Electromagnetismo

Autoinducción e 
Inducción mutua

Autoinducción.
Circuito R-L

Circuitos acoplados (I)

Circuitos acoplados (II)

Oscilaciones eléctricas

Circuito LCR conectado
a una batería

El problema de los
dos condensadores

Elementos de un
circuito de C.A.

Sistema electro-
mecánico oscilante

Medida de la auto-
inducción de un anillo

Circuito LCR en serie
Resonancia

Medida de la velocidad
de la luz en el vacío

Efectos mecánicos de
la ley de Faraday

Caída de un imán

El anillo de Thomson (I)

El anillo de Thomson (II)

Fuerza sobre el anillo

El anillo como circuito R-L conectado a una fem alterna

Fuerza media sobre el anillo en el estado estacionario

Actividades

Experimentos. Representación gráfica

Referencias

Se conecta un solenoide provisto de un núcleo de hierro, a una fuente de corriente alterna de frecuencia f=50 Hz y se observa que el anillo de radio a flota en el aire a una altura z de equilibrio, aquella en la que se anula el peso del anillo con la fuerza media que ejerce el campo magnético del solenoide sobre la corriente inducida en el anillo. En esta página, no se va a estudiar la dinámica del anillo, cómo asciende impulsado por la fuerza magnética, incluso a alturas considerables si el anillo se enfría previamente en nitrógeno líquido. Calcularemos la fuerza que ejerce el campo magnético sobre el anillo cuando está quieto a una altura determinada sobre el solenoide.

Esta fuerza se puede medir con un dinamómetro, o si le damos la vuelta al dispositivo y apoyamos el anillo sobre una balanza electrónica, que medirá la suma de su peso más la fuerza que ejerce el campo magnético, véase los artículos citados en las referencias.

Ley de Faraday

La corriente alterna que circula por el solenoide produce un campo magnético que varía con el tiempo. El flujo F de dicho campo a través del anillo es

F =M·I_s

donde M es el coeficiente de inducción mutua del sistema formado por el solenoide y el anillo, I_s es de la intensidad de la corriente en el solenoide que varía con el tiempo de la forma.

I_s=I_0s·sen(w t)

Donde I_0s es la amplitud y w frecuencia angular w =2p f . En Europa f=50 Hz y en Estado Unidos f =60 Hz.

Fijado el solenoide, el coeficiente de inducción mutua M, es una función del radio del anillo a y de su posición z sobre el solenoide.

Aplicando la ley de Faraday, se obtiene la fem inducida V_a en el anillo como resultado del cambio del flujo que lo atraviesa con el tiempo. Aplicando la ley de Lenz, se determina el sentido de la corriente inducida.

La corriente inducida I_a en el anillo de resistencia R es

Fuerza sobre el anillo

Como podemos observar en el applet que dibuja las líneas del campo magnético producido por un solenoide. El campo magnético es paralelo al eje en el interior del solenoide, pero fuera del solenoide las líneas de campo divergen tal como se observa en la figura El campo magnético del solenoide tiene simetría cilíndrica, y en la posición z que ocupa el anillo de radio a, el campo tiene dos componentes una a lo largo del eje Z, Bz y otra a lo largo de la dirección radial Br.

La fuerza magnética sobre el anillo es

En la figura vemos que la fuerza sobre un elemento de corriente dl tiene dos componentes

1. Una a lo largo del eje Z, dF_z=-I_a·B_r·dl¸ (la corriente es positiva cuando circula en el sentido contrario a las agujas del reloj, el opuesto al que se muestra en la figura)
2. Otra a lo largo de la dirección radial, dF_r=-I_a·B_z·dl.

Las componentes radiales de la fuerza se anulan de dos en dos mientras que las componentes a lo largo del eje Z se suman. La fuerza resultante que ejerce el campo magnético B producido por el solenoide sobre la corriente inducida I_a en el anillo tiene la dirección del eje Z y su módulo vale

Como B_r es proporcional a la corriente en el solenoide I_s es decir a sen(w t), y la corriente inducida en el anillo I_a es proporcional –cos(w t). La fuerza sobre el anillo es proporcional a sen(w t)·cos(w t), o bien, F_z=c·sen(2w t), donde c es una constante de proporcionalidad.

El valor medio en el tiempo <F_z> de la fuerza sobre la anillo, será por tanto, cero.

Durante medio periodo, P=p /w,  la fuerza es atractiva y durante el otro medio periodo la fuerza es repulsiva. La fuerza neta sobre el anillo es su propio peso, por lo que no es posible que el anillo se eleve, aunque la experiencia nos indique que si lo hace.

Por tanto, la aplicación directa de la ley de Faraday es la condición necesaria pero no suficiente para explicar el fenómeno de la levitación magnética del anillo.

El anillo como circuito R-L conectado a una fem alterna

Para que la fuerza repulsiva sea mayor que la fuerza atractiva tiene que existir un desfase entre la corriente inducida en el anillo y la fem en el mismo.

Supongamos que el anillo es un circuito R-L en serie conectado a una fem alterna de la forma V_a = -V_0a cos(w t).

