Solido zurruna

Estatika.
Elastikotasuna

Indar baten momentua

Elastikotasun-modulua
nola neurtu

Habe bat makurtzea
  (flexatzea)

Habe bat gilbortzea

Ebakidura-modulua
nola neurtu

Katenaria

Makurtzearen adierazpen orokorra

Erreferentziak

Orri honetan laborategiko esperimentu sinple bat simulatuko da, eta bere helburua da material baten Young-en modulua neurtzea.

Eraikuntzan "hegada" deritzo, habe bat horizontalki kokatzeari eta mutur batetik soilik finkatzeari, horrela, habe osoa airean geratzen da, mutur finkoa izan ezik. Normalean balkoiek, garabiek eta halako eraikinek "hegada" egitura izaten dute.

Demagun habearen neurriak honakoak direla: L luzera, a zabalera eta b lodiera. Mutur askean F indarra aplikatuko da bertikalki eta habea zenbat makurtzen den neurtuko da: y(L), alegia, habearen makurdura, indarraren menpe. Ikusiko dugunez, habearen makurdura txikia bada, orduan indarrarekiko proportzionala da.

Hasteko, habearen makurduraren teoria zehazki aztertuko dugu, eta kalkulatuko dugu habearen mutur askea zenbat desplazatzen den indar bat aplikatzen zaionean.

Adibide honetan, prozedura numerikoak erabiliko ditugu zenbait kalkulu matematikotan aplikatuta:

• Ekuazio baten erroak.
• Integral mugatua.

Material solido isotropoak eta homogeneoak jorratuko ditugu soilik. Habe baten, edo hagatxo baten, ezaugarri nagusia da luzera handia dutela beste neurriekin konparatuta (zabalera eta lodiera).

Habe bat, irudikoa bezala makurtzen denean, kanpoko indar baten eraginez, bere goiko aldea luzatu egiten da eta bere azpiko aldea, ordea, laburtu. Badago habearen barruan lerro bat, lerro neutroa deritzona, ez dena ez luzatu ezta laburtzen ere. Lerro hori dago, habearen zeharkako sekzioaren masa zentroan, eta sarritan aipatuko dugu orri honetan eta ondorengoan ere.

Makurtze txikia

Har dezagun habe argal bat, L luzeraduna, horizontalki kokatuta, mutur batetik finko eutsita eta bestetik F indar bertikala aplikatzen zaio. Kalkula dezagun habearen forma eta, hortik, mutur askearen posizioa: (x_f, y_f).

Planteamendurako, har ditzagun bi baldintza:

• Habearen L luzera oso handia dela gainontzeko neurrien aldean (lodiera eta zabalera), eta habearen pisuak eragiten dion makurdura arbuiagarria dela.

• Habearen sekzioa (laukizuzena) ez dela ezer aldatzen makurtuta dagoenean. Izan ere, habearen lodiera txikia bada kurbadura-erradioaren aldean, zeharkako sekzioa oso gutxi aldatzen da.

Baldintza horietan, Euler-Bernouilli teoriaren ekuazioa erabil daiteke, alegia, habe deformatuaren kurbadura-erradioa (ρ) eta makurdura eragiten ari den indarraren momentua (M) honela erlazionatzen dira:

Y materialaren Young-en modulua da, eta I zeharkako sekzioaren bigarren inertzia-momentua lerro neutroarekiko (azalerako inertzia- momentua edo bigarren azalera-momentua).

Orokorrean, y(x) funtzio matematiko baten kurbadura-erradioa:

Eta malda txikia bada: (dy/dx)²≈0

Mutur askean aplikatzen ari garen F indarraren momentua P(x, y) puntu batekiko: M=F(x_f −x)≈F(L−x). Habearen pisua arbuiatzen da F indarraren aldean, orduan:

Ekuazio diferentzial hori integratzen bada (bi aldiz) soluzioa y(x) funtzioa izango da, habearen forma. Baina mugalde-baldintzak ezarri behar dira: x=0, y=0, dy/dx=0.

Eta hortik mutur askearen desplazamendua: x=L bada, orduan y=y_f :

• Y da, materialaren Young-en modulua.

• I da, zeharkako sekzioaren bigarren inertzia-momentua lerro neutroarekiko. Sekzioa laukizuzena bada:

Emaitza hori (mutur askearen desplazamendua F indarrarekiko zuzenki proportzionala dela), baliozkotzat har daiteke habearen makurdura txikia bada, hau da, aplikatutako indarrak ez badu muga bat gainditzen: F_m=2Y·I·α/L², edo bestela esanda, honako parametro adimentsionala txikia den bitartean: α<0.375 (ikus  bedi hurrengo atala).

