Física Estadística y Termodinámica |
Termodinámica Conceptos básicos de Termodinámica Trasformaciones termodinámicas Indice adiabático de un gas (I) Indice adiabático de un gas (II) Indice adiabático del aire El soplo de la bomba atómica Cohete propulsado por un gas a presión
Procesos cuasiestáticos El ciclo de Carnot Segundo principio Proceso reversible (I) Proceso reversible (II) Aproximación al equilibrio |
 Oscilaciones
libres |
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En la página titulada "Índice adiabático de un gas" estudiamos las oscilaciones de una bola a lo largo de un tubo vertical. En esta página profundizamos el estudio de dichas oscilaciones. Se trata de una situación similar a la que se describe en la página titulada “Oscilaciones de una boya en el agua”. Consideremos un sistema aislado consistente en un recipiente en posición vertical con un émbolo, que separa dos zonas, una que contiene el gas y otra que está vacía, p=0. Supondremos que el émbolo desliza sin rozamiento, que el gas está en todo momento en equilibrio, y que el recipiente no pierde calor a través de sus paredes. Partiendo de una situación de no equilibrio, el sistema evoluciona y regresa a la situación inicial después de un cierto tiempo. A continuación, presentaremos una situación más realista, en la que partiendo de una situación de no equilibrio, el sistema evoluciona llegando a una situación final de equilibrio, alejada de la la situación de partida.
Oscilaciones libresSea un recipiente cilíndrico de sección S, perfectamente aislado, en posición vertical con un émbolo que separa una parte que está vacía a presión p=0, y la otra parte que contiene un gas. Ecuación de los gases perfectos Si que la temperatura absoluta del gas es T, y su altura es y. La ecuación de los gases perfectos, nos relaciona la presión p=f/S, el volumen V=y·S y la temperatura T de una masa de gas o de su número n de moles. p·V =nRT Donde f es la fuerza que ejerce el gas sobre el émbolo debido a la presión, y R=8.3143 J/(ºK·mol) es la constante de los gases La energía interna del gas ideal es
El índice γ=5/3 para un gas monoatómico, y γ=7/5 para un gas diatómico
Casos particularesAntes de formular la ecuación del movimiento, vamos a estudiar algunas situaciones especiales. Situación inicial de equilibrio
La energía inicial del gas ideal es
Instante inicial
Posición de equilibrio
La ecuación de la transformación adiabática entre la posición inicial y la de equilibrio, nos permite calcular ye.
La temperatura del gas Te se calcula a partir de la ecuación del gas ideal fe·ye =nRTe
Conocida ye, calculamos la velocidad ve del conjunto émbolo-bloque aplicando el principio de conservación de la energía.
En el miembro izquierdo, tenemos
En el miembro de la derecha tenemos
Máxima comprensión del gas
El principio de conservación de la energía se escribe para la posición ym de máximo desplazamiento.
En esta posición, la energía potencial del conjunto bloque-émbolo se convierte enteramente en energía interna del gas ideal. La ecuación de la transformación adiabática, se escribe
Introduciendo fm en la ecuación de la conservación de la energía, obtenemos una ecuación en ym cuya raíz es preciso calcular empleando procedimientos numéricos. Conocido fm e ym, la temperatura Tm del gas se calcula a partir de la ecuación del gas ideal
Cuando se llega a esta posición, se ha completado un semiperiodo de la oscilación. El émbolo y el bloque vuelven a recorrer el camino inverso hasta que regresan a la posición inicial de partida en el instante t=0.
