Dinámica |
Trabajo y energía Trabajo y energía El péndulo simple El muelle elástico (I) El muelle elástico (II) El muelle elástico (III) Partícula unida a una goma Trabajo y energía (el bucle) El péndulo cónico Equilibrio y estabilidad (I)
Equilibrio y estabilidad (III) Equilibrio y estabilidad (IV) Movimiento sobre una cicloide (I) Movimiento sobre cúpula semiesférica Movimiento sobre sup. semicircular Carrera de dos esquiadores Movimiento sobre una cicloide (II) Movimiento sobre una parábola |
Energía potencial | |
En esta página, vamos a estudiar el denominado modelo no simétrico de Alben que consiste en un tubo hueco de sección S, cerrado por ambos extremos, lleno con un gas ideal y que se dobla en forma de arco de radio r y ángulo 1+α radianes tal como se muestra en la figura.
Este modelo nos va a permitir estudiar los estados de equilibrio estables e inestables, pero también los denominados estados metaestables, es decir, estados de equilibrio en los que el sistema puede permanecer un determinado tiempo, pero una perturbación puede llevarlos a un estado de equilibrio estable de más baja energía.
Energía potencialVamos a determinar la posición de equilibrio θ del émbolo a una determinada temperatura T del gas.
Como vemos en la figura, las fuerzas tangenciales que actúan sobre el émbolo son:
La fuerza tangencial resultante es F= mgsenθ+piS- pdS Aplicamos la ecuación de estado de los gases ideales, determinamos las presiones del gas pi y pd en ambos recintos. pi·Vi=αRT o bien pi·(S·(α+θ)·r)=αRT Expresamos la fuerza en términos de la posición θ del émbolo o ángulo que forma con la dirección vertical.
La fuerza F deriva del potencial Ep(θ)
Situando el nivel cero de energía potencial en θ=0, de modo que Ep(0)=0
Modelo simétricoEl modelo de Alben se caracteriza por que es simétrico α=1 rad Para una temperatura T inferior a un valor crítico Tc el émbolo forma un ángulo θ con la vertical. Dicho ángulo se calcula resolviendo la ecuación trascendente
que corresponde al ángulo para el cual la energía potencial presenta un mínimo.
Como vemos en la figura, θ=0 es una posición de equilibrio inestable A medida que se incrementa la temperatura, la posición de equilibro estable se va acercando a θ=0. Para la temperatura crítica Tc ambas coinciden, θ=0 es un punto de inflexión.
Para calcular Tc, igualamos la derivada segunda de la energía potencial a cero cuando θ=0.
Para θ=0, d2Ep(θ)/dθ=0, resulta en
Modelo no simétricoPara estudiar el modelo no simétrico, definimos la temperatura t adimensional como el cociente t=T/Tc. La energía potencial y la fuerza se expresan
En primer lugar, el origen θ es una posición de equilibrio F=0, que puede ser estable o inestable. Por debajo de una cierta temperatura tc es inestable y por encima es estable, lo mismo que ocurre en el modelo simétrico. Calculamos la derivada segunda de la energía potencial En la posición θ=0, la derivada segunda La posición θ=0 pasa de inestable a estable a la temperatura tc para la cual la derivada segunda se hace cero Fijado el valor del parámetro α, se va cambiando el valor de la temperatura t y se anota la posición de equilibrio estable para cada temperatura. Esta posición se calcula resolviendo la ecuación trascendente con F=0. Se representa:
A la temperatura t1, se produce un cambio brusco en la posición del émbolo desde θ1 a 0. Por encima de esta temperatura el émbolo alcanza la posición de equilibrio estable θ=0. La temperatura t1 y la posición del émbolo θ1 se obtienen resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
Existen también equilibrios estables a la izquierda del origen, tal como se muestra en la figura Estas posiciones de equilibrio se denominan metaestables. Si nos fijamos en la figura de la derecha, una pequeña perturbación llevará al sistema desde el estado M (un ángulo de equilibrio negativo) al estado E (un ángulo de equilibrio positivo). Por ejemplo, para α=0.2, la temperatura tc=0.333 a partir de la cual la posición de equilibrio θ=0 es estable. En el programa interactivo podemos comprobar que para la temperatura t1=0.55 el émbolo cambia bruscamente de posición de θ1=0.503 rad a θ=0 . Entre la temperatura tc y la temperatura t1 el origen θ=0 es un estado metaestable.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Calcula Se representa a la izquierda, los dos recintos separados por un émbolo que contienen gas a la misma temperatura t. A la derecha, se representa la energía potencial en función del ángulo θ, se señala la posición de equilibrio estable del émbolo. Podemos cambiar la escala vertical de la figura, para apreciar mejor los máximos y mínimos, seleccionado un número en el control de selección titulado Escala.
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Sivardière J., Mechanical model for a first-order phase transition. Am. J. Phys. 53 (4) April 1985, pp. 363-365