Dinamika

Lana eta energia

Lana eta energia

Pendulu sinplea

Malguki elastikoa (I)

Malguki elastikoa (II)

Malguki elastikoa (III)

Partikula bat, goma 
baten muturrean

Lana eta energia
(pista kiribila)

Pendulu konikoa

Oreka eta
egonkortasuna (I)

Oreka eta
egonkortasuna (II)

Oreka eta
egonkortasuna (III)

Oreka eta
egonkortasuna (IV)

Zikloide baten
gainetik irristatzen (I)

Esferaerdi baten
gainetik irristatzen

Esferaerdi baten
barrutik irristatzen

Eskiatzaile bi lehian

Zikloide baten
gainetik irristatzen (II)

Parabola baten
gainetik irristatzen

Marruskadura-indarrak egindako lana

Adibidea

Saiakuntza

Kurbadura-erradioa

Erreferentzia

Orri honetan partikula baten higidura aztertuko da, parabola baten barrutik irristatzen duenean. Parabolak erpina koordenatuen jatorrian du eta bertikala da (y=ax2/2), partikula x0 posiziotik abiatzen da, pausagunetik, eta maldan behera irristatzen du, irudiak erakusten duen bezala.

Higiduraren ekuazioak

Partikulak jasaten dituen indarrak hiru dira:

• Pisua, mg

• Gainazalaren erreakzioa, N

• Marruskadura-indarra, F_r=μN, eta μ marruskadura-koefizientea da.

Partikula x posizioan dagoenean, t aldiunean, bere v abiadura bektoreak X ardatzarekin θ angelua osatzen du (ibilbidearen tangentea da), izan ere, parabolaren malda.

Eskumarantz mugitzen

Partikula pausagunetik abiatzen da, x0 posiziotik, eta eskumarantz mugituko da pisuaren osagai tangentea marruskadura indarra baino handiagoa bada: mgsin|θ0|≥μsmgcosθ0     tan|θ0|≥μs  Hemen μs=μ hartu da, marruskadura estatikoaren koefizientea.

Indarrak deskonposatuz higiduraren ekuazioak idatziko ditugu X eta Y ardatzen norabideetan:

Erlaziona ditzagun x eta y eta euren deribatuak t denborarekiko.

Higidura-ekuazio bietatik N eliminatzen bada, bigarren graduko ekuazio diferentziala geratzen da:

      (1)

Ekuazio diferentzial hori prozedura numerikoez ebatzi behar da, baina hasierako baldintzak ezarri behar zaizkio: t=0, x=x₀, v_x=dx/dt=0.

Gelditze posizioa

Partikula eskuinerantz mugitzen da, baina une batean abiadura motelduz doa eta gelditu egiten da, x₁  posizioan. Posizio hori kalkulatzeko alda dezagun bigarren graduko ekuazio diferentziala (x-ren menpekoa) lehen ordenako batean (v_x-en menpekoa):

Integra dezagun ekuazioa honako muturren artean: x₀ edo θ₀, abiadura nulua den tokia (v=0), eta  x edo θ , abiadurak edozein balio duen tokia: v_x.

               (2)

Baina gelditze-posizioan, θ=θ₁, abiadura nulua da. Aurreko ekuazioan ordezkatu v_x=0 eta ekuazio transzendentea geratzen da:

               (3)

Ekuazio horren soluzioa lortu ondoren, θ₁, posizioa kalkulatzen da, x₁, honako erlazioaz: tanθ₁= a·x₁

Ezkerrerantz mugitzen

Partikula x1 posiziora ezkerretik iristen denean gelditu egiten da, eta ondoren berriro ezkerrerantz mugituko da, irristatzearen baldintza betetzen bada, alegia pisuaren osagai tangentea marruskadura indarra baino handiagoa bada: mgsinθ1≥μmgcosθ1     tan θ1≥μ

Oraingoan, marruskadura indarrak eskuinerantz bultzatzen du, eta beraz higiduraren ekuazioak honela aldatzen dira:

Higidura-ekuazio bietatik N eliminatzen bada, bigarren graduko ekuazio diferentziala geratzen da:

Lehen lortutako ekuazio bera da (1), baina μ-ren ordez -μ aldatu da.

Partikula x₁ posiziotik abiatzen da, ezkerrerantz desplazatzen da eta berriz ere geldituko da, x₂ posizio batean. Posizio hori kalkulatzeko (3) ekuazio transzendentea ebatzi behar da, baina μ→-μ aldaketa eginez.

Ekuazio horren soluzioa lortu ondoren, θ₂, posizioa kalkulatzen da, x₂, honako erlazioaz: tanθ₂= a·x₂

Eta horrela behin eta berriz guztiz gelditzen den arte, alegia irristatzearen baldintza betetzen ez den arte: tan|θ_n|<μ

Marruskadura indarrak egindako lana

Marruskadura indarra: Fr=μN dr desplazamendu bektorea da, eta bere modulua ds da.

Gainazalaren N erreakzioa kalkula dezagun:

Norabide erradialeko higiduraren ekuazioa: hemen, ρ kurbadura erradioa da, eta C kurbadura zentroa.

