Dinamika

Partikula-multzoak

Partikula-multzo
  baten dinamika

Multzo isolatuak

Blokea irristatzen
aldapa mugikor batean

Pendulua plataforma
mugikor batean

Partikula-bikotearen
problema klasikoa

Partikulak eta MZ nola
mugitzen diren (I)

Partikulak eta MZ nola
mugitzen diren (II)

Salto egitearen eredua

Kutxa bati tiraka

Partikula-multzo baten dinamika

Partikula-multzo baten momentu linealaren kontserbazioa

Talkak

Masa-zentroa

Partikula-multzoaren energia

Momentu lineala eta inpultsoa

Partikula baten momentu lineala bere masa (m) eta abiaduraren (v) biderketa da:

p=mv

Indar erresultantearen bektorea honela definitzen da: partikularen momentu linealaren deribatua denborarekiko.

Izan ere, Newton-en bigarren legea indarraren definizioaren kasu partikular bat baino ez da, alegia partikularen masa konstantea delarik:

Indarraren definiziotik dp bakanduz eta integratuz:

Ezkerreko terminoa partikularen momentu linealaren aldaketa da eta eskumako integrala inpultsoaren definizioa, alegia F indarrak partikulari ematen dion inpultsoa, t_i→t_f  denbora-tarte mugatuan.

Dimentsio bakarreko mugimenduetan, partikula F indar erresultantearen eraginpean mugitzen ari denean, integral hori indar-denbora grafikoan F(t) kurbak mugatzen duen azalera da:

Egoera fisiko askotan erabiltzen da inpultsoaren kontzeptua: esaterako, indar oso intentsu batek oso iraupen laburra duenean. Horrelakoak dira, besteak beste, perkusioak eta talkak. Adibidez, pilota batek pala bat jotzen duenean, palak ehunka edo milaka newtoneko indarra eragiten dio pilotari, baina bere iraupena segundoaren ehunenak edo milarenak dira. Horrelako indarrak oso intentsuak izaten dira, eta horregatik gainontzeko indar arruntak, esaterako grabitatea, tarte horretan arbuiagarriak dira. Gainontzeko indarrak arbuiatzen badira, momentu linealaren aldaketa kasu horretan justu talka baino lehen eta justu talkaren ondoren neurtu behar dira.

Partikula-multzo baten dinamika

Demagun partikula-multzo bat. Partikula bakoitzak jasaten dituen indarretatik, indar batzuk kanpoko eragileek sortuak izango dira eta beste batzuk, ordea, multzoaren barruko partaideek sortuak. Bana ditzagun indarrak.

Demagun bi partikula direla: 1 partikulak bi indar jasaten ditu: bata kanpo-indarra (F₁) eta bestea 2 partikulak eragiten diona (F₁₂). 2 partikulak ere bi indar jasaten ditu: bata kanpo indarra (F₂) eta bestea 1 partikulak eragiten diona (F₂₁).

Adibidez, partikula-multzoa Lurra eta Ilargiak osaturiko bikotea balitz, kanpo-indarrak Eguzkiak eragindakoak izango lirateke (eta gainontzeko planetek) eta barne-indarrak ordea biak elkarri egiten dizkiotenak.

Partikula bakoitzak betetzen du bere momentu linealaren aldaketa denborarekiko, partikulak jasaten duen indar erresultantearen berdina dela, alegia partikula isolatu bati barneko eta kanpoko indarrak eragiten diote.

Ekuazio bi horiek gehituz eta Newton-en hirugarren legea kontutan hartuz ( F12= -F21) , honako ekuazioa ateratzen da:

Ekuazio horretan, P multzoaren momentu lineal totala da eta F_k multzoak jasaten dituen kanpo indarren erresultantea. Hortaz, multzoaren mugimendua (talde gisa) kanpo indarren eraginpean dago soilik.

Partikula-multzo baten momentu linealaren kontserbazioa

Har ditzagun partikula bi, elkarri indarra eragiten diotenak baina kanpotik erabat isolatuta. Partikulak elkarren interakzioaren eraginez mugitzen dira baina ez dago kanpoko eraginik.

