Electromagnetismo |
Ley de Faraday Espiras en un campo magnético variable (I) Espiras en un campo magnético variable (II) Demostración de la ley de Faraday (I) Demostración de la ley de Faraday (II) Acelerador de partículas El betatrón Varilla que se mueve en un c. magnético (I) Caída de una varilla en un c. magnético Movimiento de una espira a través de un c. magnético Medida del campo magnético Generador de corriente alterna Galvanómetro balístico Corrientes de Foucault Imán en tubo metálico Inducción homopolar Un disco motor y generador Varilla que se mueve en un c. magnético (II)
Varilla que se mueve en un c. magnético (IV) Momento angular de los campos EM (I) Momento angular de los campos EM (II) |
Ecuación del circuito | |
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En la página anterior, hemos estudiado el movimiento de la varilla de longitud L y masa m, que se mueve sin fricción sobre dos raíles paralelos separados una distancia a. La batería cuya diferencia de potencial es V0 , los dos raíles y la varilla deslizante constituyen un circuito cerrado. En presencia de un campo magnético uniforme B, perpendicular al plano del circuito, la barra se acelera por la fuerza de Lorentz hasta que alcanza una velocidad límite constante. En esta página, vamos a sustituir la batería por un condensador.
Supondremos que los raíles son superconductores, para que el problema no sea complicado de resolver. De otro modo, se introduciría un término no lineal (al aumentar o disminuir la longitud del circuito) en las ecuaciones del movimiento de la varilla.
Ecuación del circuitoLa fem inducida Vε de acuerdo a la ley de Faraday es
El flujo Φ=B·S=-B·a·x Derivando el flujo Φ respecto del tiempo y cambiando de signo Vε=B·a·v Siendo a la distancia entre los raíles, menor que la longitud L de la varilla y v la velocidad de la varilla. El sentido de la corriente inducida, de acuerdo a la ley de Lenz, es contrario a las agujas del reloj. En el circuito equivalente de la figura
VAB+VBC+VCD+VDA=0
Ecuación del movimiento de la varillaUna corriente i que circula por la porción de varilla de longitud a, experimenta una fuerza F en el seno de un campo magnético uniforme B. F=i·ut×B·a donde ut es un vector unitario que señala la dirección y sentido del movimiento de los portadores de carga (positivos).
Como el campo magnético B es perpendicular a la varilla. El módulo de F es F=iBa Es un vector paralelo a los raíles y cuyo sentido es hacia la izquierda, tal como se señala en la figura. Si despreciamos la fuerza de rozamiento entre la varilla y los raíles, la ecuación del movimiento de la varilla de masa m es.
Integramos esta ecuación con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, v=v0 y q=q0. Donde v0 es la velocidad inicial de la varilla y q0 es la carga inicial del condensador.
Carga del condensadorEn la ecuación del circuito eliminamos v
La solución de esta ecuación diferencial es
El coeficiente A se determina a partir de la siguiente condición inicial: en el instante t=0, la carga del condensador es q0
Después de un tiempo grande, t→∞, la carga final del condensador es
La carga q del condensador en función del tiempo t la expresamos
Si q0>Qf el condensador se descarga,
La intensidad de la corriente es
La intensidad de la corriente disminuye exponencialmente con el tiempo Posición y velocidad de la varillaDe la relación mv=mv0-Baq+Baq0
Después de un tiempo grande, t→∞, la velocidad final del de la varilla es
Integramos respecto del tiempo y obtenemos la posición de la varilla x en función del tiempo. La condición inicial es: en el instante t=0, la posición inicial de la varilla es x0
Estudio energéticoLa energía almacenada en forma de campo eléctrico en el condensador en el instante t=0 y el instante t es
La energía disipada en la resistencia durante ese mismo tiempo es
Después de un tiempo grande, t→∞, la energía disipada en la resistencia es
La energía cinética inicial y final de la varilla es
La energía disipada en la resistencia es (en valor absoluto) la diferencia entre la energía inicial y final ER=(Ek0+EC0)-(Ek+ EC) Se sugiere al lector que realice esta comprobación, primero para cuando t→∞ y luego, para cualquier instante t. Ejemplos:
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Ejemplo 4: Cuando el campo B=0, la velocidad de la varilla se mantiene constante, y tenemos el caso de la descarga de un condensador a través de una resistencia.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza En la parte superior del applet se representa, el condensador, los raíles y la varilla. La placa positiva del condensador se representa en color rojo, y la negativa en color azul. La intensidad del color indica la cantidad de carga. El condensador descargado aparece en color blanco. Al lado del condensador se proporciona el dato de su carga. El sentido de la corriente en el circuito, viene señalado por el movimiento de los portadores de carga (puntos de color rojo) El campo magnético uniforme es perpendicular al plano de los raíles, apunta hacia el lector cuando está coloreado de rosa y en sentido contrario, si está coloreado de azul claro. Al lado de la varilla se proporciona el dato de su posición Un diagrama en forma de tarta, nos da una idea de la transformaciones energéticas:
En la parte derecha del gráfico, se representa la velocidad v de la varilla en función del tiempo. Podemos apreciar, que tiende hacia un valor constante Vf. Se puede cambiar la escala vertical mediante el control de selección situado a la derecha del botón Paso. |
Fatuzzo M., Toepker T. P., More track and field. The Physics Teacher Vol 42, September 2004, pp. 351-353
Varilla que se mueve
en un c. magnético (III)
