Solido zurruna

Estatika.
Elastikotasuna

Indar baten momentua

Elastikotasun-modulua
nola neurtu

Habe bat makurtzea
(flexatzea)

Habe bat gilbortzea

Ebakidura-modulua
nola neurtu

Katenaria

Katenaria simetrikoaren formulazio jarraitua

Erreferentziak

Erdiko puntuaren prozedura

Kate bat, edo kable bat, bere bi muturretatik eskegita dagoenean, zein kurba osatzen du? Oso sarritan ikusten dira, esaterako, konpainia elektrikoek tentsio altuko korrontea garraiatzeko erabiltzen dituzten kableak, edo telefono konpainienak, edo trenbideetakoak...

Orri honetan jorratuko dugunez, horrelako kurbari "katenaria" deritzo, latinezko "katena"-gatik eta, izatez, zikloidea da, oso kurba-mota interesgarria Fisikaren eta Matematikaren hainbat ataletan. Hasieran katenaria parabolarekin nahasi zen baina azkenean, Bernouilli anaiek, alde batetik, eta Leibniz-ek eta Huygens-ek, bestetik, aldi berean deskribatu eta identifikatu zuten katenaria zikloide gisa.

Formulazio diskretua

Har dezagun kate bat bolatxo metalikoz osatuta, konketako tapoia lotzen duena bezalakoa. Demagun kateak N bolatxo dituela L luzeradun hari batean sartuta, denak homogeneoki sakabanatuta eta hariaren masa arbuiagarria dela bolatxoen m masaren aldean.

Bolatxo bakoitzak hiru indar jasaten ditu: pisua (mg), ezkerreko hariak egiten dion indarra (T_i) eta eskumako hariak egiten diona (T_i+1)

i-garren bolatxoaren oreka-baldintza honela adieraz daiteke:

Ikusten denez, hariaren T tentsioaren osagai horizontal guztiak berdinak dira. Dei diezaiogun T_x.

T_x=Tcosq₀= Tcosq_i= Tcosq_i+1 =Tcosq_N+1

Bigarren ekuazioa zatitzen badugu zati lehenengoa (T_x), orduan erlazio bat lortzen da q _i angeluaren eta q _i+1 angeluaren artean:

Ekuazio horretako azken terminoa, bolatxoaren pisua (mg) zati tentsioaren osagai horizontala (T_x), konstantea da. Dei diezaiogun g. Parametro horrek adierazten du katea oso tentsu dagoen edo nasai: g handia bada katea nasai dago eta aldiz, g txikia bada tentsio handia du.

Eta bolatxo guztien ezker-eskuineko angeluek honako erlazioa betetzen dute (i=1... N.):

tanq₁=tanq₀-g
tanq₂=tanq₁-g
tanq₃=tanq₂-g
...............
tanq_i=tanq_i-1-g
.............
tanq_N-1=tanq_N-2-g
tanq_N=tanq_N-1-g

Ekuazio guzti horiek gehituz, angelu guztiak sinplifikatzen dira, lehena eta azkena izan ezik (q₀ eta q_N), eta hauxe ematen du:

tanq_N=tanq₀ -Ng

Katearen mutur biak altuera berean badaude, simetriagatik, angelu bi horiek berdinak izango dira:

tanq₀= -tanq_N

hortaz:

tanq₀=Ng /2

Bolatxoen ezker-eskuineko ekuazioak berriro gehitzen baditugu, baina bakarrik i-garren bolatxoraino, erlazio bat lortzen da i-garren q_i angeluaren eta lehen q₀ angeluaren artean:

tanq_i=tanq₀-g i=(N-2i)·g /2

Beraz, hariak horizontalarekin osatzen duen q_i angelua i-garren bolatxoan, eta lehenengo bolatxoan (q₀), eta azken bolatxoan (q_N), denak adieraz daitezke modu berean:

Orduan, bolatxo bakoitzaren posizioa lortzeko, i-garren bolatxoarena (x_i, y_i), aurreko bolatxo guztien proiekzioak gehi daitezke, bai X ardatzean zein Y ardatzean. Demagun bolatxo kontsekutibo biren artean haria zuzena dela, eta bolatxo kontsekutibo biren arteko distantzia d dela: d=L/(N+1).

Saiakuntza

Kateak L luzera du eta N bolatxo, denak homogeneoki banatuta, eta aukeran idatz daiteke:

• Bolatxo kopurua, 3-tik 20-eraino, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.
• g Parametroa, alegia, bolatxoaren pisua (mg) zati tentsioaren osagai horizontala (T_x ): 0.5-etik 2.0-raino, desplazamendu-barrari saguaz eragiten. Parametro honek katearen tentsioa adierazten du.