2 partikulak 1 partikulari F12 indarra eragiten dio eta 1 partikulak 2 partikulari F21. Newton-en hirugarren legearen arabera, alegia akzio-erreakzioaren legea, indar bi horiek berdinak izan behar dute eta aurkakoak: F12 +F21 =0

Eta Newton-en bigarren legea aplikatuz partikula bakoitzari:

Momentu linealaren kontserbazioaren printzipioak honela dio: partikula-multzo baten momentu lineal totala konstantea da, multzoa isolatua bada, hau da, kanpo-indarrik jasaten ez badu edo kanpo-indarren erresultantea nulua bada. Partikulen arteko indarra (barnekoa) edozein motakoa izanda ere, naturako edozein indar-mota, momentu lineal totala kontserbatzen da.

m₁u₁+m₂u₂=m₁v₁+m₂v₂

Hemen u₁ eta u₂ 1 eta 2 partikulen abiadurak dira aurreko une batean eta v₁ eta v₂ partikulen abiadurak dira baina ondorengo beste une ezberdin batean.

Talkak

Talka izena ematen zaio partikula bi edo gehiagoren arteko elkarrekintzari, iraupen laburrekoa denean. Normalean, talka bateko indar perkusiboak ohiko indar arruntak baino askoz intentsuagoak izaten dira.

Multzoaren momentu lineal totala kontserbatu egiten da, baina energia zinetikoa ordea ez, talkaren ondorioz energiaren zati bat bero-energia bilakatzen delako eta beste zati bat energia potentzial elastiko bilakatzen da gorputzak deformatzen direlako.

Talka batean energia zinetikoa kontserbatzen ez bada, talka inelastikoa deritzo. Gorputz bi talkaren ondorioz itsatsita geratzen direnean talkari erabat inelastikoa deritzo, esaterako meteorito batek Lurraren kontra jotzen duenean.

Talka elastiko batean ordea, energia zinetikoa kontserbatzen da. Esaterako, billar-bolen arteko talkak ia-ia elastikoak dira, eta kontakturik gabeko elkarrekintza gehienak, atomoen artean edo planeten artean, erabat elastikoak izan daitezke.

Ekuazio horretako Q magnitudea energia zinetikoen arteko diferentzia da, talkaren ondorengoa ken lehenagokoa. Talka erabat elastikoa bada Q nulua da baina negatiboa edo positiboa izan daiteke: negatiboa da energia zinetikoa galtzen denean (adibidez deformazioak edo beroa eragin badira) baina partikulen energia zinetikoa talkaren ondoren hasierakoa baino handiagoa bada Q positiboa da (adibidez leherketa batean edo desintegrazio erradiaktiboan) bestelako energia-mota bat (kimikoa, nuklearra...) energia zinetiko bilakatu delako.

Itzultze koefizientea

Esperimentalki Newton-ek aurkitu zuen, partikula bik aurrez-aurre talka egiten dutenean (dimentsio batean), talkaren ondorengo abiadura erlatiboa eta talkaren aurreko abiadura erlatiboa erlazionatuta daudela:

hemen e itzultze koefizientea da eta beti balio du 0 eta 1 bitartean:  e=0 denean, talka erabat inelastikoa da eta partikula biak itsatsita geratzen dira, baina e=1 denean, talka erabat elastikoa da eta energia zinetikoa kontserbatzen da. 0 eta 1 bitarteko beste edozein baliorekin energia zinetikoaren zati bat galtzen da.

Itzultze koefizientea erlazio bat da izatez, partikula bien arteko abiadura erlatiboa talkaren ondoren eta talka baino lehen, alegia urruntzen ari direnekoa zati hurbiltzen ari direnekoa.

Masa-zentroa

Geroago ikusiko dugunez, masa-zentroan kokatutako erreferentzia-sistema (MZ sistema) oso erabilgarria da zenbait talka aztertzean, laborategiko sistema bera (L sistema) baino erabilgarriagoa batzutan.

Masa zentroaren mugimendua

Irudian partikula bi ditugu, m₁ eta m₂ masadunak, baina m₁ handiagoa denez m₂ baino, masa-zentroaren posizioa handienarengandik hurbilago dago. Hona hemen masa zentroaren posizioa:

Orokorrean, N partikuladun multzo batean, masa zentroaren r_mz posizioa honela definitzen da:

Ekuazio hori denborarekiko deribatuz masa-zentroaren abiadura lortzen da: v_mz

Izan ere, zenbatzailea partikula-multzoaren momentu lineal totala da, eta izendatzailea multzoaren masa osoa.

Eta partikula multzo baten dinamikaren arabera:

Partikula-multzo baten masa-zentroa puntu bat da, eta mugitzen da, multzo osoaren masa baleuka bezala eta kanpo indarra soilik jasango balu bezala.

Multzo isolatu batean F_k=0 denez, masa-zentroa abiadura konstanteaz mugitzen da: v_mz=kte.

Masa Zentroan kokatutako erreferentzia-sistema

Partikula-bikote batean:

1 partikularen abiadura masa-zentroarekiko hau da:

Eta 2 partikularen abiadura masa-zentroarekiko beste hau da:

MZ sisteman partikula biak aurkako noranzkoez mugitzen dira.

