Dinámica

Trabajo y energía

Trabajo y energía

El péndulo simple

El muelle elástico (I)

El muelle elástico (II)

El muelle elástico (III)

Partícula unida a 
una goma

Trabajo y energía
(el bucle)

El péndulo cónico

Equilibrio y 
  estabilidad (I)

Equilibrio y 
estabilidad (II)

Equilibrio y 
estabilidad (III)

Equilibrio y 
estabilidad (IV)

Movimiento sobre
una cicloide (I)

Movimiento sobre
cúpula semiesférica

Movimiento sobre
sup. semicircular

Carrera de dos
esquiadores

Movimiento sobre
una cicloide (II)

Movimiento sobre
una parábola

Posiciones de equilibrio

Actividades

Referencias

En la página anterior, se ha descrito el péndulo cónico, que se caracteriza por una velocidad angular critica ω_c a partir de la cual el péndulo se desvía un cierto ángulo de de su posición vertical. Por debajo de esta velocidad angular crítica, el péndulo permanece en la posición vertical q =0.

Un dispositivo similar es un aro de radio R que puede girar alrededor de su diámetro vertical con velocidad angular w. Un punto material de masa m se mueve a lo largo de la circunferencia sin rozamiento.

Ambos sistemas, se pueden describir por una energía potencial efectiva debida al peso de la partícula y a la fuerza centrífuga.

El sistema que vamos a estudiar ahora no hay fuerzas de inercia ya que consiste en una partícula de masa m que se mueve a lo largo de una circunferencia de radio R sin rozamiento. La partícula está unida al extremo de un muelle de constante k tal como se muestra en la figura.

La energía potencial

La energía potencial de la partícula se compone de dos términos:

• La energía potencial gravitatoria, mg(R-R·cosθ)

• La energía potencial elástica, debida a la deformación del muelle

La longitud l del muelle deformado es

Como la longitud del muelle sin deformar es R/2, la energía potencial debida a ambas fuerzas conservativas es

Posiciones de equilibrio

La fuerza tangencial que actúa sobre la partícula es

Las posiciones de equilibrio se obtienen cuando F(θ)=0

θ=0, θ=π y el ángulo θ₀ raíz de la ecuación trascendente

Estabilidad

Calculamos la derivada segunda de la energía potencial

Para θ=0 La derivada segunda es positiva (equilibrio estable) si

• Para θ=π

La derivada segunda es negativa, por lo que la posición de equilibrio es inestable

• Para θ= θ₀

Esta derivada es positiva si k>2mg/R.

Ahora bien, examinemos la ecuación que nos da la raíz θ₀.

• El valor mínimo del miembro izquierdo es 1/3, y el valor máximo es 1.

• El valor mínimo del miembro derecho se obtiene para  k=3mg/R. y el valor máximo para k→∞.

Así pues, cuando la constante k del muelle elástico es inferior al valor critico k_c=3mg/R la posición de equilibrio estable es θ=0, y cuando k>k_c, la posición de equilibrio estable es θ₀, raíz de la ecuación trascendente.

Actividades

En el programa interactivo se han fijado los valores de:

• La masa de la partícula m=0.1 kg

• El radio de la circunferencia R=0.5 m

• La aceleración de la gravedad g=10 m/s²

Con estos datos, el valor critico de la constante elástica es  k_c=3mg/R=6 N/m

Se introduce

• La constante k del muelle elástico, actuando en la barra de desplazamiento titulada Constante.

Se pulsa el botón titulado Calcular.

• Si k<6 la posición de equilibrio es θ=0

• Si k>6, el programa interactivo calcula el ángulo de equilibrio θ₀

Se muestra a la derecha del applet, la representación gráfica de la energía potencial E_p(θ). Observar los máximos y los mínimos.