Dinámica |
Trabajo y energía Trabajo y energía El péndulo simple El muelle elástico (I) El muelle elástico (II) El muelle elástico (III) Partícula unida a una goma Trabajo y energía (el bucle) El péndulo cónico Equilibrio y estabilidad (I) Equilibrio y estabilidad (II) Equilibrio y estabilidad (III) Equilibrio y estabilidad (IV) Movimiento sobre una cicloide (I) Movimiento sobre cúpula semiesférica
Carrera de dos esquiadores Movimiento sobre una cicloide (II) Movimiento sobre una parábola |
Cuando no hay rozamiento
Ecuación diferencial del movimiento |
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Cuando no hay rozamientoA medida que la partícula desliza por la superficie semicircular, va aumentando su velocidad. La energía potencial se va transformando en energía cinética.
Si la partícula parte de la posición angular –θ0 con velocidad inicial cero. Aplicamos el principio de conservación de la energía para calcular la velocidad v de la partícula cuando se encuentra en la posición θ
Como v=Rdθ/dt, obtenemos la ecuación diferencial de primer orden.
Obtenemos una expresión similar cuando determinamos el tiempo que tarda en caer la varilla inclinada, y el periodo del péndulo compuesto para cualquier amplitud. Empleando la fórmula del coseno del ángulo doble cos2A=cos2A-sen2A, y la relación sen2A+cos2A=1.
Haciendo la sustitución
obtenemos
El tiempo que emplea la partícula en desplazarse desde θ=0, (φ=0) hasta θ0 (φ=π/2) es la integral elíptica completa de primera especie.
El tiempo que tarda la partícula desde que sale en la posición –θ0, con velocidad inicial cero, hasta que llega a la posición final θ0 es el doble del tiempo 2·t. El periodo de una oscilación completa de la partícula es P=4·t. El programa interactivo que viene a continuación calcula la integral elíptica completa cuando se proporciona la posición de partida θ0 de la partícula. El cálculo se basa en el procedimiento de Carlson para hallar la integral elíptica de primera especie. Véase el código en Lenguaje Java al final de esta página Programa para calcular la integral elíptica completa de primera especie Ejemplo: Para θ0=60º la integral elíptica vale 1.6858. El tiempo que tarda la partícula en deslizar sin rozamiento sobre la superficie semicircular de radio R=1 m desde la posición -60º hasta 60º es
Para θ0=15º la integral elíptica vale 1.5776. El tiempo que tarda la partícula en deslizar sin rozamiento sobre la superficie semicircular de radio R=1 m desde la posición -15º hasta 15º es
Cuando presenta rozamientoLas fuerzas sobre la partícula:
La ecuación del movimiento a lo largo de la dirección radial es
La ecuación del movimiento a lo largo de la dirección tangencial es mat=-mg·senθ-Fr con Fr=μ·N, tenemos la ecuación
Llamando x=v2/(Rg), nos queda la ecuación diferencial
La solución de la ecuación diferencial se compone de dos términos: La solución particular x1=Asenθ+Bcosθ Introduciendo la solución particular en la ecuación diferencial, obtenemos los valores de los coeficientes A y B
Buscamos la solución de la ecuación diferencial homogénea
Integrando ambos miembros obtenemos lnx=-2μθ+cte, o bien, x2=C·exp(-2μθ) La solución completa es x=x1+x2
La constante C se determina a partir de las condiciones iniciales, para θ=θ0, v=0
Como podemos comprobar cuando θ=θ0, v=0 En la figura, se representa v2/Rg en función del ángulo θ, para varios valores del coeficiente de rozamiento μ=0.0, μ=0.25, μ=0.5 y μ=0.75. La posición de partida es θ0=-60º.
Cuando no hay rozamiento, la posición final cuando la partícula vuelve a pararse es θ=60º. Cuando hay rozamiento la posición final es θ<60º. Ejemplo: Sea coeficiente de rozamiento entre la superficie semiesférica y la partícula es μ=0.25. Si la partícula parte de la posición θ0=-60º=-π/3, calcular la velocidad de la partícula cuando pasa por la posición θ=0. El radio de la superficie semicircular es R=1 m.