Kalkulu diferentzial eta integraleko liburuetan, geometria diferentzialeko atalean azaltzen du, y=f(x) funtzio baten kurbadura erradioa x puntu batean honako adierazpenaz kalkulatzen dela:

Eta orri honetako parabolaren kasuan:

baina partikularen abiaduraren x osagaia ezaguna da: (2)

Beraz, gainazalaren N erreakzioa:

Kalkula dezagun lana: W

Energiaren balantzea

Marruskadura indarrak egindako lana kalkulatzeko, zuzeneko kalkulua erabili beharrean, zeharkako kalkulua erabil daiteke, alegia partikularen amaierako energia (x posizioan dagoenean) ken hasierako energia (x₀  posizioan dagoenean).

Adieraz ditzagun y eta v aldagaiak θ angeluaren menpe, alegia parabolaren maldarekiko.

Baina partikularen abiaduraren x osagaia ezaguna da (2):

Zenbait operazio burutu ondoren, lehengo adierazpen bera lortzen da:

Adibidea

• Demagun honako parabola: y=x², (hemen a=2.0 hartu da).

• Marruskadura koefizientea: μ=0.1

• Eta partikularen hasierako posizioa: x₀= -2.0.

1. Kalkula bedi partikularen abiadura parabolaren puntu baxuenetik pasatzen denean: x=0.0

Hasierako posizioan, x₀= -2.0, parabolaren malda kalkulatu behar da:

tanθ₀=ax₀, θ₀= -1.32 rad

Eta amaierako posizioan, x=0.0, parabolaren malda θ=0.0 rad. da.

Ondoren, abiaduraren X osagaia kalkulatzen da (v_x) eta segidan abiaduraren modulua (v):

2. Kalkula bitez partikularen geldiuneak, alegia zein posiziotan geldituko den:

Gelditze posizioak lortzeko honako ekuazio transzendentea ebatzi behar da:

Eta lehen geldiune horretan irristatzearen baldintza betetzen denez, tanθ₁>μ, partikulak, gelditu ondoren, ezkerrerantz irristatuko du. Bigarren gelditze-posizioa kalkulatzeko berriro ebatzi behar da ekuazio transzendentea, baina marruskaduraren noranzko-aldaketa eginda: μ→-μ

Bigarren geldiunean ere irristatzearen baldintza betetzen da, tan|θ₂|>μ beraz geldiunearen ondoren eskumarantz irristatuko du.

eta horrela errepikatzen da behin eta berriz irristatzearen baldintza betetzen ez den arte:  tan|θ_n|<0.1

3. Egin dezagun energiaren balantzea hasierako eta amaierako posizioen artean: x₀= -2.0 eta x=0.

Partikularen hasierako energia (x₀= -2.0 posizioan)

Eta amaierako energia (x=0 posizioan).

Marruskadura-indarrak egindako lana:

Egiaztatzen da: W=E-E₀

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Marruskadura koefizientea, saguaz desplazamendu barrari eragiten edo laukian idatziz.

• Parabolaren zabalera finkatzen duen a parametroa, saguaz desplazamendu barrari eragiten edo laukian idatziz.

Berria botoia sakatu.

• Partikularen hasierako posizioa aukeratzeko, mugi bedi X ardatzaren azpian dagoen gezi gorria saguarekin.

Hasi botoia sakatu.

Partikula mugitzen ikusten da, ezkerretik eskumara irristatzen eta alderantziz. Geldiuneak X ardatzaren gainean adierazten dira marratxo gorriez.

Energiaren balantzea ere adierazten da, tarta-itxurako diagrama batean.

Kurbadura erradioa

Hizkuntza arruntean esan ohi da, errepidearen zati batek beste batek baino kurbadura handiagoa duela, norabide aldaketa handiagoa badu (Δθ) ibilitako distantzia berean (Δs). Ikus bitez ezkerreko irudiak.

Kurba baten kurbadura erradioa, ρ, batezbestekoa eta aldiunekoa, honela definitzen dira:

Kurbadura erradioa, ρ, eta kurbadura zentroa, C, honela kalkulatzen dira: hasteko, kurbaren puntu bat aukeratu, tangentea irudikatu eta ondoren normala. Alboko puntu batean, aurreko puntutik hurbil, berriro irudikatu tangentea eta normala. Normalak luzatuz, puntu batean ebakitzen dira. Puntu hori kurbadura zentroa da, C, eta zentrotik kurbako bi puntuetaraino dagoen distantzia, kurbadura erradioa, ρ. Suposatzen da kurbaren gainean hartutako bi puntuak infinituki hurbil daudela.

Normal bien artean osatutako angelua dθ bada, orduan tangente bien artean osatutakoa ere dθ da. Puntu bien arteko arkuaren luzera hau da: ds=ρ·dθ.

Demagun funtzio bat, y=f(x), kurba bat adierazten duena. Kalkula dezagun ρ kurbadura erradioa kurba horren edozein x posiziotan.

Irudiko kurban hiruki bat osatzen da: dx oinarria, dy altuera eta ds hipotenusa. Hiruki zuzena da, beraz:

Kurbadura erradioaren formula hau da:

Kurbadura erradioa beti da zenbaki positiboa.

Erreferentzia

Puig Adam P. Cálculo Integral Aplicado a la Física y Técnica. Biblioteca Matemática, 1972, orriak: 286-287

Erreferentzia

Lapidus I R. Motion of a harmonic oscillator with variable sliding friction. Am. J. Phys. 52 (11) November 1984, pp. 1015-1016