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

1.  Habea osatzen duen Materiala, dagokion kontrolean aukeratuz.
2.  Habearen Luzera, L, cm-tan, dagokion desplazamendu-barrari saguaz eragiten.
3.  Habearen Lodiera, b, mm-tan, dagokion desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

Berria botoia sakatu.

4.  Saguaren ezker-botoiarekin pisu bat hartzen da:

• 10 g
• 25 g
• edo 50 g

Saguaz, pisua eramaten da habearen muturrera eta bertan askatu. Programa interaktiboak pisua aldatzen du gramotatik Newton-etara, bider 10 bidertuz eta zati 1000 zatituz. Esaterako, 100 g-ko masa batek 1 N -eko indarra egiten du.

5.  Saguaren ezker-botoia askatzen denean, programak habearen forma kalkulatu eta irudikatzen du. Baldintza horietan mutur askearen desplazamendua neurtzen da eta datu-bikotea leihatilaren ezkerreko aldean idatzita agertzen da, ordena honetan: indarra (N), desplazamendua (cm).
6.  Saguaz, beste pisu bat har daiteke, berriz ere habearen muturrera eraman eta bertan askatu, aurrekoaren azpian. Gehienez, lau pisu eskegi daitezke mota bakoitzetik. Kasu horretan, hamabi pisu eskegitzen badira, 340 gramo lortzen dira, edo bestela esanda 3.4 N.
7.  Datu-bikote nahikoak bildu direnean, Grafikoa botoia sakatu eta programak datu esperimentalen adierazpena erakusten du: ardatz bertikalean mutur askearen y_f desplazamendua eta ardatz horizontalean aplikaturiko F indarra. Puntuok zuzen bat osatzen dute eta programak zuzen horren malda kalkulatu eta idatziz erakusten du grafikoaren goiko aldean.

Aplikatutako F indarra handiegia denean, alegia F_m=2Y·I·0.375/L²  gainditzen bada, programa interaktiboak ez du uzten pisu gehiago eskegitzen, ez delako betetzen makurtze txikien hurbilketaren baldintza.

Adibidea:

• Demagun L=30 cm=0.3 m, habearen luzera.
• b=0.78 mm=0.00078 m, habearen lodiera.
• Materiala aukeratu: Altzairua.
• Zabalera finkoa da programa honetan, eta ezin da aldatu: a=0.03 m.

Esperimentua burutu ondoren, hau da, zenbait pisu ezberdin eskegi ondoren (F) eta mutur askearen desplazamendua neurtu ondoren (y_f), grafikoa irudikatzen da eta, zuzen bat ateratzen da. Zuzen horren malda hau da:

m=3.683 cm/N=0.03683 m/N

Habearen zeharkako sekzioaren bigarren inertzia-momentua lerro neutroarekiko hau da, sekzio laukizuzena delako:

Malda ezagututa (m=L³/3YI) materialaren Young-en modulua kalkula daiteke:

Kalkuluak burutu ondoren, Young-en moduluaren emaitza egiazta dezakegu Erantzuna botoia sakatuz.

Makurtzearen adierazpen orokorra

Berriz ere aztertuko dugu habe argal bat, horizontalki kokatuta eta mutur batetik finko eutsita dagoena (hegada). Mutur askean F indar bat aplikatzen zaio, bertikalki. Habearen forma kalkulatuko dugu eta, hortik, mutur askearen koordenatuak (xf, yf), baita habearen makurdura handia denean ere.

Har dezagun:

• Habearen L luzera oso handia dela gainontzeko neurrien aldean (lodiera eta zabalera), eta habearen pisuak eragiten dion makurdura arbuiagarria dela.

• Habearen sekzioa (laukizuzena) ez dela ezer aldatzen makurtuta dagoenean. Izan ere, habearen lodiera txikia bada kurbadura-erradioaren aldean, zeharkako sekzioa oso gutxi aldatzen da.

Baldintza horietan, Euler-Bernouilli teoriaren ekuazioa erabil daiteke, alegia, habe deformatuaren kurbadura-erradioa (ρ) eta makurdura eragiten ari den indarraren momentua (M) honela erlazionatzen dira:

Y materialaren Young-en modulua da, eta I zeharkako sekzioaren bigarren inertzia-momentua lerro neutroarekiko.