• La diferencia de potencial en los extremos de la autoinducción L está adelantada 90º respecto de la intensidad que circula por ella. La relación de amplitudes es V_L=I₀·w L.
• La diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia R está en fase con la intensidad. La relación de amplitudes es V_R=I₀·R.

Como vemos en la figura la fem V_a , está adelantada un ángulo f  respecto de la intensidad I_a.

Las expresiones de la fem y de la intensidad de la corriente inducida en el anillo en función del tiempo son, respectivamente:

Como V_0a=M·I_0s·ω la corriente estacionaria I_a inducida en el anillo es

La fuerza sobre el anillo se obtiene multiplicando el campo magnético B_r proporcional a sen(w t), por la corriente en el anillo proporcional a –cos(w t-f ).

El valor medio de la función f(t)=-sen(w t)·cos(w t-f ) es

• El primer término, sen(w t)·cos(w t), viene de la parte de la corriente en el anillo que está en fase con la fem y por tanto, desfasada 90º con la corriente en el solenoide. Produce una fuerza que oscila con una frecuencia 2w y por tanto, su promedio en el tiempo es cero, tal como demostramos en el apartado anterior.
• El segundo término, sen(w t)·sen(w t), proviene de la parte inductiva de la corriente que tiene un desfase de 90º respecto de la fem y en fase con la corriente en el solenoide, y es la que produce la fuerza de elevación sobre el anillo.

Así pues, para que la fuerza sobre el anillo tenga un valor medio no nulo, tiene que existir un desfase f entre la fem en el anillo y la corriente inducida en el mismo, y este desfase se produce si consideramos que el anillo tiene una autoinducción L no nula.

Ejemplo:

En el laboratorio disponemos de un anillo de aluminio de 62 mm de diámetro, 15 mm de longitud y 1 mm de espesor. La resistencia del anillo se calcula mediante la fórmula

Para el anillo de aluminio de las dimensiones señaladas r =2.8·10-8 W ·m, S=(1 mm· 15 mm)=15·10-6 m2, y l=p ·62 mm=p ·62·10-3 m. R=3.63·10-4 W .

Existe una fórmula que nos permite calcular la autoinducción L de un anillo de forma toroidal de diámetro medio D, y cuya sección es un círculo de diámetro d

El área de la sección rectangular del anillo, es equivalente al área de la sección circular de una anillo toroidal de diámetro d tal que 15·1=πd2/4    d=4.37 mm

Para una fem de frecuencia f=50 Hz, ω=2πf=100π rad/s el desfase es

El valor medio de la fuerza <F_z> sobre el anillo es proporcional a -(senf)/2=-0.05

Actividades

Se introduce

• El desfase f de la intensidad y de la fem inducida en el anillo en grados

Se pulsa el botón titulado Dibuja

En el applet se representan tres gráficas

1. En la parte superior, se representa el campo magnético B_r en función del tiempo. B_r es proporcional a la corriente en el solenoide I_s es decir a sen(w t).

2. En la parte media, se representa la fem V_a , que es proporcional a –cos(w t), y la corriente I_a en el anillo desfasada f  respecto de la fem.

3. En la parte inferior del applet, se representa el producto del campo magnético B_r proporcional a sen(w t), por la corriente en el anillo proporcional a –cos(w t-f ), y se calcula el valor medio de la fuerza <F_z> que es proporcional a, -(senf)/2.

Corriente inducida en el anillo. Ecuación del circuito

En este apartado, vamos a obtener la intensidad I_a de la corriente inducida en el anillo de forma alternativa.

Considerando de nuevo el anillo como un circuito formado por una resistencia y una autoinducción conectado a una fem alterna. La ecuación del circuito se escribirá:  suma de fems igual a intensidad por resistencia

La solución de esta ecuación diferencial tiene la siguiente forma

Los dos primeros términos, corresponden a la solución particular, y el tercer término a la solución homogénea de la ecuación diferencial. El término C se halla a partir de las condiciones iniciales, pero no es necesario calcularlo ya que al cabo de muy poco tiempo la exponencial tiende a cero al ser R>>L. En el estado estacionario, solamente nos queda la solución particular I_a=Acos(w t)+ Bsen(w t). Introduciendo la expresión de I_a en la ecuación diferencial obtenemos los valores de A y B.

Fuerza media sobre el anillo en el estado estacionario.

Como ya se ha explicado, la fuerza sobre el anillo viene dada por la fórmula F_z=-2p a·I_a·B_r.

El campo magnético producido por el solenoide en la posición z que ocupa el anillo de radio a, es proporcional a la corriente I_s que circula por él mismo.

B_r=k(z)·I_s.

Fijado el solenoide, el coeficiente de inducción mutua M del anillo de radio a es función de la posición z del anillo sobre el solenoide.

Vamos a analizar la dependencia de la fuerza media con la intensidad que circula por el solenoide, la frecuencia y la distancia entre el anillo y el solenoide.

