Dinámica |
Trabajo y energía Trabajo y energía El péndulo simple El muelle elástico (I) El muelle elástico (II) El muelle elástico (III) Partícula unida a una goma Trabajo y energía (el bucle) El péndulo cónico Equilibrio y estabilidad (I) Equilibrio y estabilidad (II) Equilibrio y estabilidad (III) Equilibrio y estabilidad (IV)
Movimiento sobre cúpula semiesférica Movimiento sobre sup. semicircular Carrera de dos esquiadores Movimiento sobre una cicloide (II) Movimiento sobre una parábola |
Movimiento a lo largo de un camino recto | |
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La cicloide tiene una larga historia ligada al problema de hallar la forma que debe tener un camino que una dos puntos fijos A y B para que una partícula emplee un tiempo mínimo en recorrerlo. El camino más corto es el segmento de la recta que pasa por los puntos A y B, pero el tiempo no depende solo de la longitud del camino sino también de la velocidad de la partícula. Galileo pensó que el camino debería tener la forma de un arco de circunferencia . Pero los hermanos Bernoulli a principios del siglo XVIII demostraron que el camino debería tener la forma de un arco de cicloide. Desde ese momento, la cicloide recibió el nombre de braquistrocrona (palabra griega derivada de tiempo y mínimo). Las demostraciones de Bernoulli dieron origen algunos años más tarde a una nueva rama de las Matemáticas, el Cálculo Variacional (Euler y después Lagrange formularían las ecuaciones básicas del cálculo de variaciones), que se encarga de buscar las funciones que cumplen que una determinada magnitud sea máxima o mínima. En esta página, vamos a comparar el movimiento de una partícula a lo largo de un camino que une el origen O y un punto P, en dos casos
En el último apartado, se deduce la ecuación de la cicloide. En el capítulo Sólido rígido, veremos que un punto situado en el borde de un círculo que rueda sin deslizar describe una cicloide.
Movimiento a lo largo de un camino recto
La fuerza neta sobre la partícula es mg·sen|θ|, la aceleración es constante. Las ecuaciones del movimiento son v= g·sen|θ|·t
La posición (x, y) del móvil en función del tiempo es x=s·cosθ, y=s·senθ El tiempo que tarda en llegar al punto P, partiendo del origen, en reposo, es
Movimiento a lo largo de una cicloide
La ecuación de la cicloide de la figura es x=R(φ-senφ) Si la cicloide pasa por el punto P (xp, yp) xp=R(φ-senφ) Dividiendo ambas ecuaciones, obtenemos una ecuación trascendente en φ, que resolvemos por procedimientos numéricos
Una vez que tenemos el valor de φ, se calcula el parámetro R, en cualquiera de las dos ecuaciones Propiedades de la cicloide
La cicloide es simétrica, por lo que situamos el eje Y’ como eje de simetría, y el origen en la parte más baja de la curva, tal como se muestra en la figura. La ecuación de la cicloide referida a estos ejes es x’=R(2φ+sen(2φ)) Donde R y φ son dos parámetros La pendiente de la cicloide en la posición x' es
El parámetro φ tiene un significado geométrico, es la pendiente θ de la recta tangente a la cicloide. Calculamos ahora la longitud del arco s, entre el origen y el punto de coordenadas (x’, y’)
La longitud de medio arco, es decir, del arco entre el origen (0, 0) y el extremo (πR, 2R) es
Ecuación del movimientoSobre la partícula actúan dos fuerzas: el peso mg y la reacción de la superficie N. La ecuación del movimiento en la dirección tangencial es
La partícula describe un Movimiento Armónico Simple (MAS) de frecuencia angular ω, y periodo P
Si la partícula parte en el instante t=0, del extremo izquierdo (-πR, 2R) con velocidad inicial nula. La ecuación del movimiento es s=-4R·cos(ωt) Siendo s la posición de la partícula a lo largo del camino en forma de cicloide. La velocidad de la partícula es
Las posiciones x’ e y’ de la partícula en función del tiempo t se calculan del siguiente modo: Dada la longitud del arco s se calcula la pendiente de la recta tangente θ. Conocido el parámetro θ, se calcula x’ e y’ mediante las ecuaciones de la cicloide
Trasladamos el sistema de ejes al extremo izquierdo de la cicloide x=πR+x'=πR+R(2θ+sen(2θ))=R(2θ+π+sen(2θ)) Haciendo el cambio de parámetro 2θ+π=φ, tenemos de nuevo, las ecuaciones de la cicloide referidas a los ejes X e Y x=R(φ-senφ) Balance energético
Ejemplo:Consideremos la recta y la cicloide que pasan por el punto (9.0, -4.5). Calcular la posición de los dos móviles en el instante t=1.5 s El parámetro R de la cicloide se calcula resolviendo la ecuación trascendente (1) por procedimientos numéricos y vale R=2.323 m El desplazamiento s de la partícula a lo largo de la recta inclinada un ángulo θ es
La partícula que se mueve a lo largo de la cicloide, describe un MAS de frecuencia angular tal que ω2=g/(4R), ω=1.03 s-1 El desplazamiento s de la partícula en el instante t=1.5 es s=-4·2.323·cos(1.03·1.5)=-0.28 m, referida al sistema de ejes X’, Y’ con origen en la parte más baja de la trayectoria. El valor del parámetro θ, que corresponde a este desplazamiento es tal que senθ=s/(4R) θ=-0.03 rad Calculamos las coordenadas x’ e y’, y a continuación, hacemos la traslación de ejes, para determinar la posición (x, y) de la partícula x=π·2.323+2.323(2θ+sen(2θ))=7.02
m
ActividadesSe pulsa el botón titulado Inicio
Se pulsa el botón titulado Empieza En la parte inferior izquierda, el programa nos proporciona el valor del parámetro R cuando, se elige el punto de intersección (xp, yp). Observamos el movimiento de la partícula de color azul a lo largo del camino recto, y de la partícula de color rojo a lo largo del camino en forma de cicloide. La partícula de color rojo, adelanta a la de color azul, llegando antes al punto de intersección. En cualquier momento, se puede parar la animación pulsando el botón titulado Pausa, y acercamos al instante deseado pulsando repetidamente el botón titulado Paso.
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Pulsar el botón Inicio, mover el pequeño círculo de color negro con le puntero del ratón
La braquistrocrona
El tiempo que tarda la partícula en recorrer un arco infinitesimal ds en dicha posición es
Tenemos que buscar la forma del tobogán de manera que el tiempo total que emplea la partícula en desplazarse desde A hasta B sea mínimo. Por tanto, es preciso hacer mínima la integral
Teniendo en cuenta que ds2=dx2+dy2, la integral se escribe en función de x e y y sus derivadas.
Empleando el procedimiento de Euler, y teniendo en cuenta que el integrando no es función de x, la solución es Integrando respecto de y
Esta integral se resuelve haciendo la sustitución
con lo que se obtiene
que son de nuevo las ecuaciones paramétricas de una cicloide. Referencia Puig Adam P., Ecuaciones diferenciales aplicado a la Física y Técnica. Biblioteca Matemática, (1970), págs. 324-325. |
Movimiento sobre
una cicloide (I)
(1)
