Solido zurruna

Estatika.
Elastikotasuna

Indar baten momentua

Elastikotasun-modulua
nola neurtu

Habe bat makurtzea
(flexatzea)

Habe bat gilbortzea

Ebakidura-modulua
nola neurtu

Katenaria

Kalkulu numerikoa

Saiakuntza

Erreferentziak

Demagun habe bat, bertikalki kokatuta dagoena eta azpiko muturretik finkatuta. Habearen luzera L da eta bere goiko muturrean F indarra aplikatzen zaio, bertikalki eta beherantz, alboko irudiak erakusten duen bezala. Orri honetan habearen forma kalkulatuko da eta bere mutur askearen posizioaren (xf, yf) koordenatuak. Eraikuntzan, horrela deformatzeari gilbortzea edo sabeltzea deritzo, eta gilbordurak neurtu egiten dira.

Ariketa hau aurreko orrikoaren antzekoa da, baina badauka diferentzia nabarmen bat; F indarrak ez badu gainditzen balio kritiko bat (dei diezaiogun F₀) habea ez da oreka-posiziotik desbideratzen, alegia zuzen eta bertikal mantentzen da.

Deskribapena

Oinarrizko baldintza batzuk mantenduko ditugu:

• Habea osatzen duen materiala elastikoa da, lineala, homogeneoa eta isotropoa, eta Hooke-ren legea betetzen du, alegia, tentsioa eta deformazioa linealki erlazionatuta daude.

• Habearen L luzera oso handia da gainontzeko neurrien aldean, (zabalera eta lodiera) eta bere pisuak eragiten duen deformazioa arbuiagarria da.

Baldintza horietan, Euler-Bernouilli teoriaren ekuazioa erabil daiteke, alegia, habe deformatuaren kurbadura-erradioa (ρ) eta gilbordura eragiten ari den indarraren momentua (M) honela erlazionatzen dira:

Y materialaren Young-en modulua da, eta I zeharkako sekzioaren bigarren inertzia-momentua lerro neutroarekiko.

Orokorrean, kurbadura-erradioa honela adieraz daiteke: ρ=ds/dφ. Beraz:

F indarraren momentua kalkulatzen badugu habearen edozein P(x,y) punturekiko, M=F(xf−x)

Ekuazio horretan x elimina daiteke kontutan hartzen bada sinφ=dx/ds. Ekuazio osoa s-rekiko deribatzen bada eta gero ordezkatu:

Ekuazio diferentzial hori pendulu sinplearen ekuazioaren antzeko da; soluzioa, φ(s), kalkula daiteke ekuazio hori bi aldiz integratuz, baina mugalde-baldintzak ezarri behar dira: habea jatorritik pasatzen da (s=0 j=0) eta mutur askean momentua nulua da, beraz, dφ/ds=0.

Habearen mutur askean x=x_f edo s=L, eta M momentua nulua da.

Mugalde-baldintza horiek bi puntu ezberdinetan ebaluatzen dira s=0 eta s=L. Esaterako, pendulu bat askatzen denean pausagunetik eta oreka-posiziotik kanpo, alegia θ₀ posizio batean, hasierako baldintzak honakoak izaten dira: t=0, θ=θ₀, dθ/dt=0. Baina baldintza biak aldiune berean ebaluatu dira.

Ondorengo taulak erakusten du zein antzekotasun dagoen habe baten gilbortzearen eta pendulu sinple baten mugimenduaren artean:

Ekuazio diferentzialaren soluzioa lortzeko, lehenik biderka dezagun ekuazio osoa bider dφ/ds.

Integrazioaren konstantea kalkulatzen da mugalde-baldintzetatik: φ(L)= φ₀, eta hemen φ₀ da habeak mutur askean duen malda, eta gainera s=L posizioan dφ/ds=0.

Habearen L luzerak ondorengo lehen baldintza hau bete behar du. Gero kalkula daitezke habearen puntu guztien posizioaren x eta y koordenatuak:

Ezagutzen badira, mutur askean aplikatzen ari den F indarra eta habearen L luzera, orduan lehen ekuazioa ebatz daiteke eta horrek ematen du φ₀, alegia, habearen tangenteak norabide bertikalarekiko osatzen duen angelua.

Gero, φ₀ angelua ezagututa, habearen puntuen x koordenatua kalkula daiteke φ angeluari balioak ematen (0, φ₀) tartean, bere integrala ebatzita dagoelako.

y koordenatua kalkulatzea ordea, konplikatuagoa da, φ angeluaren balio konkretu bakoitzerako integral mugatu bat kalkulatu behar delako (0, φ) tartean, eta horretarako prozedura numerikoak erabili behar dira.

Kalkulu numerikoa

Lehengo adierazpenak bestela ere berridatz daitezke:

Hemen α parametro adimentsional bat da eta beste zenbait parametro biltzen ditu: habearen neurri geometrikoak, habearen materiala eta mutur askean aplikaturiko indarra.

Nola kalkulatu φ₀

Lehen ekuazioak ematen du φ₀, alegia, habearen tangenteak norabide bertikalarekiko osatzen duen angelua mutur askean, irudiak erakusten duen bezala:

Ekuazio horrek urrats bi  behar ditu:

1.      Lehenik, integrala kalkulatzea:

2.      Eta ondoren, ondoko ekuazioaren erroa kalkulatzea:

f(φ₀)=0

Integrala berridatz daiteke lehen espezieko integral eliptiko gisa:

Ondoren, aldagaia alda daiteke:

Orri honen amaieran dagoen programa interaktiboak lehen espezieko integral eliptiko hori kalkulatzen du, E(k, π/2) , Carlson-en prozedura numerikoaz. Ikus bedi Numerical Recipes in C, Special functions. Seigarren kapitulua.