• Fuerza media <F_z>en función de la intensidad que circula por el solenoide  I_s

El valor medio de la fuerza es proporcional al cuadrado de la amplitud de la intensidad que circula por el solenoide I0s,

• Fuerza media <F_z>en función de la frecuencia w de la corriente que circula por el solenoide  I_s

Para analizar su comportamiento frente a la frecuencia w,. nos fijaremos en el término entre paréntesis.

Cuando la frecuencia de la corriente en el solenoide es pequeña frente a R/L la fuerza <Fz> sobre el anillo es proporcional al cuadrado de la frecuencia w , e inversamente proporcional al cuadrado de la resistencia R. Cuando la frecuencia w es mucho más grande que R/L, la fuerza <Fz> sobre el anillo tiende hacia un valor constante, e independiente de la resistencia del anillo.

• Fuerza media <F_z>en función de la frecuencia de la distancia z entre el solenoide y el anillo

La fuerza media <Fz> disminuye rápidamente con la distancia z entre el solenoide y el anillo.

Actividades

En el programa interactivo de esta página, se ha sustituido el solenoide por una bobina, ya que es más sencillo de calcular el campo magnético creado por una bobina, que por un solenoide. El resultado final del "experimento" no cambia desde el punto de vista cualitativo.

Se calcula la fuerza que ejerce una bobina de 100 vueltas sobre un anillo situado a una altura regulable z. Para modificar la distancia z, basta arrastrar con el ratón la flecha horizontal de color azul situada en el borde izquierdo del applet.

Se introduce

• La frecuencia f de la corriente que circula por la bobina, en el control de edición titulado Frecuencia.
• La amplitud de la intensidad I_s0 que circula por la bobina, en el control de edición titulado Intensidad
• La resistencia R del anillo (en unidades 10^-4 Ω), en el control de edición titulado Resistencia
• La autoinducción L del anillo (en unidades 10^-7 H), en el control de edición titulado Autoinducción

Se pulsa el botón titulado Inicio para establecer el estado inicial y a continuación, el botón titulado Empieza para dar comienzo a la animación.

A partir de las dimensiones del anillo y del material del que está hecho, podríamos calcular su resistencia y autoinducción. Sin embargo, en el programa interactivo introducimos directamente estas dos magnitudes, para poder ensayar todas las posibilidades, un anillo con o sin resistencia, con o sin autoinducción.

El programa calcula y representa la intensidad de la corriente inducida en el anillo y la fuerza sobre el mismo. Permite por tanto, examinar la fuerza magnética sobre el anillo cambiando los distintos parámetros.

El programa permite visualizar, el movimiento de las cargas (en color rojo) en el solenoide y en el anillo, dándonos una idea del sentido de la corriente inducida. .

En la parte derecha, se representa la corriente en el solenoide (en color azul), en el anillo (en color rojo), y la fuerza sobre el anillo (en color negro) en función del tiempo. Desactivando la casilla titulada intensidades solamente se representa la fuerza sobre el anillo.

Dado que la intensidad de la corriente inducida en el anillo, y la fuerza cambian notablemente a medida que se modifica alguno de los parámetros, se proporciona un control de selección  titulado Escalas para modificar la escala vertical de la representación gráfica.

Experimentos. Representación gráfica

1. Fuerza sobre el anillo en función de la amplitud de la intensidad I_0s de la corriente en el solenoide

Podemos comprobar, que la fuerza sobre el anillo es proporcional al cuadrado de la intensidad de la corriente que circula en el solenoide.

2. Fuerza en función de la frecuencia f de la corriente que circula en el solenoide

La frecuencia con la que se realiza el experimento de laboratorio es de 50 Hz, el programa permite variar la frecuencia en un amplio rango de 10 a 150 Hz. Podremos observar que la fuerza crece rápidamente con la frecuencia, y tiende hacia un valor constante cuando la frecuencia se hace grande.

3. La fuerza en función de la distancia z entre el anillo y el extremo superior del solenoide.

La inducción mutua M disminuye rápidamente cuando se incrementa z, la distancia entre el solenoide y el anillo. La componente radial del campo magnético producido por el solenoide B_r también disminuye con z. Dado que no podemos proporcionar expresiones simples para la dependencia de estas dos magnitudes con z. El resultado final como podrá comprobar el lector es que la fuerza <F_z> disminuye rápidamente a medida que se incrementa z.

El applet que viene a continuación, nos permite representar los resultados de cada una de las experiencias, y observar la dependencia funcional de la fuerza media sobre el anillo con los tres parámetros que hemos mencionado

• Intensidad de la corriente en el solenoide I_s0.
• Frecuencia f de la corriente alterna w =2p f .
• Con la distancia z entre el anillo y el solenoide

Por ejemplo, si queremos examinar la dependencia de la fuerza <F_z> con la distancia z entre la bobina y el anillo. Se activa el botón de radio titulado Distancia. Se introduce en los controles de edición del lado izquierdo, bajo la etiqueta X, las distancias z, y en los controles de edición situados en el lado derecho, el valor de <F_z> proporcionado por el programa interactivo previo.

Finalmente, se pulsa en el botón titulado Gráfica.

Se obtendrán representaciones gráficas similares a las de las figuras del apartado titulado Corriente inducida en el anillo.