Ecuación del movimiento
Supongamos que el émbolo y el bloque están en la posición ye de equilibrio estable. Si se desplaza x de dicha posición, la fuerza que ejerce el gas sobre el émbolo f tiende a restaurar al conjunto émbolo-bloque a la posición de equilibrio. Un comportamiento similar al del sistema formado por una partícula y un muelle elástico Las fuerzas sobre el conjunto de los dos cuerpos, cuando el émbolo se encuentra en la posición y=ye-x, son
La segunda ley de Newton se escribe
La fuerza f la podemos calcular a partir de la transformación adiabática
Resolvemos la ecuación diferencial por procedimientos numéricos, con las condiciones iniciales t=0, v=dx/dt=0, x=-(y0-ye). Si x<<ye. podemos escribir la aproximación
La ecuación diferencial se escribe
que es la ecuación diferencial de un MAS de frecuencia angular ω2=gγ/ye Balance energéticoCuando el émbolo desciende, la energía potencial del conjunto de los dos cuerpos disminuye, aumenta la energía cinética, y la energía interna del gas aumenta al incrementarse la presión y reducirse el volumen. Cuando el émbolo asciende ocurre el proceso inverso. Si se desprecian las pérdidas, el principio de conservación de la energía se escribe
En la figura, se representa la energía potencial Ep en función de la posición y del émbolo
Para una energía total E
se señala la posición de partida y0, la de equilibrio ye, en el mínimo de la curva de energía potencial y la de máxima comprensión ym cuando E=Ep, y la velocidad v=0.
Supongamos que el sistema formado por el conjunto bloque-émbolo y el gas es aislado. La ecuación del balance energético es
En el miembro izquierdo, tenemos la energía interna del gas y potencial del conjunto bloque-émbolo, a la derecha, la energía cinética y potencial del conjunto bloque-émbolo y la energía interna final del gas. El émbolo llega a la posición de equilibrio estable y=ye después de cierto tiempo, con velocidad v=0. En esta posición de equilibrio, la fuerza f que ejerce el gas sobre el émbolo debido a la presión se anula con el peso del conjunto formado por el bloque y el émbolo f=(m0+mp)g=mg
La energía potencial del conjunto émbolo-bloque correspondiente a la altura (y0-ye) se convierte enteramente en energía interna del gas en la posición final de equilibrio ye. Despejando ye
Un caso particular interesante, es aquél en el que la masa del bloque mp se hace muy grande, el volumen del gas no se reduce a cero, como cabría esperar, sino que tiende a un valor límite.
Si no hay pérdidas de calor, la energía potencial del conjunto bloque-émbolo en la posición inicial se convierte en energía interna del gas en la posición final de equilibrio.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Inicio. Se observa el estado inicial de equilibrio cuando el émbolo está a una altura y0.
Se pulsa el botón titulado Empieza Se pone el bloque sobre el émbolo y observamos su movimiento descendente, comprimiendo el gas. Pulsando en los botones Pausa/Continua y Paso nos podemos acercar a la situación de equilibrio, cuando la resultante de las fuerzas sobre el conjunto formado por el émbolo y el bloque son nulas. Podemos utilizar la misma combinación de botones para acercarnos a la posición de máximo desplazamiento. Se representan las fuerzas sobre el conjunto émbolo-bloque,
y se proporciona el dato de la resultante f-mg. Se proporcionan los datos del tiempo y velocidad de émbolo en la parte superior derecha del applet. La temperatura (en kelvin) en la parte inferior del recipiente. En la parte derecha del applet, se representa la fuerza f que ejerce la presión del gas sobre el émbolo en función de la posición y del émbolo. La curva tiene la forma f·yγ=cte, que es la ecuación de una transformación adiabática. La constante se determina conociendo la fuerza f0 (presión) y la altura del émbolo y0 (volumen) en el instante t=0. Finalmente, se representa, mediante un diagrama en forma de tarta
en el que observamos la transformación de unos tipos de energía en otros. Ejemplo 1: Se introduce
Se pulsa el botón titulado Inicio
Se introduce la masa del bloque mp=3 kg Se pulsa el botón titulado Empieza.
Cuando se llega a esta posición, el émbolo empieza a ascender, hasta que llega a la posición inicial, completando un periodo. Ejemplo 2: Se introduce la masa del bloque mp=0.5 kg Se pulsa el botón titulado Empieza. Calculamos la posición de equilibrio
El periodo de las oscilaciones de pequeña amplitud es
El periodo que medimos en el programa interactivo, desde que parte de la situación inicial hasta que regresa a la posición de partida, es P=0.98 s.