Momentu lineala

Erraz egiaztatzen da MZ sistemarekiko 1 partikularen momentu lineala eta 2 partikularen momentu lineala berdinak direla eta elkarren aurkakoak:

p_1mz= m₁v_1mz
p_2mz= m₂v_2mz
p_1mz= -p_2mz

Energia zinetikoa

Erraz lortzen da energia zinetikoen erlazioa MZ sisteman eta L sisteman:

Lehen terminoa, partikulen energia zinetikoa da baina MZ-rekiko. Bigarren terminoa, energia zinetikoa da baina masa osoa duen partikula batena eta masa zentroaren abiadura. Bigarren termino horri multzoaren translaziozko energia zinetikoa deritzo.

Hortaz, energia zinetikoari dagokionean, partikula-multzo baten mugimendua bi zatitan bereiz daiteke:

• Translazio-mugimendua masa-zentroaren abiadurarekin.
• Partikulek masa zentroarekiko duten mugimendua.

Ondorengo orrietan, masa-zentroaren garrantzia deskubrituko dugu partikula biko multzo baten mugimendua aztertzeko, esaterako partikula-bikote bat malguki batez lotuta daudelarik.

Partikula-multzo baten energia

Demagun partikula-bikote bat zenbait indarren eraginpean dagoela. Kalkula dezagun indar horiek egindako lana: m₁ partikulak duen desplazamendua dr₁ da, eta m₂ partikulak duen desplazamendua dr₂ .

Lehen partikulak jasaten duen indar erresultantearen lana honakoa da: (F1+F12)·dr1 Era berean, bigarren partikulak jasaten duen indar erresultantearen lana honakoa da: (F2+F21)·dr2

Kontutan izan, partikula batek jasaten duen indar erresultantearen lana bere energia zinetikoaren aldaketa dela, alegia, amaierakoa ken hasierakoa:

Ekuazio bi horiek batu eta gero lana berridatz daiteke kanpo indarrak alde batetik eta barne indarrak beste aldetik. Gainera, kontutan izan barne-indarrak berdinak direla eta aurkakoak , F₁₂= -F₂₁ , orduan, guztia berridatziz:

Barneko indarrek, F₁₂ eta F₂₁, lana egiten dute soilik partikulak elkarrekiko desplazatzen badira, zeren: dr₁-dr₂=d(r₁-r₂)=dr₁₂

F₁₂ indarra kontserbakorra bada (grabitatorioa, elektrikoa, malguki elastikoa, etab) indar kontserbakor baten lana energia potentzialaren aldaketa da:

Eta gainontzeko batugaiei kanpo-indarren lana deituko diegu:

Guztia bilduz:

Parentesi barruko terminoek adierazten dute partikulen energia zinetikoen batura eta bien arteko indarraren energia potentziala. Kantitate horri partikula-multzoaren U energia deituko diogu, eta:

W_k=U_f  -U_i

Kanpo-indarrek egindako lana partikula-multzoaren energia-aldaketa da, alegia multzoak amaierako egoeran daukan energia ken hasieran daukana.

Partikula-bikote batean barne-interakzioa bakarra izan daiteke, 1 eta 2 partikulek elkarri eragiten diotena, eta indar hori (F₁₂) kontserbakorra bada energia potentziala dagokio (E_p12). Orduan, bikotearen U energia honela idatz daiteke:

Hiru partikuladun multzoa bada, hiru barne indar egon daitezke: 1 eta 2-ren artekoa, 2 eta 3-ren artekoa eta 1 eta 3-ren artekoa (F12, F23, F13). Hirurak kontserbakorrak badira, denek dute energia potentziala. Orduan, hirukotearen U energia honela idatz daiteke:

Multzo isolatua

Partikula-multzoa isolatua bada, F_k=0, orduan kanpo-indarren lana ere nulua izango da: W_k=0. Beraz, multzoaren U energia totala konstantea izango da. Partikula-multzoa bikote bat denean honela idatz daiteke:

Kanpo indarrak kontserbakorrak dira.

Kanpo indarrak kontserbakorrak direnean, eurek egindako lana modu laburrean idatz daiteke: hasierako energia potentziala ken amaierako energia potentziala:

W_k=E_pi-E_pf

Beraz kasu horretan, U_i+E_pi=U_f+E_pf=kte

Esaterako, bi partikula direnean, barne-indarra kontserbakorra, eta kanpo-indarra grabitatea soilik, energiaren kontserbazioaren ekuazioa honela idazten da: