Física Estadística y Termodinámica |
Termodinámica Conceptos básicos de Termodinámica Trasformaciones termodinámicas
Indice adiabático de un gas (II) Indice adiabático del aire El soplo de la bomba atómica Cohete propulsado por un gas a presión Oscilaciones de un émbolo Procesos cuasiestáticos El ciclo de Carnot Segundo principio Proceso reversible (I) Proceso reversible (II) Aproximación al equilibrio |
Método de Rüchhardt | |||||||||||||||||||||||||||
| Se coloca un tubo vertical de vidrio en la boca de un recipiente grande de gas de volumen V, y se cierra el recipiente con una bola esférica de acero de masa m que ajusta perfectamente al tubo de vidrio de radio r. Se desplaza la bola de su posición de equilibrio y empieza a oscilar con un periodo que podemos medir con un cronómetro. Conocido el periodo de la oscilación podemos determinar el índice adiabático del gas. Este es en esencia, el procedimiento de Rüchardt para medir el índice adiabático de un gas. También se describe en esta página una modificación de este procedimiento.
Método de Rüchardt
Los cambios de presión y de volumen del gas se describen mediante un proceso termodinámico. Si suponemos que la oscilación transcurre muy rápidamente podemos considerar que el proceso es adiabático. La relación entre la presión y el volumen del gas en dicho proceso viene dada por la ecuación.
donde V es el volumen del gas, p la presión y g el índice adiabático del gas. Cuando la bola se ha desplazado x de la posición de equilibrio, el volumen se ha reducido en V0-p r2x y la presión en el recipiente ha cambiado a p, de modo que
Despejando p
Dado que p r2x<< V0. Empleando el desarrollo de Newton (a+b)n hasta el primer término
La fuerza es proporcional al desplazamiento y de sentido contrario a éste, una clara indicación de que la partícula describe un M.A.S.
Cuando actuamos sobre la bola con el ratón separándola de su posición de equilibrio y soltándola, la bola comienza a oscilar.
La segunda ley de Newton en forma diferencial se escribe
Ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) de frecuencia y periodo
Medimos con un cronómetro el periodo P de las oscilaciones y calculamos el índice adiabático g del gas.
Debido al rozamiento entre la bola y las paredes interiores del tubo, la amplitud de las oscilaciones no es constante, sino que disminuye con el tiempo. Por otra parte, la bola tiene un diámetro ligeramente inferior al diámetro interior del tubo, por lo que el aire circula por el hueco existente entre la bola y el tubo.
La bola describe un MAS de amplitud A, frecuencia angular w y fase inicial j . La posición x y la velocidad v de la bola en función del tiempo t son x=A·sen(w t+j )
En la segunda experiencia, x0>0, de modo que la ecuación del movimiento es x=x0·cos(w t)
Modificación de RinkelUna modificación del método de Rüchardt fue sugerida por Rinkel en 1929. Este método consiste en sostener la bola en el extremo superior del tubo y dejarla caer, determinando la altura h que recorre antes de iniciar de nuevo el movimiento hacia arriba.
En la situación inicial, la bola se coloca en el extremo del tubo de vidrio y se mantiene sujeta con la mano. La presión del gas es la presión atmosférica patm y el volumen es V0.
Suponiendo que la trasformación entre el estado inicial y el estado final es adiabática, tenemos la siguiente relación Suponiendo que el volumen V0 es muy grande respecto a los cambios de volumen del gas en el tubo. Llegamos a la siguiente relación aproximada.
Comparemos la situación inicial con la bola en el extremo superior del tubo, con la situación en la que la bola alcanza su máximo desplazamiento recorriendo la altura h antes de iniciar el movimiento ascendente.
