Física Estadística y Termodinámica |
Termodinámica Conceptos básicos de Termodinámica Trasformaciones termodinámicas Indice adiabático de un gas (I) Indice adiabático de un gas (II) Indice adiabático del aire El soplo de la bomba atómica
Oscilaciones de un émbolo Procesos cuasiestáticos El ciclo de Carnot Segundo principio Proceso reversible (I) Proceso reversible (II) Aproximación al equilibrio |
 Mecanismo básico
|
|
| Sea un recipiente cilíndrico, situado en el vacío, con un émbolo que se puede desplazar sin rozamiento en su interior. Se fija el émbolo y el recinto se llena de gas a alta presión. Se libera el émbolo, el gas se expansiona y el recipiente se empieza a mover. En esta página, vamos a analizar un problema que comprende varias partes de la Física: la conservación del momento lineal, el balance energético, una transformación termodinámica, y nociones básicas de física estadística. Relacionaremos la temperatura del gas con la energía cinética media referida al c.m. de gas que se mueve.
Mecanismo básicoEn primer lugar, vamos a estudiar el mecanismo básico. Un conjunto de N partículas que simulan un gas ideal bidimensional, está encerrado en un recipiente. El usuario define el gas introduciendo los valores de
Cuanto mayor es el número de partículas menor es el grado de fluctuación, aunque al programa interactivo le lleva más tiempo calcular las posiciones y velocidades de cada una de las partículas. Cuando el recipiente está cerrado, las partículas chocan elásticamente con las cuatro paredes del recipiente. Si despreciamos las fluctuaciones, el recipiente no se mueve a consecuencia de los choques ya que la fuerza media sobre las paredes opuestas tiene el mismo módulo, la misma dirección y sentido contrario. Choques entre las moléculas del gas y las paredes del recipiente.
Podemos comprobar, que aproximadamente, un cuarto de las partículas se mueve en la dirección del eje X hacia la derecha y estas son las partículas que proporcionan momento lineal al recipiente.
Sea mp la masa de las partículas y up su velocidad antes del choque, y sea mc la masa del recipiente y uc su velocidad antes del choque. Las ecuaciones del conservación del momento lineal y de la energía cinética antes y después del choque elástico nos proporcionan dos ecuaciones de las cuales despejamos las velocidades vp y vc de de la partícula y del cilindro después del choque.
Para simular las colisiones de las moléculas de un gas con las paredes del recipiente, se utiliza un modelo de gas ideal bidimensional. Dada la velocidad media de las moléculas del gas, el programa interactivo emplea los métodos de Montecarlo, para asignar un valor al módulo de la velocidad a cada una de las N moléculas de acuerdo con la fórmula de la distribución de velocidades. La dirección de la velocidad se asigna mediante un número aleatorio uniformemente distribuido en el intervalo 0- 2p .
ActividadesSe introduce
Se pulsa en el botón titulado Empieza. Desaparece la tapa izquierda del recipiente. Se observa el movimiento de las partículas, su colisión con la pared derecha del recipiente y el movimiento del recipiente hacia la derecha con velocidad creciente. El centro de masas del sistema formado por el gas y por el recipiente no cambia (sistema aislado). Por la conservación del momento lineal a lo largo del eje X tendremos mg<vg>+mcvc=0 donde mg=N·mp es la masa del gas, <vg> su velocidad media a lo largo del eje X, (a lo largo del eje Y su velocidad media es cero), mc es la masa del recipiente y vc la velocidad del recipiente en un instante dado.
Si la masa del gas mg es igual a la masa del recipiente mc los centros de masas son equidistantes con la posición del c.m. del sistema aislado. Si son distintos las distancias son inversamente proporcionales a las masas mgxg+mcxc=0
|
Análisis del problema
Sistema aislado formado por tres componentesTenemos que estudiar un sistema aislado formado por tres componentes:
Comparamos la situación inicial a la izquierda de la figura (la posición del émbolo en el cilindro es z0) , y la situación en el instante t en la que el émbolo se ha movido a la posición z en el interior del cilindro. Podemos relacionar la posición z del émbolo en el interior del cilindro con la posición xc del cilindro. Calculemos la posición del c.m. del sistema aislado en el instante inicial y en el instante t.
