Dinámica |
Trabajo y energía Trabajo y energía El péndulo simple El muelle elástico (I) El muelle elástico (II) El muelle elástico (III) Partícula unida a una goma Trabajo y energía (el bucle) El péndulo cónico Equilibrio y estabilidad (I) Equilibrio y estabilidad (II) Equilibrio y estabilidad (III) Equilibrio y estabilidad (IV) Movimiento sobre una cicloide (I) Movimiento sobre cúpula semiesférica Movimiento sobre sup. semicircular
Movimiento sobre una cicloide (II) Movimiento sobre una parábola |
Movimiento a lo largo del puente | |||
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En esta página, se compara el movimiento de un esquiador que cruza un puente, con otro esquiador que cruza un valle, tal como se muestra en la figura. ¿Cuál de los dos llegará antes al otro extremo del puente?
Este ejercicio complementa el estudio del movimiento sobre una cúpula, y el movimiento sobre una superficie semicircular cóncava.
Movimiento a lo largo del puente
Las fuerzas sobre el esquiador son:
Hay equilibrio en el sentido vertical N=mg Aplicamos la segunda ley de Newton al movimiento horizontal ma=-Fr Como la aceleración es constante a=-μg, si v0 es la velocidad inicial del esquiador al principio del puente, al cabo de un cierto tiempo t la velocidad del esquiador ha disminuido v=v0-μgt El esquiador se habrá desplazado a lo largo del puente, en el instante t su posición es x=v0·t-½gt2 Si el punte tiene una longitud d, pueden ocurrir dos casos:
Movimiento a lo largo del valleLa forma del valle puede ser descrita por una función continua que esté por debajo del segmento de la recta que conecta el punto inicial y el punto final. En este caso, el valle lo construiremos conectando cuatro arcos de circunferencia, del mismo ángulo α y radio R, tal como se muestra en la línea de color rojo, en la figura.
La distancia horizontal entre el punto de partida y el de llegada del esquiador es d=4·R·senα. Primer arco de circunferenciaEn la figura, se muestra las fuerzas sobre la partícula
Combinando ambas ecuaciones obtenemos
Llamando x=v2/(Rg), nos queda la ecuación diferencial
La solución de la ecuación diferencial se compone de dos términos: La solución particular x1=Asenθ+Bcosθ Introduciendo la solución particular en la ecuación diferencial obtenemos los valores de los coeficientes A y B
Buscamos la solución de la ecuación diferencial homogénea
Integrando ambos miembros obtenemos lnx=2μθ+cte, o bien, x2=C·exp(2μθ) La solución completa es x=x1+x2
La constante C se determina a partir de las condiciones iniciales, para θ=0, v=v0 Si hay rozamiento μ≠0, pueden ocurrir tres casos:
En el primer caso y una vez alcanzada la posición θc, la partícula describe un movimiento parabólico. Ecuación diferencial del movimiento: Poniendo v=R·dθ/dt, obtenemos la ecuación diferencial del movimiento
que se resuelve por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales t=0, θ=0, dθ/dt=v0/R. Cuando θ=α, el esquiador abandona el primer arco de circunferencia y entra en el segundo. Segundo y tercer arco de circunferencia
La ecuación del movimiento a lo largo de la dirección radial es
La ecuación del movimiento a lo largo de la dirección tangencial es mat=-mg·senθ-Fr Combinando ambas ecuaciones obtenemos
Llamando x=v2/(Rg), nos queda la ecuación diferencial
La solución de la ecuación diferencial se compone de dos términos: La solución particular x1=Asenθ+Bcosθ Introduciendo la solución particular en la ecuación diferencial obtenemos los valores de los coeficientes A y B
Buscamos la solución de la ecuación diferencial homogénea
Integrando ambos miembros obtenemos lnx=-2μθ+cte, o bien, x2=C·exp(-2μθ) La solución completa es x=x1+x2
La constante C se determina a partir de las condiciones iniciales, para θ=-α, v=v1, donde v1 es la velocidad del esquiador al finalizar el primer tramo. Si hay rozamiento μ≠0, pueden ocurrir dos casos:
Ecuación diferencial del movimiento: Poniendo v=R·dθ/dt, obtenemos la ecuación diferencial del movimiento
que se resuelve por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales t=t1, θ=-α, dθ/dt=v1/R. Cuando θ=α, el esquiador abandona el tercer tramo y entra en el cuarto. Cuarto arco de circunferencia
Combinado ambas ecuaciones obtenemos las misma ecuación que en el primer arco. La velocidad se calcula mediante
La constante C se determina a partir de las condiciones iniciales, para θ=-α, v=v2, donde v2 es la velocidad del esquiador al finalizar el tercer tramo. Ecuación diferencial del movimiento: Poniendo v=R·dθ/dt, obtenemos la ecuación diferencial del movimiento, la misma que para el primer arco
que se resuelve por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales t=t2, θ=-α, dθ/dt=v2/R. Cuando θ=0, el esquiador abandona el valle y llega al final del puente. Ejemplo
Calculamos el radio R de los arcos d=4·Rsenα, R=5 m Primer arco Las condiciones iniciales son θ=0, v0=5 m/s, calculamos la constante de integración C en la expresión (1).
Conocida la constante C, calculamos la velocidad del móvil al finalizar el primer arco θ=30º=π/6 rad
Esta es la velocidad inicial cuando el móvil entra en el segundo arco y tercer arco. Segundo y tercer arco Las condiciones iniciales son θ=-π/6, v1=6.02 m/s, calculamos la constante de integración C en la expresión (2).
Conocida la constante C, calculamos la velocidad del móvil al finalizar el tercer arco θ=π/6 rad
Esta es la velocidad inicial cuando el móvil entra en el cuarto arco. Cuarto arco Las condiciones iniciales son θ=-π/6, v1=4.34 m/s, calculamos la constante de integración C de la expresión (1).
Conocida la constante C, calculamos la velocidad del móvil al finalizar el cuarto arco θ=0 rad
Esta es la velocidad final del esquiador que atraviesa el valle. El programa interactivo, calcula numéricamente el tiempo que tarda el esquiador en atravesar el valle, 2.45 s. Movimiento a lo largo del puente La velocidad final del esquiador que cruza el puente es v2=52-2·0.1·9.8·10, v=2.32 m/s El tiempo que tarda en cruzar el puente es v=5-0.1·9.8·t, t=2.73 s
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Se observa el puente en color azul, y el perfil del valle en color rojo formado por la unión de cuatro arcos. Se dibuja las fuerzas sobre la partícula roja que cruza el valle
En la parte izquierda del applet se realiza el balance energético de las dos partículas: A la izquierda, la energía de la partícula de color rojo que atraviesa el valle
A la derecha, la energía de la partícula de color azul que atraviesa el puente
Una línea horizontal de color negro señala la energía inicial de ambas partículas, observamos como la energía va disminuyendo a causa del trabajo de la fuerza de rozamiento. En la parte inferior derecha del applet, se proporcionan los datos del tiempo, posición horizontal de cada uno de los esquiadores en relación al principio del puente y de su velocidad.
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Hite G. E. The sled race. Am. J. Phys. 72 (8) August 2004, pp. 1055-1058
Carrera de dos
esquiadores
(1)
(2)
