Electromagnetismo

Ley de Faraday

Espiras en un campo
magnético variable (I)

Espiras en un campo
 magnético variable (II)

Demostración de 
la ley de Faraday (I)

Demostración de 
la ley de Faraday (II)

Acelerador de partículas
El betatrón

Varilla que se mueve
en un c. magnético (I)

Caída de una varilla
en un c. magnético

Movimiento de una
espira a través de
un c. magnético

Medida del campo
magnético

Generador de corriente
alterna

Galvanómetro balístico

Corrientes de Foucault

Imán en tubo metálico

Inducción homopolar

Un disco motor y
generador

Varilla que se mueve
en un c. magnético (II)

Varilla que se mueve
en un c. magnético (III)

Varilla que se mueve
en un c. magnético (IV)

Momento angular de
los campos EM (I)

Momento angular de
los campos EM (II)

Solución de la ecuación del movimiento

Actividades

Determinación de la velocidad límite

Balance energético

Referencias

Para una demostración práctica de la ley de Lenz se usan imanes cilíndricos que se dejan caer verticalmente en un tubo de cobre o de aluminio. Se puede comprobar experimentalmente que la fuerza que se opone al peso es proporcional a la velocidad del imán. La misma situación que hemos encontrado en el movimiento vertical de una varilla en el seno de un campo magnético uniforme.

La constante de proporcionalidad k depende del cuadrado del momento magnético del imán y de otros factores como el diámetro interior del tubo, espesor, su conductividad, etc.

Supongamos que un imán cilíndrico desciende con su polo Sur (color azul) delante y el polo Norte (de color rojo) detrás. En un imán las líneas del campo magnético salen del polo Norte y entran en el polo Sur.

En  la figura, se ilustra la aplicación de la ley de Lenz para explicar el origen de la fuerza retardadora sobre el imán en términos de las corrientes inducidas en el tubo de metal.

1. Durante el descenso del imán, el flujo del campo magnético se incrementa en la región próxima al polo Sur del imán. Se origina en el tubo una corriente inducida que se opone al incremento de flujo, en el sentido indicado en la parte (1) de la  figura.
2. El flujo del campo magnético disminuye en la región próxima al polo Norte, se origina en el tubo una corriente inducida que se opone a la disminución del flujo, en el sentido indicado en la parte (1) de la figura

El momento magnético del imán y el de las corrientes inducidas está representado en la parte (2) de la figura.

En la figura (3), mostramos la equivalencia entre corrientes (espiras o solenoides) e imanes, de modo que la corriente inducida por delante del polo Norte equivale a un imán de polaridad opuesta, por lo que se repelen. Sin embargo, la corriente inducida por detrás del imán tiene la misma polaridad por lo que se atraen.

El imán que desciende por el tubo metálico es repelido por delante y atraído por detrás. Esta es la explicación cualitativa de la fuerza de frenado en términos de la ley de Lenz.

Modelo electromecánico

Vamos a elaborar un modelo que explique las características esenciales del movimiento del imán en un tubo metálico vertical. En este modelo sustituimos el tubo metálico que tiene un radio interior y un radio exterior, por un conjunto de espiras del mismo radio a, separadas una distancia d. El imán se mueve a lo largo del eje vertical común de las espiras. Supondremos que cada espira presenta una resistencia R al paso de la corriente inducida. En la figura, se muestran las corrientes inducidas que se generan en el tubo por delante y por detrás del imán.

No consideraremos los efectos de la autoinducción de cada espira, ni la inducción mutua entre espiras.

En las páginas tituladas “Demostración de la ley de Faraday”, hemos estudiado la corriente inducida producida en una espira, cuando un imán se mueve a lo largo de su eje con velocidad constante. La corriente inducida no afecta al movimiento del imán.

En esta página, vemos a estudiar un ejemplo algo más complicado. El imán se sitúa a cierta altura, se libera y cae bajo la acción de la gravedad hacia las espiras a lo largo de su eje. Se originan corrientes inducidas en las espiras próximas que van a modificar el movimiento del imán.