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Oscilaciones amortiguadasEn la situación estudiada en el apartado anterior se desprecia el rozamiento en el movimiento del émbolo y se ha supuesto que el gas está en equilibrio en cada instante. Suponiendo que las paredes son perfectamente aislantes, la relación entre la presión y el volumen del gas es de la forma pVγ=cte. El conjunto formado por el émbolo y el bloque describen una oscilación, que es aproximadamente armónica cuando su la amplitud es pequeña, es decir, cuando el conjunto émbolo-bloque se mueve alrededor de la posición de equilibrio ye. Cuando el gas se comprime y se expande rápidamente, con gran turbulencia en el movimiento de sus moléculas, estas no siguen la ley de distribución de Maxwell-Boltzmann. El gas no estará en equilibrio en cada instante, por lo que no existirá una relación definida entre la presión p y el volumen V del gas. El comportamiento complejo del émbolo que comprime el gas cuando se sitúa un bloque en la posición inicial, se simula mediante el modelo de una oscilación amortiguada.
En la figura, se representa la situación inicial, la situación de equilibrio, y cuando el conjunto émbolo-bloque se ha desplazado x=ye-y de la posición de equilibrio La ecuación que describe una oscilación amortiguada es
Donde ω0 es la frecuencia de las oscilaciones libres, γ es la constante de amortiguamiento y A y φ son dos constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales. La velocidad del oscilador en función del tiempo es
En el instante t=0, la posición del conjunto émbolo-bloque es x0=ye-y0, y su velocidad es v=0. Los valores de la amplitud A y la fase inicial φ son
La posición y del émbolo en cada instante es y=ye-x
Al cabo de un cierto tiempo, teóricamente infinito, la posición final del conjunto bloque-émbolo es ye, su velocidad final es v=0.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Inicio. Se observa la situación inicial de equilibrio, cuando el émbolo está a una altura y0.
Se pulsa el botón titulado Empieza Se pone el bloque sobre el émbolo y observamos su movimiento Se representan las fuerzas sobre el conjunto émbolo-bloque,
y se proporciona el dato de la resultante f-mg. Se proporcionan los datos del tiempo y velocidad de émbolo en la parte superior derecha del applet, la temperatura (en kelvin) en la parte inferior del recipiente. En la parte derecha del applet, se representa la fuerza f que ejerce el gas sobre el émbolo en función de la altura y del émbolo, y se compara con la que corresponde al proceso reversible adiabático. La curva (de color azul) tiene la forma f·yγ=cte, que es la ecuación de una transformación adiabática. La constante se determina conociendo la fuerza f0 (presión) y el desplazamiento y0 (volumen) en el instante t=0. Finalmente, se representa la energía interna, la energía cinética del conjunto bloque-émbolo y su energía potencial mediante un diagrama en forma de tarta, en el que observamos la transformación de unos tipos de energía en otros. Ejemplo: Se introduce
Se pulsa el botón titulado Inicio En el estado inicial de equilibrio, la fuerza que ejerce el gas sobre el émbolo debida a la presión es f0=p0·S= m0g=1·9.8 N Conociendo su número n=0.002 de moles y la temperatura T0=293 K calculamos el volumen o la posición inicial y0 del émbolo, aplicando la ecuación de los gases perfectos, p0·V0=nRT0
Se introduce la masa del bloque mp=3 kg Se pulsa el botón titulado Empieza. El émbolo desciende y comprime el gas hasta que se detiene en la posición de equilibrio. El peso del conjunto bloque-émbolo (m0+mp)g=mg se iguala a la fuerza fe que ejerce el gas sobre el émbolo debido a la presión. fe=(1+3)·9.8 =39.2 N Como toda la energía potencial del conjunto bloque-émbolo se convierte en energía interna del gas, la posición final de equilibrio se obtiene
Calculamos ahora, la temperatura en la nueva situación de equilibrio
Te=644.6 K Una transformación adiabática entre el estado inicial f0=m0g, y0, y el estado final caracterizado por una fuerza debida a la presión fe=mg, es
Como vemos en la parte derecha del applet, hay diferencia entre
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Oscilaciones de un
émbolo