Ondoren, f(φ₀)=0 ekuazioaren erroa kalkula daiteke erdiko puntuaren prozeduraz:

Pendulu sinplearen kasuan, hasierako anplitudea ezagututa, θ₀, periodoa kalkulatzeko, P/P₀ , integral eliptiko bera ebazten da, E(k, π/2), bai prozedura numerikoez zein tauletan begiratuta (lehen espezieko integral eliptikoak: Puig Adam P., Cálculo Integral. Editorial Biblioteca Matemática 1972, 72 orr.).

Kasu honetan ordea, α parametro adimentsionala ezagututa (habearen neurriak eta beste konstanteak biltzen dituena), φ₀ angelua kalkulatzeko ebatzi behar da integral hori, alegia, habearen tangenteak norabide bertikalarekiko osatzen duen angelua mutur askean, eta gero f(φ₀)=0 ekuazioaren erroa kalkulatu erdiko puntuaren prozeduraz.

Habe makurtuaren ekuazioa nola kalkulatzen den

Habearen puntu batek honako koordenatuak ditu (x, y). Gure kalkuluan ordea, kalkulatuko dugu: (x/L, y/L).  x/L kalkulatzea ez da zaila: ezagutzen bada φ₀ , x/L kalkula daiteke φ angelu guztietarako (0,  φ₀) tartean. Mutur askearen x_f  posizioa honela kalkulatzen da:

y/L kalkulatzea konplikatuagoa da: ezagutzen bada φ₀,  y/L kalkulatzeko φ angelu guztietarako (0,  φ₀) tartean, honako integral mugatua kalkulatu behar da:

Integral hori kalkulatzeko prozedura numerikoak behar dira, esaterako, Simpson-en prozedura.

Baina integral horrek beste arazo bat du. Baldin φ→φ₀ orduan integraleko izendatzaileak zerorantz jotzen du, eta ordenagailuak ez du ondo kalkulatzen mutur askearen y_f/L koordenatua φ=φ₀ denean. Arazo hori konpontzeko irudian erakusten den interpolazio-prozedura erabil daiteke:

• Kalkulatzen dira (x/L, y/L) koordenatuak baina muturretik oso hurbil dagoen angelu baterako: φ=φ₀−Δφ , eta Δφ angelua txikia da.
• Kalkula dezagun φ₀ angelurako abszisa: x_f/L.

Orduan, mutur askearen ordenatua, y_f/L, kalkulatzen da irudiko hiruki zuzena ebatziz:

Gilbortze txikien hurbilketa

Habea gutxi gilbortzen bada, φ eta φ₀ angeluak txikiak izango dira. Orduan ordezka daiteke:

Ordezka dezagun hurbilketa hori mutur askearen φ₀ angelua kalkulatzeko erabiltzen den ekuazioan:

Eta honela berridazten da:

Integral hori berehala ebazten da honako aldagai aldaketa eginez: φ=φ₀·sint. Eta emaitza a₀=p²/8

Harritzekoa da baina emaitza horretan φ₀ angelua desagertu egin da. Horrek esan nahi du φ₀  angelua ez dela aldatzen F indarraren eraginez, gilbortzea txikia denean.

Azter dezagun habe elastikoaren gilbortzea a parametro adimentsionalaren menpe:

F/F₀≤1 denean, habea ez da gilbortzen, zuzen eta bertikal irauten du.

F/F₀>1 denean, habeak etsi egiten du eta gilbortzen da. Mutur askearen desbideratzea:

• horizontalki x_f,

• bertikalki L-y_f , hasierako posiziotik.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Indarra izeneko desplazamendu-barran, F/F₀≥1 zatidura.

Kalkulatu botoia sakatu.

Programak kalkulatzen du, eta irudikatu, habe gilbortu bat, L=1 m-koa, eta bere mutur askean aplikatzen ari den F indarra. Gainera, idatziz erakusten dira, ardatz koordenatuetan, mutur askearen (x_f, y_f)  koordenatuak eta φ₀ inklinazioa, alegia, habearen tangenteak mutur askean norabide bertikalarekiko osatzen duen angelua.

Ariketa gisa, egin bitez hiru grafiko. Ardatz horizontalean beti F/F₀ erlazioa, eta ardatz bertikalean hiru aukera:

1. φ₀ angelua, alegia, mutur askean habearen tangenteak bertikalarekiko osatzen duen angelua.

2. Mutur askearen desplazamendu horizontala: δ_x=x_f

3. Mutur askearen desplazamendu bertikala: δ_y= 1.0−y_f 

Adibidea:

Har dezagun altzairuzko habe bat (Young-en modulua Y=2.06·10¹¹ N/m²), L=30 cm eta sekzio laukizuzena: a=3.04 cm eta b=0.078 cm.

Bigarren inertzia-momentua hau da:

Eta indar kritikoa: F₀=6.79 N.

Mutur askean aplikatzen bada, esaterako, honelako indarra: F/F₀=1.5, hau da, F=10.18 N, orduan mutur askearen posizioa hau ateratzen da: x_f/L=0.79 eta y_f/L=0.36, alegia, x_f=23.7 cm, eta y_f=10.8 cm lurretik neurtuta.