Electromagnetismo |
Ley de Faraday Espiras en un campo magnético variable (I) Espiras en un campo magnético variable (II) Demostración de la ley de Faraday (I) Demostración de la ley de Faraday (II) Acelerador de partículas El betatrón Varilla que se mueve en un c. magnético (I) Caída de una varilla en un c. magnético Movimiento de una espira a través de un c. magnético Medida del campo magnético Generador de corriente alterna Galvanómetro balístico Corrientes de Foucault Imán en tubo metálico Inducción homopolar Un disco motor y generador Varilla que se mueve en un c. magnético (II) Varilla que se mueve en un c. magnético (III) Varilla que se mueve en un c. magnético (IV)
Momento angular de los campos EM (II) |
La paradoja de Feynman
Momento angular de los campos electromagnéticos Un caso sencillo de momento angular de los campos electromagnéticos |
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En esta página, se explica la paradoja que se enuncia en el segundo volumen las célebres Feynman’s Lectures on Physics, pág 17-8, 9. La noción de que un campo electromagnético posee un momento angular no se suele explicar en los libros de texto de Física General. La paradoja de Feynman nos permite introducir al estudiante en esta propiedad fundamental del campo electromagnético.
La paradoja de Feynman
En el centro del disco se coloca una pequeña bobina cuyo eje coincide con el eje de rotación del disco. Por la bobina pasa una corriente estacionaria de intensidad i, alimentada por una batería. En el borde del disco, y espaciadas uniformemente alrededor de su circunferencia hay un número de pequeñas esferas metálicas aisladas unas de las otras y del solenoide por el material plástico del disco. Cada una de las esferas conductoras está cargada con la misma carga q. Inicialmente, el disco está en reposo. Supongamos que por algún accidente la corriente i en el solenoide se interrumpe. Por ejemplo, el solenoide se mantiene a muy baja temperatura de modo que el alambre del que está fabricado se hace superconductor. Cuando la temperatura se eleva por encima de la crítica, su resistencia aumenta y la corriente disminuye. Al disminuir el flujo del campo magnético a través del solenoide se producirá un campo eléctrico inducido tangencial al perímetro del disco que actuará sobre las esferas cargadas, produciendo una fuerza, cuyo momento hará girar al disco. Tenemos una situación similar a la descrita en la página dedicada al estudio del acelerador de partículas denominado betatrón. El campo eléctrico producido por el cambio del flujo del campo magnético en el tiempo acelera la partícula cargada Aplicando el principio de conservación del momento angular, podemos decir, que el momento angular inicial del sistema aislado es cero, el momento angular final del conjunto será cero. Por tanto, no debe haber rotación del disco cuando la corriente desaparezca, esta es la paradoja.
Momento angular mecánicoSupongamos que la bobina tiene un radio a pequeño comparado con el radio R del disco. El campo producido por la bobina para puntos tales que r>>a es
Supondremos que la corriente i en el solenoide se modifica lentamente de modo que tenemos campos electromagnéticos cuasiestáticos en todos los instantes.
Fijarse que el cálculo directo del flujo a través del disco no es sencillo ya que no disponemos de una expresión de B para puntos en el interior de la bobina o cercanos a la misma. Teniendo en cuenta que el momento magnético tiene la dirección del eje Z m=m·k, el campo B para los puntos del plano que contiene al disco z=0 es
De acuerdo a la ley de Faraday
Debido a la simetría axial, el campo eléctrico E generado es constante en todos los puntos de una circunferencia de radio r, y su dirección es tangente a dicha circunferencia. El campo eléctrico E generado vale en la posición r=R del borde del disco donde se encuentran las cargas
Su sentido está determinado por la ley de Lenz, tal como se señala en la figura.
El campo eléctrico E ejerce una fuerza sobre la carga puntual q, f=qE La fuerza f tiene la misma dirección que el campo E, el mismo sentido si la carga q es positiva, y sentido contrario si la carga es negativa. La fuerza f, produce un momento que hace girar al disco. Si la carga total Q está uniformemente distribuida en el perímetro del disco, el momento M de la fuerza que ejerce el campo eléctrico E sobre las cargas es
El momento de una fuerza actuando durante un tiempo modifica el momento angular del sólido en rotación alrededor de un eje fijo. El momento angular final Lmec del disco tiene la dirección del eje de rotación, y su módulo es Siendo m el momento magnético inicial.
Momento angular de los campos electromagnéticosLa explicación de esta paradoja es que los campos eléctrico y magnético estáticos tienen momento angular. Dichos campos y el disco forman las dos partes de un sistema aislado que están acopladas por medio de las cargas en el borde del disco. Cuando cambia la corriente en la bobina, parte del momento angular almacenando en los campos se transforma en momento angular mecánico del disco. El campo electromagnético en el vacío tiene un momento angular asociado con respecto al origen dado por la siguiente expresión
Donde S es el vector de Poynting y c la velocidad de la luz en el vacío. Después de algunas operaciones, cuya dificultad supera la de un curso introductorio de Física, se llega al resultado de que el momento angular del sistema formado por el disco y el campo electromagnético Lem+Lmec=0 como cabe esperar del principio de conservación del momento angular. Una parte del momento angular electromagnético se convierte en momento angular mecánico. Si solamente están presentes las cargas, hay campo eléctrico pero no magnético, el momento angular L vale cero. Si solamente está presente la bobina por la que circula una corriente estacionaria, hay campo magnético pero no hay campo eléctrico, el momento angular es también cero. Cuando ambos campos están presentes el momento angular no es nulo. Una deducción alternativa, se fundamenta en la fuerza que ejerce el campo magnético producido por la bobina sobre una carga puntual q que se trae desde el infinito hasta el borde del disco. Supongamos que tenemos la bobina por la que circula una corriente estacionaria y las cargas eléctricas están en el infinito, no hay por tanto, momento angular. Movemos las cargas desde el infinito radialmente hacia el borde del disco con velocidad constante v. Cuando una carga puntual q está a una distancia y del centro del disco, experimenta una fuerza f debido al campo magnético B producido por la bobina
Para mover la carga q con velocidad constante hemos de ejercer una fuerza exterior fext=-f. Esta fuerza produce un momento respecto del origen (el brazo de la fuerza es y), r=yj
El momento angular que almacena el campo electromagnético será
Siendo v·dt=-dy. El vector Lem tiene la dirección del eje Z, y es independiente de la velocidad v con que se mueve la carga desde el infinito hasta el borde del disco. Nota: una carga q al moverse con velocidad v produce un campo magnético, pero este campo no produce una fuerza sobre dicha carga en movimiento.