Si la partícula parte de la posición inicial θ0=-90º=-π/2, la velocidad cuando pasa por la posición más baja θ=0 es
Por ejemplo, para μ=0.25, v2/(Rg)=0.853. En la figura, se muestra la v2/(Rg) cuando la partícula pasa por el punto más bajo de la superficie semicircular, para varios valores del coeficiente de rozamiento.
Sucesivas posiciones de paradaCuando no hay rozamiento, una partícula que parte de la posición -θ0, alcanza su máxima velocidad cuando pasa por el punto más bajo de la trayectoria y se detiene momentáneamente en la posición θ0, inicia el camino de vuelta y se detiene en la posición de partida -θ0, y así, sucesivamente. Cuando hay rozamiento, la partícula que parte de la posición -θ0, llega hasta la posición θ1, se cumple que θ0>|θ1|. Pueden ocurrir dos casos:
Supongamos que que la partícula prosigue el camino de vuelta hasta la posición θ2. Si se cumple que tan|θ2|≥μ, se inicia por segunda vez su camino de ida. En caso contrario, se detiene permanentemente.
Supongamos que la partícula parte de la posición -θ0. Para calcular la posición de parada θ1 se pone v=0 en la ecuación (2) y se calcula la raíz de la ecuación trascendente.
Si se cumple que tan|θ1|≥μ la partícula continúa moviéndose hacia la izquierda, en caso contrario, se detiene permanentemente. Supongamos que la partícula realiza el camino de vuelta, la fuerza de rozamiento cambia de signo (véase la figura más arriba), por lo que en la ecuación anterior cambiamos +μ por – μ. La posición de de parada θ2, es la raíz de la ecuación trascendente
Si se cumple que tan|θ2|≥μ la partícula continúa moviéndose hacia la derecha, en caso contrario, se detiene permanentemente. Supongamos que la partícula vuelve a realizar el camino de ida, la fuerza de rozamiento cambia de signo, por lo que en la ecuación anterior cambiamos +μ por – μ. La posición de parada θ3, es la raíz de la ecuación trascendente
y así, sucesivamente… Ejemplo: Sea θ=-90º=-π/2, y μ=0.2. La primera posición θ1 de parada v=0 se calcula resolviendo la ecuación trascendente
La raíz es θ1=44.54º, Se cumple que tan|θ1|≥0.2, la partícula se mueve hacia la izquierda, la fuerza de rozamiento cambia de signo. Calculamos la posición de parada θ2, resolviendo la ecuación trascendente
La raíz es θ2=-17.38º, Como tan|θ2|≥0.2 la partícula se mueve hacia la derecha, la fuerza de rozamiento cambia de signo. Calculamos la posición de parada θ3, resolviendo la ecuación trascendente
La raíz es θ3=-5.40º, Como tan|θ3|<0.2, la partícula se para definitivamente
Balance energéticoEl trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la energía final de la partícula menos la energía inicial. En la figura del primer apartado, tenemos que
Sustituyendo la larga expresión (2) de v2 en esta ecuación se calcula el trabajo de la fuerza de rozamiento cuando la partícula se encuentra en la posición θ.
El trabajo de la fuerza de rozamiento se puede calcular también del siguiente modo dWr=Fr·dl=-Fr·dl·cos180º=-Fr·dl=-μN·R·dθ
Despejamos v2 en la ecuación de la energía, y llegamos a la ecuación diferencial.