Orokorrean, kurbadura erradioa: ρ=ds/dφ

Mutur askean aplikatzen ari garen F indarraren momentua P(x, y) puntu batekiko: M=F(x_f −x).

Ekuazio hori deribatzen badugu s-rekiko, eta kontutan izanda cosφ=dx/ds, orduan:

Ekuazio diferentzial horren soluzioa, φ(s), lortzeko integratu behar da, honako mugalde-baldintzekin:

Ekuazio diferentzial horren soluzio bat lortzen da ekuazioa bidertzen bada bider dφ/ds:

Integrazio-konstantea kalkulatzen da mugalde-baldintzak ezarrita:

Habearen L luzera osoak eta habearen puntu baten koordenatuek (x,y) honako baldintza betetzen dute:

Ezagutzen badira, aplikatutako F indarra eta habearen L luzera, lehen ekuazioa ebazten da eta hortik kalkulatzen da φ₀, habearekiko zuzen tangenteak habearen mutur askean osatzen duen angelua X ardatzarekiko (alde negatiboarekiko).

φ₀ angelu hori kalkulatu ondoren, x koordenatua kalkula daiteke φ angeluari balioak ematen (0, φ₀) tartean, bere integrala ebatzita dagoelako.

y koordenatua kalkulatzea konplikatuagoa da, φ angeluaren balio konkretu bakoitzerako integral mugatu bat kalkulatu behar delako (0, φ) tartean, eta horretarako prozedura numerikoak erabili behar dira.

Kalkulu numerikoa

Aurreko ekuazioak honela adieraz daitezke:

Hemen α parametro adimentsional bat da eta beste zenbait parametro biltzen ditu: habearen neurri geometrikoak, habearen materiala eta mutur askean aplikaturiko indarra.

Nola kalkulatu φ₀

Ezagutzen badira, aplikatutako F indarra eta habearen L luzera, lehen ekuazioa ebazten da eta hortik kalkulatzen da φ₀, alegia, habearekiko zuzen tangenteak habearen mutur askean osatzen duen angelua X ardatzarekiko (alde negatiboarekiko) irudiak erakusten duen bezala:

1.      Honako integrala kalkulatzea:

2.     Ondoko ekuazio honen erroa kalkulatzea:

f(φ₀)=0

Integrala berridatz daiteke, lehen espezieko bi integral eliptiko gisa eta aldagaiak aldatu. Lehen aldagai-aldaketa hau da: θ=φ+π/2

Bigarren aldagai-aldaketa hau da:

Eta azkenik, honako ekuazioaren erroa kalkulatu behar da:

Orri honen amaieran programa interaktibo bat dago, lehen espezieko integral eliptiko biak kalkulatzen dituena, E(k, π/2) eta E(k, f₀),  Carlson-en prozedurarekin. Ikus bedi Numerical Recipes in C, Special functions. 6º kapitulua.

Ondoren, f(φ₀)=0 ekuazioaren erroa kalkulatzen da erdiko puntuaren prozeduraren bitartez.

Habe makurtuaren ekuazioa nola kalkulatzen den

Habearen puntu batek (x, y) koordenatuak ditu. Gure kalkuluan ordea, kalkulatuko dugu: (x/L, y/L).  x/L kalkulatzea ez da zaila: φ₀ ezagutzen bada, x/L kalkula daiteke φ angelu guztietarako (0,  φ₀) tartean. Mutur askearen x_f  posizioa honela kalkulatzen da:

y/L kalkulatzea konplikatuagoa da: φ₀ ezagutzen bada, y/L kalkulatzeko φ angelu guztietarako (0,  φ₀) tartean, honako integral mugatua kalkulatu behar da:

Integral hori kalkulatzeko prozedura numerikoak behar dira, esaterako, Simpson-en prozedura.

Baina integral horrek beste arazo bat du. Baldin φ→φ₀ orduan integraleko izendatzaileak zerorantz jotzen du, eta ordenagailuak ez du ondo kalkulatzen mutur askearen y_f/L koordenatua φ=φ₀ denean. Arazo hori konpontzeko irudian erakusten den interpolazio-prozedura erabil daiteke:

• Kalkulatzen dira (x/L, y/L) koordenatuak baina muturretik oso hurbil dagoen angelu baterako: φ=φ₀−Δφ , eta Δφ angelua txikia da.
• Kalkula dezagun φ₀ angelurako abszisa: x_f/L.

