m/s. Eta azelerazioarenak  ay= -10. Idatzi higiduraren ekuazioak.

• X ardatzean zehar higidura zuzen eta uniformeki azeleratua:

a_x=2   
v_x=2t
x=2t²/2

• Y ardatzean zehar, higidura zuzen eta uniformeki azeleratua (gorputzen erorketa mugimendua).

a_y= -10
v_y= 20+(-10)t
y= 20t+(-10)t²/2

1. Pilotak lurra jotzean, x ezezaguna da baina y= -50 m. Hortik t atera daiteke eta gero x:

y= -50 m
t=1.74 s
x=3.03 m

2. Altuera maximoa, abiaduraren osagai bertikala nulua denean:

v_y=0 m/s
t=2 s
y=20 m

Lurretik neurtuta, altuera: 20+50=70 m.

3. Pilota lurretik 60 metroko altueran bi aldiz pasatzen da (jatorriarekiko y=10 metro) behin gorantz eta gero beherantz. Bigarren graduko ekuazio horrek emaitza bi ditu hain zuzen:

10= 20t+(-10)t²/2
t₁= 0.59 s eta  t₂=3.41 s.

Azelerazioaren osagai tangentzial eta normala

Azelerazioaren osagai cartesiarrek ez dute bestelako esangura fisikorik, baina beste erreferentzi sistema berri bat definitzen bada ibilbidearen gainean (tangentea eta normala), orduan azelerazioaren osagaiek badute esangura osagarri bat.

Ibilbidearen une konkretu batean azelerazioaren osagai tangentziala eta normala kalkulatzea geometria hutsezko ariketa soil bat da, irudiak erakusten duen bezala:

• XY ardatzak irudikatzen dira.

• Abiaduraren eta azelerazioaren osagai cartesiarrak kalkulatzen dira une horretan. Abiadura eta azelerazio bektoreak adierazten dira grafikoki ardatz horiek erabilita.

• Ardatz berriak irudikatzen dira: bata, tangentea abiaduraren norabide berean, eta bestea, normala, tangentearekiko perpendikularra.

• Erregela eta kartaboiaz, azelerazio-bektorea norabide berri bietan grafikoki deskonposatzen da: osagai normala eta osagai tangentziala.

• Abiadura-bektorearen eta azelerazio-bektorearen arteko angelua kalkulatzen da: q . Gero azelerazioaren osagai normala eta tangentziala kalkula daitezke:  a_t=a cosq  eta  a_n=a sinq

Adibidea:

Partikula baten abiadura-bektorea hau da: v=(3t-2)i+(6t²-5)j m/s. Kalkula bitez azelerazioaren osagai tangentzial eta normala t=2 s aldiunean. Irudika bitez abiadura-bektorea, azelerazio-bektorea eta osagai tangentzial eta normala aldiune horretan.

1. Abiaduraren osagaiak deribatuz azelerazioarenak lortzen dira:

v_x =3t-2 m/s,   a_x= 3 m/s²
v_y=6t²-5 m/s,  a_y= 12t m/s²

2. Osagai horien balioak t=2 s aldiunean:

v_x =4 m/s,   a_x= 3 m/s²
v_y=19 m/s,  a_y= 24 m/s²

3. Irudika ditzagun abiadura-  eta azelerazio-bektoreak:

4. Kalkulatu abiadura eta azelerazio bektore bien arteko q  angelua.

• Biderketa eskalarraz: v·a=v·a·cosq
• Edo bektore bakoitzak X ardatzarekin osatzen duen angelua kalkulatuz eta angelu bien kenketa eginez.

5. Azelerazioaren osagai tangentziala eta normala kalkulatzen dira.

a_t=a·cosq = 24.1 m/s²
a_n=a·sinq= 2.0 m/s²

Abiadura- eta azelerazio-bektoreen arteko biderketa eskalarraz, azelerazio tangentziala edozein aldiunetan kalkula daiteke:

v·a= va·cosθ= v·a_t

Azelerazio tangentziala ezagututa, eta azelerazio osoaren a modulua,  azelerazio normala kalkula daiteke:

Kurbadura erradioa

Ibilbide kurbo batek aldiune batean duen kurbadura-zentroa eta kurbadura-erradioa irudian erakusten dira. Abiaduraren norabidea irudikatzen da t aldiunean (v, tangentea). Abiaduraren norabidea irudikatzen da baina t+dt aldiunean (v+dv). Norabide bi horiekiko perpendikularki zuzen bana irudikatzen da, eta ebakitzen diren C puntua kurbadura-zentroa da. Ibilbideko puntuaren eta kurbadura-zentroaren arteko distantzia kurbadura-erradioa da: ρ.

Partikula desplazatzen den denbora-tartean (t eta t+dt tartea) abiadura-bektorearen norabidea dθ angelua aldatzen da. Angelu hori tangenteen artekoa da, eta baita ere normalen artekoa. Partikula denbora-tarte horretan desplazatu egin da, irudian erakusten den bezala ds=ρ·dθ arkua.

Azelerazioaren osagai tangentziala eta normala kalkulatzeko, v berridatz daiteke bere v modulua bider bektore unitario bat: u_t=v/v. Bektore unitario horrek abiaduraren norabide eta noranzko bera ditu. Abiaduraren adierazpen hori denborarekiko deribatzen bada, deribatuak batugai bi ditu:

Lehen terminoak abiaduraren norabide bera du, alegia u_t bektore unitarioarena, eta horixe da hain zuzen azelerazio tangentziala.

Bigarren terminoak, norabide normala du, un norabidea, jarraian frogatuko dugun bezala. Irudian erakusten den ut bektorearen osagai cartesiarrak honakoak dira: ut=cosθ·i+sinθ·j

Denborarekiko deribatuz:

Hortaz, azelerazio-bektorea hau da:

Beraz, azelerazioaren osagai tangentzial eta normala hauek dira:

Bi formula horietatik azkena, prozedura oso sinple batez lortu zen higidura zirkular eta uniformearen kasurako.

Abiadura bektore bat denez, eta bektore orok modulua eta norabidea dituenez, bai bere modulua zein norabidea denborarekiko aldatzen bada, edo biak batera, azelerazioa existituko da.

• Modulua soilik aldatzen bada denborarekiko, higidura zuzenean bezala, orduan azelerazio tangentziala baino ez dago.
• Norabidea soilik aldatzen bada denborarekiko, baina modulua konstante mantentzen bada, higidura zirkular eta uniformean gertatzen den bezala, orduan azelerazio normala baino ez dago.
• Modulua aldatzen ari bada, eta norabidea ere denborarekiko aldatzen ari bada, tiro parabolikoan bezala, azelerazio normala eta tangentziala, biak existituko dira.