e integramos esta ecuación diferencial de modo similar a la de la velocidad. Para el caso particular de que la partícula parte de la posición más alta θ=-π/2. La ecuación diferencial se hace más simple
Ensayamos una solución particular de la forma W1=Asenθ+Bcosθ. Obtenemos los valores de los coeficientes A y B
Buscamos la solución de la ecuación diferencial homogénea
La solución completa es Wr=W1+W2
La constante C se determina sabiendo que el trabajo de la fuerza de rozamiento Wr cuando la partícula se encuentra en la posición inicial θ=-π/2 es cero
Ejemplo: Si μ=0.25, y la partícula parte de la posición θ0=-π/2. La velocidad de la partícula cuando llega a la posición más baja θ=0, es v2/(Rg)=0.853 tal como hemos calculado anteriormente Calculamos el trabajo de la fuerza de rozamiento Wr de forma indirecta
Calculamos el trabajo de la fuerza de rozamiento Wr de forma directa
Ecuación diferencial del movimiento
Caso particular: Cuando no hay rozamiento
Si el ángulo θ es pequeño, podemos aproximar sen θ≈ θ. Tenemos entonces la ecuación de un Movimiento Armónico Simple
cuyo periodo es
Ejemplo: El tiempo que tarda la partícula en deslizar sin rozamiento sobre la superficie semicircular de radio R=1 m, desde la posición - θ0, hasta θ0, cuando este ángulo es pequeño, es P/2
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Se dibujan las fuerzas sobre la partícula:
En la parte central del applet, se dibujan las energías en forma de diagrama de tarta
Las posiciones en las que la partícula se detiene momentáneamente v=0, se han marcado en color rojo en la superficie circular cóncava. |
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Medida del coeficiente de rozamiento cinéticoLa experiencia clásica de medida del coeficiente de rozamiento cinético, consiste en un bloque que desliza a lo largo de un plano inclinado. Vamos cambiando el ángulo θ que hace el plano inclinado con la horizontal, hasta conseguir que el bloque deslice con movimiento uniforme. El coeficiente de rozamiento vale μ=tanθ
Para calcular el coeficiente de rozamiento cinético μ, tenemos que resolver por procedimiento numéricos, la ecuación trascendente (2) con v=0.
El programa interactivo que viene a continuación, calcula el coeficiente cinético μ, cuando se introduce el ángulo inicial de partida θ0 y el ángulo final de llegada θ . El procedimiento numérico empleado es el del punto medio. Se introduce
Se pulsa el botón titulado Calcular El programa no prosigue si el ángulo inicial es mayor que el ángulo final.
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Franklin L. P., Kimmel P. I. Dynamics of circular motion with friction. Am. J. Phys. 48 83) March 1980, pp. 207-210
public class Integral_Eliptica {
static final double ERRTOL=0.08;
static final double TINY=1.5e-38;
static final double BIG=3.0e37;
static final double THIRD=(1.0/3.0);
static final double C1=(1.0/24.0);
static final double C2=0.1;
static final double C3=(3.0/44.0);
static final double C4=(1.0/14.0);
private static double rf(double x, double y, double z) {
double alamb,ave,delx,dely,delz,e2,e3,sqrtx,sqrty,sqrtz,xt,yt,zt;
if (Math.min(Math.min(x,y),z)<0.0 || Math.min(Math.min(x+y,x+z),y+z)<TINY
|| Math.max(Math.max(x,y),z)>BIG)
System.out.println("invalid arguments in rf");
xt=x;
yt=y;
zt=z;
do {
sqrtx=Math.sqrt(xt);
sqrty=Math.sqrt(yt);
sqrtz=Math.sqrt(zt);
alamb=sqrtx*(sqrty+sqrtz)+sqrty*sqrtz;
xt=0.25*(xt+alamb);
yt=0.25*(yt+alamb);
zt=0.25*(zt+alamb);
ave=THIRD*(xt+yt+zt);
delx=(ave-xt)/ave;
dely=(ave-yt)/ave;
delz=(ave-zt)/ave;
} while (Math.max(Math.max(Math.abs(delx),Math.abs(dely)),Math.abs(delz))> ERRTOL);
e2=delx*dely-delz*delz;
e3=delx*dely*delz;
return (1.0+(C1*e2-C2-C3*e3)*e2+C4*e3)/Math.sqrt(ave);
}
public static double primera(double phi, double ak) {
double s=Math.sin(phi);
return (s*rf((Math.cos(phi)*Math.cos(phi)),(1.0-s*ak)*(1.0+s*ak),1.0));
}
}
public class Aplicacion {
public static void main(String[] args) {
double angulo=30.0;
double k=Math.sin(angulo*Math.PI/360);
double res=Integral_Eliptica.primera(Math.PI/2, k);
System.out.println("Integral "+res);
} } |
Adaptada al lenguaje Java del código en lenguaje C tomado de Numerical Recipes in C, The art of scientific computing. Special functions. Capítulo 6º.
Movimiento sobre
sup. semicircular
(1)
(2)