Efecto de una espira

En primer lugar, vamos a ver el efecto de una espira

Fuerzas sobre el imán

El campo magnético producido por una espira de radio a por la que circula una corriente eléctrica de intensidad I, en un punto z de su eje es

Consideramos el imán como un dipolo de momento μ= μk

La energía potencial de un dipolo de momento magnético μ en un campo magnético B que tiene la dirección del eje Z es el producto escalar

U=-μ·B=-μ·B_z

Como B es variable a lo largo del eje de la espira, el dipolo magnético experimenta una fuerza

Si la corriente I en la espira es negativa (en el sentido de las agujas del reloj) la fuerza es repulsiva (las corrientes se repelen si tienen sentido contrario y se atraen, si tienen el mismo sentido).

Aplicamos la segunda ley de Newton al movimiento del imán

Ecuación del circuito (espira)

Si consideramos que el imán es un dipolo magnético de momento magnético μ=iπa², el campo magnético producido por el imán tiene la siguientes componentes. En la figura, se muestran las líneas de campo magnético producido por el imán.

El flujo del campo producido por el imán a través de una espira de radio a es.

Dado que el plano de la espira es perpendicular al eje Z, el flujo de la componente Y del campo es nulo.

El elemento diferencial de superficie dS, es el área de un anillo de radio y y de espesor dy, su valor es dS=2πy·dy

Aplicando la ley de Faraday

La espira tiene una resistencia R. La espira es equivalente al circuito de la figura, cuya ecuación es Vε=IR

Solución de la ecuación del movimiento

Sustituyendo la intensidad I en la ecuación del movimiento, obtenemos la ecuación diferencial

Como dz/dt<0, la fuerza que ejerce sobre el imán el campo magnético producido por la corriente inducida de la espira se opone a la velocidad, es una fuerza de frenado, pero no es de la forma λv, ya que λ no es constante.

Para determinar la posición y velocidad del imán en función del tiempo, tenemos que resolver una ecuación diferencial de segundo orden por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, z=z₀, dz/dt=0. El imán parte del reposo desde la altura z₀.

Escribimos la ecuación diferencial en forma adimensional, definiendo las nuevas variables x y τ.

La ecuación diferencial en términos de las variables adimensionales x, τ se escribe.

En este sistema de unidades, el peso equivale a una fuerza de una unidad y la fuerza que ejerce el campo magnético producido por la corriente inducida en la espira sobre el imán es

Donde x es la posición del imán respecto del centro de la espira. Como vemos esta fuerza disminuye rápidamente con x, por lo que solamente hemos de considerar el  efecto de las espiras más próximas al imán.

Efecto de un conjunto de espiras

Situando el origen en O, la posición de la espira j es yj, la posición del imán es y. La posición del imán respecto del centro de la espira es xj=y-yj La resultante de las fuerzas que ejerce el campo magnético producido por las corrientes inducidas que circulan por las 2n espiras más próximas al imán por encima y por debajo valen donde j es la espira más próxima que está por debajo del imán.

Todas las fuerzas tienen la misma dirección y sentido (opuesto a la velocidad) independientemente, de que la espira está por encima o por debajo del imán. Como hemos visto, esto se debe a que las corrientes inducidas en las espiras que están por debajo del imán tienen un sentido y las que están por encima, tienen sentido contrario.

• Cuando el imán se aleja de una espira, el campo magnético producido por la corriente inducida, lo atrae.

• Cuando el imán se acerca a una espira, el campo magnético producido por la corriente inducida, lo repele.

La fuerza neta sobre el imán se calcula sumando las interacciones magnéticas de todas las espiras, que como vemos es una función de la velocidad del imán, y lo frenará. Cuando esta fuerza se iguala al peso, la aceleración será cero y el imán caerá con velocidad límite constante.

La ecuación del movimiento del imán es

Se resuelve esta ecuación diferencial por procedimientos numéricos, con las siguientes condiciones iniciales: en el instante adimensional τ=0, y=y₀, dy/dτ=0. El imán parte del reposo desde la posición adimensional y₀.

Actividades

Se introduce

• El valor de la constante k, actuando en la barra de desplazamiento titulada Parámetro

Se pulsa el botón titulado Empieza

El imán parte del reposo desde la altura y₀=10. Se señala su polo norte en color rojo y el polo sur en color azul.

El tubo metálico se ha sustituido por espiras iguales situadas a una distancia de una unidad unas de las otras.

Observamos el movimiento de caída del imán, como incrementa su velocidad, pero tiende a hacia un valor medio constante a medida que transcurre el tiempo.

Al lado del imán se dibujan las fuerzas sobre el mismo:

• El peso que vale una unidad (color negro)

• La fuerza de frenado que ejercen los campos magnéticos producidos por las corrientes inducidas en las espiras sobre el imán (en color rojo).

En el programa interactivo se ha considerado más que suficiente el efecto de las 10 espiras más próximas al imán: cinco por encima y cinco por debajo de su posición actual.

Mediante el movimiento de puntos rojos situados en las espiras (portadores de carga positivos) se señala el sentido de la corriente inducida.

• Las corrientes inducidas en las espiras por encima del imán tiene sentido contrario a las agujas del reloj

• Las corrientes inducidas en las espiras por debajo del imán tiene el sentido de las agujas del reloj.

Podemos observar, que los puntos rojos se mueven más deprisa en las espiras más próximas al imán y muy poco, en las espiras más alejadas. La velocidad de los puntos rojos nos da una idea del valor de la intensidad de la corriente inducida en la espira.

En la gráfica situada a la derecha del applet, se representa:

• En el eje horizontal el tiempo adimensional τ

• En el eje vertical, la velocidad adimensional, dy/dτ

Podemos observar que la velocidad media del imán tiende hacia un valor constante, aunque acelera y decelera cuando se mueve entre dos espiras consecutivas.

Determinación de la velocidad límite

La experiencia demuestra, que cuando un imán se deja caer en el interior de un tubo metálico, la velocidad límite constante se alcanza casi instantáneamente.

Esta velocidad dependerá de la conductividad del material del que está hecho el tubo, de su radio interior y exterior. De la masa del imán y de los valores de las componentes del campo magnético en la sección del tubo metálico y a lo largo del tubo.

El campo magnético creado por el imán ejerce una fuerza sobre las corrientes inducidas en el tubo, de acuerdo con la tercera ley de Newton, las corrientes inducidas ejercen una fuerza igual y de sentido contrario en el imán. En este apartado, calculamos la fuerza que ejerce el campo magnético producido por el imán sobre las corrientes inducidas en la pared del tubo.

Consideremos un tubo metálico hecho de un material de conductividad σ, de radio interior c, de radio exterior b, de radio medio a=(b+c)2, y espesor δ=b-c.

El campo magnético producido por el imán tiene dos componentes, una componente radial B_y y la otra a lo largo del eje vertical, B_z. La fuerza sobre una porción dl de corriente inducida de intensidad I es

dF=I(u_t×B)dl

• La componente B_z del campo produce una fuerza cuya dirección es radial,

• La componente B_y produce una fuerza cuya dirección es vertical

La fuerza resultante sobre la espira es vertical, anulándose por simetría en la dirección radial.

dF_z=IB_ydl=JB_y·dV

donde J es la densidad de corriente y dV=2πy·dy·dz es el elemento de volumen, véase la figura más arriba.

• La ley de Ohm se expresa J=σE,  donde σ es la conductividad del material del tubo

• La ley de Faraday, se expresa E=v×B

E=-vk×(B_yj+B_zk)=vB_yi

j es un vector unitario en la dirección radial e i es un vector unitario en la dirección tangencial (de la corriente)

Para calcular una integral doble, tenemos que conocer el valor de la componente radial B_y del campo magnético producido por el imán en la sección del tubo y a lo largo del tubo.

1. La primera aproximación, es la de suponer que el imán se comporta como un dipolo magnético, la fuerza de frenado se expresa

Primero se integra la variable y, calculando la fuerza que ejerce un anillo de altura dz. La fuerza neta sobre el imán se calcula sumando las interacciones magnéticas de todas los anillos, integrando respecto de z. Cuando esta fuerza se iguala al peso, la aceleración será cero y el imán caerá con velocidad límite constante.

Donde c y b son los radios interior y exterior del tubo metálico, y z₁ y z₂ los límites de la región del tubo metálico donde se producen las corrientes inducidas.

Para resolver la integral se realizan dos aproximaciones más:

2. El espesor δ=b-a del tubo metálico es pequeño, la componente radial del campo B_y no cambia sustancialmente en la sección del tubo metálico situada a una distancia z del imán, su valor constante se toma para el radio medio del tubo,  y=a=(b+c)/2. La sección del tubo es un anillo radio interior c y exterior b cuya área es πb²-πc²=2πaδ

3. La longitud del tubo es infinita z₁=-∞ y z₂=+∞

Queda por resolver la integral definida. Primero, integramos por partes

Hacemos el cambio de variable

z=a·tanθ, dz=a·dθ/cos²θ

Empleamos la relación trigonométrica

La integral se convierte en

El resultado final es

Ahora calculamos la integral definida

Recuérdese que al hacer el cambio de variable z=a·tanθ,  los límites de integración cambian de z=-∞, z=+∞, a θ=-π/2, θ=+π/2.

La expresión final de la fuerza es

El imán parte del reposo, cae a través del tubo metálico y rápidamente alcanza la velocidad límite constante. En este régimen, el peso se iguala a la fuerza de rozamiento, la velocidad v límite constante vale entonces.

Ejemplo (MacLatchy)

• Imán de masa m=6.12 g y de momento magnético μ=0.67 A·m²

• El tubo de cobre tiene una radio interior de c=7.29 mm y un radio exterior de b=7.96 mm. El radio medio a=(c+b)/2=7.625 mm, y el espesor δ=0.67 mm. La conductividad del cobre es σ=5.08·10⁷ Ω^-1·m^-1

• Teniendo en cuenta que μ₀=4π·10^-7 en unidades S.I.

Obtenemos v=19.13 cm/s, el valor medido es 12.7 cm/s

Balance energético

En el apartado anterior, hemos calculado la fuerza de frenado del imán F_z que es proporcional a la velocidad v del imán y la velocidad límite constante con la que cae cuando la fuerza de frenado se iguala al peso, F_z=mg.

Es conveniente imaginar que el tubo metálico de radio medio a y espesor δ está uniformemente subdividido en anillos paralelos de longitud l.

Cuando el imán empieza a moverse el flujo magnético que atraviesa cada anillo empieza a cambiar. De acuerdo a la ley de Faraday, se induce una corriente dentro del anillo. Como hemos visto en los apartados anteriores

• Cuando el imán se aleja de un anillo, el campo magnético producido por la corriente inducida, lo atrae.
• Cuando el imán se acerca a un anillo, el campo magnético producido por la corriente inducida, lo repele.

La fuerza neta sobre el imán se calcula sumando las interacciones magnéticas producidas por todas las corrientes, que como hemos visto es de sentido contrario a la velocidad del imán y su módulo es una función de dicha velocidad por lo que lo frenará. Cuando esta fuerza se iguala al peso, la aceleración será cero y el imán caerá con velocidad límite constante.

Desde el punto de vista energético, cuando el imán se mueve con velocidad constante, su energía cinética no cambia, la disminución de la energía potencial gravitatoria se convierte en calor producido por las corrientes inducidas en la pared del tubo metálico. En el estado estacionario, la variación de energía potencial en la unidad de tiempo mgv se convierte en energía disipada por efecto Joule en la resistencia que opone el tubo a las corrientes inducidas.

donde v es la velocidad límite constante, I(z) es la corriente inducida en el anillo situado en la posición z a lo largo del tubo vertical, R es la resistencia del anillo.