El trabajo es igual a la variación de energía potencial, ya que la energía cinética no cambia W=-mgh Llegamos finalmente a la expresión
Ejemplo: Se necesitan para calcular el índice adiabático del gas elegido, los siguientes datos
Supongamos que elegimos:
Método de Rüchardt La masa de la bolita es
La presión de equilibrio es
En la escala horizontal leemos el tiempo de tres oscilaciones que es 2.98 s, el periodo de una oscilación es de P=0.99 s. Llevamos todos los datos a la fórmula del coeficiente adiabático del gas
Pulsando en el botón titulado Respuesta obtenemos el valor 1.62. El botón Inicio vuelve a dejar caer la bola en el extremo superior del tubo de vidrio, en disposición de volver a iniciar una nueva experiencia. Modificación de Rinkel Medimos el máximo desplazamiento h de la bola. Se utiliza los botones Pausa y Paso para llegar al momento en el que la bola va a iniciar su movimiento vertical ascendente. Con los datos del ejemplo anterior y h=49 cm=0.49 m, introducimos los datos en la fórmula
Aplicamos la ecuación de la transformación adiabática
o la aproximación
para calcular la presión del gas contenido en la vasija cuando la bola ha descendido una altura h=0.49 m p=102938 Pa Aplicamos la ecuación de los gases ideales para calcularla temperatura T final, suponiendo una temperatura inicial de 300 K. patm·V0=nR·300 Se obtiene T=301.8 K La variación de energía interna
ΔU=9.36 J es mucho mayor que la variación de energía potencial de la bola mgh=0.08 J
ActividadesIntroducimos los siguientes datos:
Pulsamos el botón Inicio. Si el diámetro del tubo es pequeño y la "experiencia" no se puede llevar a cabo con estos datos un mensaje nos la notifica, y procederemos a cambiar los datos. Se pulsa el botón titulado Empieza, la bolita empieza a oscilar. Podemos ver mediante flechas
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Simulación de una experiencia de laboratorioEl procedimiento de Rüchardt se emplea en los laboratorios de Física para medir el cociente γ=cp/cv de los calores específicos del aire. Una bola de metal de masa m, se libera en el extremo libre de un tubo de vidrio de radio r que se conecta a un gran recipiente de aire de volumen V. La bola experimenta oscilaciones amortiguadas. Si las variaciones de presión y volumen se consideran adiabáticas, el periodo P de las oscilaciones es
donde p0 es la presión atmosférica. La diferencia entre la presión de equilibrio p0=patm+mg/πr2 y la presión atmosférica patm=101300. es tan sólo de de 805 Pa. La modificación de Rinkel nos da el desplazamiento vertical h de la bola, es decir, el doble de la amplitud de la oscilación
Midiendo el periodo P o el máximo desplazamiento de la bola h, obtenemos el índice adiabático del gas considerado. Ahora bien, se puede mejorar el experimento, si se mide el periodo P y la longitud de caída h de la bola en función del volumen V de aire. El volumen de aire se puede cambiar poniendo agua en el recipiente. El volumen de aire V será igual a la diferencia entre el volumen del recipiente V0 y el volumen de agua Va introducida. Las dos expresiones anteriores se convierten en
Representando gráficamente P2 o h en función del volumen de agua Va obtenemos una línea recta, cuya pendiente nos permite calcular el índice adiabático γ del aire y cuya intersección con el eje de las ordenadas, el volumen V0 del recipiente.
ActividadesSe introduce
Primera experiencia Se activa el botón de radio titulado Altura. Se pulsa el botón titulado Inicio Con el puntero del ratón, se arrastra la flecha de color azul, para rellenar el recipiente con un volumen de agua Va. Se pulsa el botón titulado Empieza La bola describe un movimiento armónico simple. El volumen Va (en litros) de agua y la altura de caída h (en cm) se guardan en el control área de texto situado a la izquierda del applet Se pulsa el botón titulado Inicio Con el puntero del ratón, se arrastra la flecha de color azul, para rellenar el recipiente con otro volumen de agua Va distinto Se pulsa el botón titulado Empieza La bola describe un movimiento armónico simple. El volumen Va (en litros) de agua y la altura de caída h (en cm) se guardan en el control área de texto situado a la izquierda del applet. Cuando tengamos suficientes datos, se pulsa el botón titulado Gráfica, para representar los resultados “experimentales” (puntos de color rojo) y la recta de "ajuste".
La pendiente de la recta y la ordenada en el origen determinan
Ejemplo Seleccionamos el gas Argón, y activamos el botón de radio titulado Altura.