El sistema aislado estaba inicialmente en reposo, su centro de masa no habrá cambiado de posición. La relación entre la posición del cilindro xc y la del émbolo z en el interior del cilindro es
La velocidad del c.m. del sistema aislado es cero
La velocidad del c.m. del gas es justamente la mitad de la velocidad del émbolo en el interior del cilindro, ya que si el émbolo se desplaza de z0 a z en el tiempo t, el centro de masa del gas se desplaza de z0/2 a z/2 en el mismo tiempo. Por tanto,
Teniendo en cuenta que vcm=0, relacionamos la velocidad del cilindro vc con la velocidad del émbolo en el interior del cilindro vce.
Como vemos es la misma relación que entre la posición xc del cilindro y el desplazamiento del émbolo en el interior del cilindro z-z0. Expresamos las velocidades del émbolo ve y del gas vg en función de la velocidad del cilindro vc, todas ellas medidas respecto del Sistema de Referencia del Laboratorio.
Expansión adiabática del gas idealEl cilindro está en el vacío, cerrado por un émbolo fijo situado en la posición z0, se conecta a una bomba de bicicleta que tiene las siguientes dimensiones: 20 cm de largo y 5 cm de diámetro, su volumen en litros es Vb=p 0.052·0.2·1000/4=0.393 l. Cada vez que se acciona la bomba se introducen en el cilindro nb moles de gas
La presión inicial del gas en el cilindro después de accionar N veces la bomba será p0V0=( N·nb)RT0 Se libera el émbolo y el gas se expande muy rápidamente (supondremos una transformación adiabática), hasta que el émbolo alcanza la posición z=d, (se sale fuera del cilindro). El volumen final será por tanto V=p r2d Calculamos la presión final p y la temperatura final T. Para un gas diatómico los calores específicos valen cv=5R/2, cp=cv+R=7R/2, índice adiabático g =cp/cv=7/5.
la temperatura final se calcula a partir de p y V
o bien, a partir de la ecuación de la adiabática expresada en términos de T y V.
Balance energéticoAl expandirse adibáticamente el gas ideal su temperatura disminuye y por tanto, su energía interna también disminuye. Esta energía se convierte en energía cinética del cilindro, del émbolo y del centro de masas del gas. La variación de energía interna DU de un gas ideal se calcula mediante la fórmula DU=ncv(T-T0) n es el número de moles del gas y cv es el calor específico a volumen constante, y T-T0 la variación de temperatura. Como T<T0 la energía interna disminuye. La expresión el balance energético del sistema aislado de tres componentes nos queda de la siguiente forma
Si la masa del gas mg es mucho más pequeña que la masa del émbolo me y del cilindro mc esta expresión se simplifica
La velocidad del cilindro vc es independiente del gas que lo contiene. A partir de esta ecuación, calculamos la velocidad del cilindro vc, la del émbolo ve y la del c. m. del gas vg.
Choque de las moléculas del gas con el cilindro.Una vez que el émbolo sale del cilindro, las moléculas del gas chocan con la pared derecha del cilindro dándole un empuje adicional tal como hemos visto en la primer apartado de esta página. La velocidad media de las moléculas del gas vm está relacionada con su temperatura mediante la fórmula
donde M es la masa molecular del gas ideal
Si suponemos además, que el choque es elástico la velocidad final del cilindro v’c será.
EjemploSupongamos que la posición inicial del émbolo z0=15 cm, y que accionamos N=6 veces la bomba de bicicleta. Liberamos el émbolo de su posición inicial. Se pide calcular la velocidad del cilindro cuando el émbolo llega al final de su recorrido, y la velocidad final del cilindro teniendo en cuanta el impulso adicional debido al choque de las moléculas del gas con su tapa derecha. Datos:
Ejemplo: Si elegimos CO2, mg=0.096·44/1000=4.215·10-3 kg.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Nuevo Se pulsa varias veces el botón titulado Llenar gas, para llenar el cilindro de gas comprimido. En la gráfica situada en la parte superior derecha del applet veremos un punto en el diagrama pV que señala la presión, el volumen y la temperatura inicial del gas en el recipiente. Se pulsa el botón titulado Empieza. El gas se expansiona adiabáticamente, podemos ver la transformación en el gráfico pV. También observamos cómo la temperatura disminuye. A su vez el émbolo y el cilindro se mueven en sentidos contrarios. Cuando el émbolo sale del cilindro, el gas sigue empujándolo hasta que un sexto (en promedio) de las moléculas del gas han chocado con la tapa derecha del recipiente. Apuntar los datos de la velocidad final del cilindro y compararlos con los cálculos realizados tomando como modelo el ejemplo.
|
Cohete propulsado
por un gas a presión