SimulaciónLa bobina se puede conectar o desconectar de la batería.
El momento magnético de la bobina es m=i·Nπa2, donde N es el número de espiras, y a es el radio de las espiras. El momento magnético m tiene el mismo comportamiento que la intensidad i. La razón de su cambio con el tiempo es
El signo positivo se obtiene cuando se conecta la batería a la bobina, y el negativo cuando se desconecta. El momento de las fuerzas que ejerce el campo eléctrico generado sobre las cargas situadas en el bode del disco, lo podemos escribir
Aplicando la ecuación de la dinámica de rotación, obtenemos el valor de la aceleración angular α, siendo Ic es el momento de inercia del disco.
Integrando con respecto del tiempo, obtenemos la velocidad angular de rotación.
La velocidad angular final ωf =kτ y el momento angular L no dependen de la constante de tiempo τ, y valen en módulo
El último factor, es el momento magnético inicial m=i0·Nπa2 Integrando la velocidad angular ω respecto del tiempo obtenemos la posición angular θ.
Cuando se alcanza la velocidad angular constante ωf=kτ, el movimiento del disco es uniforme.
ActividadesSe introduce
El programa interactivo ha fijado, los valores de:
Se activa los botones de radio que indican
Se pulsa el botón titulado Empieza Se observa el movimiento de rotación del disco. En la parte superior derecha, se proporcionan los valores del tiempo t y de la velocidad angular de rotación ω en unidades arbitrarias. Observaremos que
Se muestra mediante vectores.
Se aconseja al lector:
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Un caso sencillo de momento angular de los campos electromagnéticosEl modelo de Feynman es atractivo, pero presenta cierta dificultad a la hora de calcular el momento angular de los campos electromagnéticos. En este apartado se propone un modelo simple que permite demostrar que la suma del momento angular mecánico Lmec y electromagnético Lem es cero, verificándose el principio de conservación del momento angular.
Momento angular mecánicoEn el instante t, la intensidad que circula por los cables coaxiales es i(t). El campo magnético ejerce una fuerza sobre las corrientes radiales que fluyen desde el borde de las placas circulares hacia los cables coaxiales en la placa superior, y a la inversa en la inferior. La fuerza que ejerce un campo magnético B sobre una porción de corriente por la que circula una intensidad i es
El vector densidad de corriente J tiene la dirección y sentido del vector unitario ut y se define como
La fuerza que ejerce el campo magnético sobre la corriente de intensidad i la podemos escribir en términos del vector densidad de corriente J
y el momento de dicha fuerza respecto del eje de rotación
Las figuras indican la dirección y el sentido del momento M para la placa circular inferior. Para la placa circular superior el sentido de M es el contrario.
Teniendo en cuenta que el volumen de la capa cilíndrica (en color amarillo) de espesor d comprendida entre r y r+dr es dV=2πrdr·d. El momento Mb de las fuerzas que ejerce el campo magnético sobre la corriente i en la placa inferior es
Para la placa circular superior el momento Ma se calcula de forma similar dando
El momento total es M=Ma-Mb=iB(a2-b2)/2. La dirección de M es la del eje de rotación y su sentido positivo (hacia arriba) El momento mecánico angular final es
donde Q es la carga final de los conductores (véase carga de un condensador) Como a>b el momento angular mecánico tiene la dirección del eje de rotación y sentido positivo (hacia arriba).
Momento angular del campo electromagnéticoHemos calculado, aplicando la ley de Gauss, el campo eléctrico producido por dos conductores cilíndricos coaxiales de longitud l y de radios b y a cargados con carga Q iguales y opuestas.
El módulo del vector de Poynting S=E×B/μ0 vale
El momento angular electromagnético es
Teniendo en cuenta que el volumen de integración es el volumen de la capa cilíndrica de longitud l comprendida entre a y b, y que el elemento de volumen dV=2πrl·dr. Recordando que c es la velocidad de la luz en el vacío y 1/c2=ε0·μ0 El módulo del momento angular Lem es
La dirección de Lcm es la del eje de rotación y su sentido negativo (hacia abajo).
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Aguirregabiria J. M., Hernández A. The Feynman paradox revisited. Eur. J. Phys. 2 (1981), pp. 168-170.
Bahder T, Sak J. Elementary solution to Feynman’s disk paradox. Am. J. Phys. 53 (3) May 1993, pp. 495-497.
Driver H. S. T. Angular momentum in static electric and magnetic fields: A simple case. Am. J. Phys. 55 (8) August 1987. pp. 755-757
Momento angular de
los campos EM (I)