Orduan, mutur askearen ordenatua, y_f/L, kalkulatzen da irudiko hiruki zuzena ebatziz:

Makurtze txikien hurbilketa

Habearen makurtzea txikia bada, φ₀ angelua txikia izango da. Orduan ordezka daiteke sinφ≈φ  eta, φ₀ kalkulatzeko erabiltzen den ekuazioa, errazago berridatz daiteke:

Emaitza hau da: φ₀=α

Orduan habearen puntuen (x, y) koordenatuak honela idatz daitezke. Lehenik abszisa:

Habearen abszisan ordezkatzen badugu φ=φ₀ =α  (mutur askearena) lortzen den emaitza hau da x_f=L.  horrek esan nahi du, makurtze txikien hurbilketan, mutur askeak ez duela desplazamendu horizontalik.

Eta y ordenatua honela idatz daiteke:

Integral hori zatika burutu daiteke eta, zenbait sinplifikazio egin ondoren, honako adierazpena lortzen da:

Habearen x eta y koordenatuak kalkulatu ditugu φ parametroaren menpe, baina parametro hori eliminatzen bada y=f(x) adierazpena lor daiteke, hau da, habearen formaren ekuazio esplizitua bere mutur askean F indar bertikala aplikatzen denean:

Habearen mutur askea: φ=φ₀=α. Orduan x=L eta

Makurtze txikien hurbilketa noiz arte den baliozkoa

Grafikoak erakusten du habearen mutur askearen y/L makurtze bertikala, α parametro adimentsionalaren menpe.

• Gorriz, prozedura numerikoen kalkuluaren emaitza, aurreko atalean erakutsi den bezala.
• Urdinez, makurtze txikien hurbilketaz lortutako emaitza: y/L=2α/3 (zuzena).

Grafikoan bertan ikusten denez, makurtze txikien hurbilketaz lortutako emaitza baliagarria da neurri baten barruan, edo a parametroaren balio mugatzaile bateraino (α_m=0.375 hartzen da), edo bestela idatzita, F indarrak ez badu gainditzen honako balioa:

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Indarra izeneko desplazamendu-barran α parametro adimentsionala aukeratu behar da.

Kalkulatu botoia sakatu.

Programak kalkulatzen du, eta irudikatu, habe makurtu bat, L=1 m-koa, eta bere mutur askean aplikatzen ari den F indarra. Idatziz erakusten dira, ardatz koordenatuetan, mutur askearen (x_f, y_f)  koordenatuak eta φ₀ inklinazioa, alegia, habearen tangenteak mutur askean horizontalarekiko osatzen duen angelua.

Adibidea:

Har dezagun altzairuzko habe bat (Young-en modulua Y=2.06·10¹¹ N/m²), L=30 cm eta sekzio laukizuzena: a=3.04 cm eta b=0.078 cm.

Bigarren inertzia-momentua hau da:

Eta habe horren mutur askean indar bat bertikalki aplikatzen bada, eta indar horrek eragiten duen parametroa bada α=0.25, hau da,

Programak kalkulatzen du mutur askearen posizioa x_f /L=0.98 eta y_f /L=0.16, alegia x_f=29 cm, eta y_f=4.8 cm.

Aplika dezagun makurtze txikien hurbilketa:

Makurtze txikien hurbilketan ez dago desplazamendurik norabide horizontalean: x_f≈L=30cm, eta norabide bertikaleko y_f  desplazamendua aplikatutako F indarrarekiko linealki proportzionala da. Hurbilketak, kasu honetan, norabide horizontaleko desplazamenduan %3-ko errore txikia du eta norabide bertikalean %4.

Mutur askean aplikatzen den indarra askoz handiagoa bada, esaterako α=1.25, hau da:

Programak kalkulatzen du mutur askearen posizioa x_f/L=0.79 eta y_f/L=0.56, alegia x_f=24 cm eta y_f=17 cm.

Aplika dezagun oraingoan ere makurtze txikien hurbilketa:

Norabide horizontaleko x_f desplazamendua ez da arbuiagarria eta norabide bertikaleko y_f  desplazamendua ere ez da F indarrarekiko linealki proportzionala. Hurbilketak, kasu honetan, norabide horizontaleko desplazamenduan %21-ko errorea du eta norabide bertikalean %47.

Ariketa gisa, egin bitez hiru grafiko. Ardatz horizontalean beti α parametro adimentsionala, eta ardatz bertikalean hiru aukera:

1.  φ₀ angelua, alegia, mutur askean habearen tangenteak horizontalarekiko osatzen duen angelua.

2.  Mutur askearen desplazamendu horizontala: δ_x=1.0−x_f

3.  Mutur askearen desplazamendu bertikala: δ_y= y_f