Medimos la altura h de caída de la bola para varios valores del volumen Va de agua. Pulsamos el botón titulado Gráfica. A partir de la pendiente de la recta, determinamos el índice adiabático del gas considerado. La pendiente de la recta de la figura en unidades m-2 es -0.49/0.01=-49 m-2. El programa nos proporciona una pendiente de -48.75 m-2
Medimos la ordenada en el origen 49 cm=0.49 m, o bien, conocida la tangente del ángulo θ y el cateto contiguo (10 litros=0.01 m3) calculamos el cateto opuesto (la ordenada en el origen) 48.75 ·0.01=0.4875 m
En la parte derecha del applet, disponemos de un manómetro, y vamos a ver que información nos puede suministrar Medimos la presión cuando la bola se encuentra en la posición de máximo desplazamiento.
La diferencia de presión p-p0 entre le gas contenido en el recipiente y la presión atmosférica es
Cuando la bola se ha desplazado x=h, la diferencia de presión es
es constante e independiente del tipo de gas y del volumen V0-Va del recipiente que lo contiene. La diferencia de presión corresponde a 1608=1000·9.8·(2x) a un desnivel 2·8.2 cm entre las dos ramas del manómetro de agua. Cuando la bola pasa por la posición de equilibrio h/2=0.17 cm, la diferencia de presión es la mitad del valor anterior. Se pulsa el botón titulado Pausa y luego, varias veces el botón titulado Paso, para acercarnos a la posición de de máximo desplazamiento. Como vemos el manómetro no nos suministra información acerca del tipo de gas que experimenta la transformación adiabática, solamente nos da información acerca de la masa y radio de la bola que dejamos caer en un tubo de igual radio.
Segunda experiencia Se activa el botón de radio titulado Periodo. Se pulsa el botón titulado Inicio Con el puntero del ratón, se arrastra la flecha de color azul, para rellenar el recipiente con un volumen de agua Va. Se pulsa el botón titulado Empieza La bola describe un movimiento armónico simple. Para medir el periodo, disponemos de un cronómetro. Se pulsa el botón titulado En marcha. Cuando se hayan completado cinco oscilaciones, se vuelve a pulsar el mismo botón titulado ahora Para. El tiempo se muestra en la parte superior del applet. El volumen Va (en litros) de agua y el periodo de cinco oscilaciones se guardan en el control área de texto situado a la izquierda del applet Se pulsa el botón titulado Inicio Con el puntero del ratón se arrastra la flecha de color azul, para rellenar el recipiente con otro volumen de agua Va distinto Se pulsa el botón titulado Empieza La bola describe un movimiento armónico simple. Con el cronómetro se mide el tiempo que tarda la bola en completar cinco oscilaciones. El volumen Va (en litros) de agua y y el periodo de cinco oscilaciones se guardan en el control área de texto situado a la izquierda del applet Cuando tengamos suficientes datos, se pulsa el botón titulado Gráfica, para representar los resultados “experimentales” (puntos de color rojo) y la recta de "ajuste".
La pendiente de la recta y la ordenada en el origen determinan
Ejemplo Seleccionamos Argón, y activamos el botón de radio titulado Periodo Medimos el periodo de cinco oscilaciones con el cronómetro para varios valores del volumen Va de agua. Pulsamos el botón titulado Gráfica. A partir de la pendiente de la recta determinamos el índice adiabático del gas considerado.
La pendiente de la recta de la figura es -1.0/0.01=-100 s2/m3 El programa nos proporciona una pendiente de -98.19 s2/m3
Medimos la ordenada en el origen 1.0 s2, o bien, conocida la tangente del ángulo y el cateto contiguo (10 litros=0.01 m3) calculamos el cateto opuesto (la ordenada en el origen) 98.19·0.01=0.9819 m
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Se pulsa el botón titulado Inicio, y se arrastrar con el puntero del ratón
la flecha de color azul.
Medir el periodo de cinco oscilaciones
Para el apartado "Simulación de una experiencia de laboratorio"
Deacon C, Whitehead J. Determination of the ratio of the principal specific heats for air. Am. J. Phys. 60 (9) September 1992. pp, 859-860.
Zemansky M. W. Calor y temperatura. Editorial Aguilar (1973), págs. 130-133
Indice adiabático
de un gas (I)
