Electromagnetismo |
Autoinducción e Inducción mutua Autoinducción. Circuito R-L Circuitos acoplados (I) Circuitos acoplados (II) Oscilaciones eléctricas Circuito LCR conectado a una batería El problema de los dos condensadores Elementos de un circuito de C.A. Sistema electro- mecánico oscilante Medida de la auto- inducción de un anillo Circuito LCR en serie Resonancia Medida de la velocidad de la luz en el vacío Efectos mecánicos de la ley de Faraday Caída de un imán El anillo de Thomson (I)
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El circuito RC de
carga
Fuerza magnética sobre el anillo Ecuación del movimiento del anillo |
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| En las páginas anteriores estudiamos la fuerza que ejerce el campo magnético producido por un solenoide sobre la corriente inducida en el anillo, cuando éste está a una altura fija sobre el solenoide. En esta página, vamos a estudiar la dinámica del anillo, cómo asciende impulsado por una intensa fuerza magnética que dura muy poco tiempo.
El circuito RC de carga
El circuito RCL de descarga
Si el circuito tiene un comportamiento amortiguado g <w0 la carga en el condensador disminuye con el tiempo de la forma
Las constantes A y j se calculan a partir de las condiciones iniciales. En el instante t=0, el condensador se encuentra cargado con una carga Q o bien, la diferencia de potencia entre sus placas es V=Q/C, y la intensidad que circula por el circuito es cero Is=dq/dt=0. La expresiones de la carga del condensador y de la intensidad que circula por el solenoide son, respectivamente
En la figura, podemos observar la representación de la intensidad Is en función del tiempo cuando la resistencia del circuito es pequeña (g <<w 0) y cuando es grande (g <w 0). En la figura de la izquierda, apreciamos que la amplitud de la intensidad decrece exponencialmente con el tiempo, característica principal de las oscilaciones amortiguadas. En la de la derecha, vemos que la intensidad crece (decrece) desde cero hasta un valor máximo (mínimo) en el instante t=p /(2w ) y luego, decrece (crece) hasta hacerse próxima a cero.
Ley de FaradayLa corriente que circula por el solenoide produce un campo magnético que varía con el tiempo. El flujo F de dicho campo a través del anillo es F =M·Is donde M es el coeficiente de inducción mutua del sistema formado por el solenoide y el anillo, Is es de la intensidad de la corriente en el solenoide. Aplicando la ley de Faraday, se obtiene la fem inducida Va en el anillo como resultado del cambio del flujo que lo atraviesa con el tiempo. Aplicando la ley de Lenz, se determina el sentido de la corriente inducida.
La corriente inducida Ia en el anillo de resistencia Ra es
Nos fijaremos principalmente en el comportamiento exponencial decreciente de la amplitud de la intensidad Is. Podemos escribir la intensidad en el anillo como Ia=-k·I0s·exp(-g t) Donde k es una constante de proporcionalidad que depende a su vez del tiempo.
Fuerza magnética sobre el anillo
La fuerza sobre el anillo es
En la figura, vemos que la fuerza sobre un elemento de corriente dl tiene dos componentes
Las componentes radiales se anulan de dos en dos mientras que las componentes a lo largo del eje Z se suman. La fuerza resultante que ejerce el campo magnético B producido por el solenoide sobre la corriente inducida Ia en el anillo tiene la dirección del eje Z y su módulo vale Fz=-2p a·Ia·Br. El campo Br es proporcional a la corriente que circula por el solenoide (cuya amplitud decrece exponencialmente con el tiempo). Por otra parte, la amplitud de la corriente inducida Ia decrece exponencialmente con el tiempo. La amplitud de la fuerza sobre la espira también decrece exponencialmente con el tiempo.
Ecuación del movimiento del anilloMientras la intensidad en el solenoide crece de cero a su valor máximo en el instante t=p /(2w ), el anillo experimenta una intensa fuerza de repulsión durante un corto intervalo de tiempo. Esta fuerza la podemos escribir de la forma
La fuerza decrece exponencialmente con el tiempo con una constante tiempo t que es mucho menor que el tiempo de vuelo del anillo. Sobre el anillo actúan dos fuerzas, la fuerza magnética y el peso. Suponemos para no complicar excesivamente los cálculos que el rozamiento del aire es despreciable, lo que confirman los resultados experimentales.
Integrando respecto del tiempo, teniendo en cuanta que en el instante t=0, la velocidad inicial es cero v=0.
Integrando de nuevo respecto del tiempo, y teniendo en cuenta que para t=0, x=0.
La máxima altura se alcanza cuando v=0. Ahora bien, en el instante en el que se alcanza la máxima altura podemos suponer que ha transcurrido suficiente tiempo para la exponencial tenga un valor próximo a cero.
Balance energético e impulso de la fuerza magnéticaSi toda la energía almacenada en el condensador se convirtiese en energía potencial del anillo, se elevará a alturas muy grandes. Por ejemplo, para un condensador de 12.7 m F cargado a una diferencia de potencial de 2000 V, la energía acumulada es CV2/2. La energía potencial de un anillo de cobre de 0.0389 kg que se ha elevado hasta una altura h es, mgh. Igualamos ambas energías y despejamos h=66.6 m. La elevación real de anillo es de unos cuantos centímetros como se podrá comprobar en la experiencia simulada. Solamente una pequeña fracción f de la energía almacenada en el condensador se convierte en energía cinética inicial del anillo, el resto se pierde en las resistencias, radiación, etc.
Por otra parte, la fuerza F de corta duración proporciona un impulso que hace que el anillo adquiera una velocidad inicial v0.
De ambas ecuaciones obtenemos el valor de F0.
Así pues, la dependencia de la altura máxima que alcanza el anillo con V ( diferencia de potencial entre las placas del condensador cargado) es de la siguiente forma
es decir
Donde A y B son parámetros a determinar en el ajuste de los datos experimentales a un polinomio de segundo grado, de los que se deducen f (fracción de energía del condensador que se convierte en energía mecánica) y t (constante de tiempo de la fuerza magnética).
ActividadesEn el programa interactivo se simula la experiencia descrita en el artículo mencionado en las referencias. Se elige un anillo entre cuatro posibilidades:
Se introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza. Se observa como el anillo se eleva hasta una altura máxima, que puede medirse en una regla vertical dispuesta al efecto. Al lado del anillo, dos vectores representan las magnitudes relativas de la fuerza magnética (en rojo) y del peso (en azul). En la parte derecha de la gráfica, se representa la velocidad del anillo en función del tiempo (en azul) y y la fuerza magnética sobre el anillo en función del tiempo. Los datos de la experiencia (V, xmáx) se recogen en el control área de texto situado a la izquierda del applet. Una vez que se ha recogido suficientes datos se pulsa el botón titulado Enviar para su tratamiento en el applet situado al final de la página.
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| Pulsar el botón titulado Enviar, para efectuar el
tratamiento de los datos de la experiencia El applet situado más abajo, representa los datos experimentales y el polinomio de segundo grado que ajusta mejor a dichos datos. El programa calcula los coeficientes del polinomio a[0]+a[1]x+a[2]x2. El primer coeficiente a[0] será próximo a cero, el segundo a[1] es el que hemos denominado -B y el tercero a[2] es el coeficiente A. |
Tanner P., Loebach J., Cook J., y Hallen H. D.. A pulsed jumping ring apparatus for demostration of Lenz’s law. Am. J. Phys. 69 (8) August 2001 pp. 911-916.
El anillo de Thomson (II)