El problema que hemos de resolver es el cálculo de I(z), la distribución de corrientes en cada anillo.

Para calcular la intensidad de las corrientes inducidas I(z) tenemos que elegir un modelo de imán. El modelo de dipolo magnético es correcto solamente para puntos muy distantes del imán, pero no lo es para un imán cuyo tamaño es comparable al radio del tubo.

En la página titulada “Demostración de la ley de Faraday (I)” hemos considerado otro modelo de imán, el formado por dos cargas magnéticas q puntuales iguales y opuestas que distan d, la longitud del imán.

El campo magnético B en las proximidades de un polo magnético tiene una expresión similar a la del campo eléctrico de una carga puntual.

apunta radialmente hacia fuera o hacia la carga según sea q positiva o negativa

Si el tubo tiene un radio medio a, y un espesor δ. El flujo del campo magnético producido por la carga magnética positiva través de una espira de radio a, para z+d>0, es

donde dS=2πy·dy es el área del anillo comprendido entre los radios y e y+dy.

El flujo del campo magnético producido por la carga magnética negativa través de la espira de radio a, para z>0, es

El flujo total es

A medida que el imán cae, el flujo a través de la espira cambia, lo que produce una fem

La intensidad es

I(z)=V_ε(z)/R

Donde R=ρ(2πa)/(δl), la longitud del anillo es 2πa¸la sección δl y la resistividad ρ=1/σ donde σ es la conductividad del material

La energía por unidad de tiempo disipada se obtiene evaluando la suma. En el límite continuo

Igualando la disminución de energía potencial en la unidad de tiempo mgv con la energía por unidad de tiempo disipada por efecto Joule en las pared del tubo vertical

Aproximación dipolar

Cuando las dimensiones del imán son mucho más pequeñas que el radio del tubo, d<<a, la integral se puede resolver

Donde hemos empleado en la segunda línea, la aproximación (a+b)ⁿ=aⁿ+na^n-1·b+… cuando b<<a

En el apartado anterior, hemos obtenido el resultado de esta integral

Donde el producto q·d es el momento magnético μ del imán

Hemos obtenido la misma fórmula que en el apartado anterior, utilizando otro modelo y efectuando otras aproximaciones.

Cuando las dimensiones d del imán es comparable al radio a del tubo, es necesario calcular la función f(d/a) por integración numérica. En el programa interactivo, empleamos el procedimiento de Simpson y sustituimos los límites infinitos superior e inferior por -200 y +200 dividiendo dicho intervalo en 2000 partes.

Actividades

Se introduce

• El cociente d/a (longitud del imán/radio del tubo) actuando en la barra de desplazamiento titulada Cociente d/a.

Se pulsa el botón titulado Calcula

• Se representa la función f(d/a) en el intervalo 0<d/a<4

• Se calcula y se muestra en el eje de ordenadas el valor de f(d/a) calculado para un valor particular de d/a.

Ejemplo:

• El tubo es de cobre ρ=1.75·10^-8 Ω·m y de dimensiones. Radio a=7.85 mm, espesor δ=1.9 mm.

• El imán tiene una longitud de d=6.35 mm,

• De la medida del campo magnético en el eje del imán se deduce que las cargas magnéticas puntuales valen q=112.05.

En el programa interactivo, introducimos el valor del cociente d/a=0.809 y obtenemos f(d/a)=0.581, distinto del valor que se obtendría con la aproximación dipolar

La velocidad límite constante del imán vale

Experimentalmente, el imán recorre una longitud de 1.7 m en 22.9 s, la velocidad límite constante es v=7.4 m/s

El tiempo que emplearía cayendo libremente desde la misma altura sería