Datuok aukeratu ondoren, Irudia botoia sakatu.

Katenaria simetrikoaren formulazio jarraitua

Demagun soka bat, L luzeraduna, bi muturretatik lotuta dagoena eta bi muturrak altuera berean daudela. Mutur bien arteko distantzia horizontala a da (a<L) eta izan bedi sokaren dentsitate lineala r  (luzera unitateko masa).

Dei diezaiogun A sokaren punturik baxuenari. Irudiak erakusten du sokaren zati bat (gorria), s luzeraduna eta ezkerreko muturra justu A-n duena. Hona hemen sokaren zati horrek jasaten dituen indarrak:

• Pisua, r gs.
• Ezkerreko aldeak zati horri egiten dion indarra, justu A puntuan (T₀).
• Eskumako aldeak zati horri egiten dion indarra, eskumako muturrean (T).

Oreka-baldintza honela adieraz daiteke:

Tcosq =T₀
Tsinq =r gs

Edota:

Ekuazio hori deribatzen bada, x-rekiko, eta kontutan hartzen bada arku diferentzial baten luzera hau dela: ds²=dx²+dy²

                  (1)

Ekuazio hori integratuz, eta honako mugalde baldintzak ezarriz: Punturik baxuenean, A-n: x=a/2 eta dy/dx=0.

Berriz ere integratzen bada, eta mugalde baldintzak ezarriz: x=a/2, y= -h.

Baina katenaria simetrikoa da, eta beraz, x=a, y=0, orduan h ezaguna da:

Azkenik, katenariaren ekuazio osoa hau da:

                    (2)

Eta katenariaren luzera:

                      (3)

Ondorengo irudiak erakusten ditu orri honetako applet biek sortutako irudiak. Gorriz, formulazio diskretuarena eta urdinez, formulazio jarraituarena. Ikusten denez, g  handia denean (tentsio txikia) bi ereduek antzeko emaitzak ematen dituzte, eta aldiz, g txikia denean (tentsio handia) emaitza ezberdinagoak ematen dituzte. Gogoan izan, g  parametroa dela, bolatxo bakoitzaren pisua zati sokaren tentsioaren osagai horizontala: g=mg/T_x.

Adibidea

Irudiak erakusten du katenaria simetriko bat. Sokaren luzera L, zabalera a eta altuera h. Euskarrien arteko distantzia horizontal libreari, eraikuntzan, "argia" deritzo, eta deformazio maximoaren altuerari, eraikuntzan, "gezia" deritzo. Katenaria irudikatzeko hiru urrats jarraitu behar dira:

1. Lehenik (3) ekuazio transzendentea ebatzi behar da, g  kalkulatzeko:

2. Orduan katenariaren ekuazioa ezaguna da:

3. Eta katenariaren minimoa kalkula daiteke: h

Demagun sokaren luzera, L=1.0 eta euskarrien zabalera, a=0.5:

Ekuazio transzendentea edozein prozedura numerikoz ebatz daiteke. Emaitza: g =4.354,

Ondoren kalkulatzen da minimoa: h=0.4.

Esaterako euskarrien zabalera aldatuz: a=0.8, lortzen dira: g =1.478, eta h=0.27.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

Sokaren muturren arteko a distantzia, Posizioa izeneko desplazamendu-barrari eragiten.

Irudia botoia sakatuz, programak:

• γ parametroa kalkulatzeko, ekuazio transzendentea ebazten du, erdiko puntuaren prozeduraz.
• katenaria simetrikoa osorik irudikatzen du.
• h altuera kalkulatzen du, eta idatziz ematen du.

public class Ecuacion {
	static final double CERO=1e-10;
	static final double ERROR=0.001;
	static final int MAXITER=200;
	static double pos=0.5;   //la "luz" a, cambiar este valor

public static void main(String[] args) {
	double gamma=puntoMedio(0.1, 100.0);
	System.out.println(pos+" "+gamma);
}

static double puntoMedio(double a, double b) {
	double m, ym;
	int iter=0;
	do{
		m=(a+b)/2;
		ym=f(m);
		if(Math.abs(ym)<CERO) break;
		if(Math.abs((a-b)/m)<ERROR) break;

		if((f(a)*ym)<0) b=m;
		else a=m;
		iter++;
	}while(iter<MAXITER);
	if(iter==MAXITER){
		System.out.println("No se ha encontrado la raíz");
	}
	return m;
}

static double f(double x){
	return(senh(pos*x)-x); //la longitud de la cadena es 1.0
}

static double senh(double x){   //seno hiperbólico
	return((Math.exp(x)-Math.exp(-x))/2);
}
}