Sólido rígido

Dinámica de rotación

Ecuación de la
dinámica de rotación

Momentos de inercia

Dinámica de rotación
y balance energético

Péndulo de torsión

Péndulo compuesto

El columpio

Rozamiento en el
movimiento de rotación

El oscilador de 
  "Atwood"

Varilla inclinada

Lápiz que cae (I)

Lápiz que cae (II)

Escalera que desliza

Escalera, estática y
dinámica

Ecuación del movimiento

Actividades

Referencias

En esta página, se estudia un sistema oscilante, que consiste en un disco de masa m_d y radio R. que puede girar alrededor de un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro.  Se pega una masa puntual m a una distancia r de su centro. Se equilibra el sistema, colgando una masa M de una cuerda enrollada al disco, tal como se muestra en la figura.

Equilibrio y estabilidad

El equilibrio se logra, cuando el momento del peso que cuelga respecto del eje de rotación del disco, es igual y de sentido contrario al momento de la masa adicional m pegada al disco a una distancia r de su eje. El desplazamiento angular de equilibrio θ_e  de la masa puntual es

MgR=mgr·senθe

La altura de equilibrio del bloque es h_e=R·θ_e

El ángulo θ_e existe si se cumple que MR≤mr

Estudiamos ahora la situación desde el punto de vista energético.

Consideremos la situación cuando la masa adicional m se ha desplazado un ángulo θ, y el bloque de masa M ha descendido una altura h=R·θ (véase la primera figura)

E_p(θ)=mgr(1-cosθ)-MgR·θ.

Calculamos sus extremos derivando la función energía potencial E_p(θ) respecto del ángulo θ, e igualando a cero.

hay dos posibles ángulos, θ_e y π-θ_e. Vamos a comprobar que al primero le corresponde un mínimo de la energía potencial, mientras que al segundo le corresponde un máximo. Hallamos la derivada segunda de la función energía potencial

El coseno es positivo (mínimo) para θ_e, y negativo (máximo) para π-θ_e.

En la figura, vemos que la función E_p(θ) presenta un mínimo para θ_e=41º, y un máximo para 180- θ_e=139º

Cuando mr=MR el máximo y el mínimo coinciden en θ=90º que es el punto de inflexión.

Cuando MR>mr la función energía potencial es una función decreciente de θ.

Ecuación del movimiento

En la figura, se muestran las fuerzas que actúan sobre el disco y las fuerzas que actúan sobre el bloque de masa M. El disco gira en el sentido indicado con aceleración angular α, y el bloque lleva una aceleración a. La relación entre ambas aceleraciones es  a=α·R Ecuación del movimiento del bloque Mg-T=Ma Ecuación del movimiento del disco y la masa puntual m Iα=T·R-mgr·senθ

El momento de inercia del disco de masa m_d y de la masa adicional m es

Eliminando la tensión T de la cuerda, llegamos a la ecuación diferencial del movimiento del disco

Se resuelve esta ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales t=0, θ=0, dθ/dt=0.

Oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio estable

Como caso particular, estudiamos las oscilaciones de pequeña amplitud, alrededor de la posición de equilibrio θ_e

Poniendo θ=θ_e+φ, en la ecuación diferencial

Desarrollando el seno de una suma, y aproximando senφ≈φ, cosφ≈1

Que es la ecuación diferencial de un MAS de frecuencia angular

Ejemplo:

• Masa del disco, m_d=1 kg

• Masa puntual pegada al disco, m=0.3 kg

• Masa del bloque que cuelga, M=0.1 kg

• Radio del disco R=1 m

• Distancia de la masa puntual m al centro del disco, r=0.5 m

Ángulos máximo y mínimo

La función energía potencial presenta un mínimo para θ_e=41.8º, y un máximo para 180- θ_e=138.2º

El periodo de las oscilaciones de pequeña amplitud alrededor de la posición de equilibrio estable es

En la simulación, el sistema parte del reposo desde la posición θ=0. La energía inicial es cero. Cuando se encuentra en la posición θ=60º=π/3, la energía potencial vale

E_p=0.3·9.8·0.5(1-cos(π/3))-0.1·9.8·1.0·(π/3)=-0.29 J

La energía cinética es la suma de la energía cinética de rotación del disco que se mueve con velocidad angular ω, y la energía cinética del bloque que se mueve con velocidad v. La relación entre ambas velocidades es v= ω·R

Aplicando el principio de conservación de la energía

E_k+E_p=0,

0.3375ω²-0.29=0, ω=0.93 rad/s

La energía potencial vuelve a ser cero en la posición

E_p(θ)=mgr(1-cosθ)-MgR·θ=0. El ángulo θ, se obtiene resolviendo la ecuación trascendente

mr(1-cosθ)-MR·θ=0
1.5(1-cosθ)-θ=0

La raíz es θ=1.71 rad=98º, como podemos apreciar en la primera gráfica.

El código en Lenguaje Java para resolver una ecuación trascendente por el procedimiento del punto medio, se encuentra en la página titulada "Otros máximos del tiro parabólico".

Actividades

Se pulsa el botón titulado Nuevo

• Se arrastra con el ratón el punto de color rojo, que representa la masa puntual m pegada al disco, para establecer la distancia r al eje del disco

Se introduce

• La masa puntual m, en el control de edición titulado Masa izquierda

• La masa del bloque que cuelga M, en el control de edición titulado Masa derecha

• El radio del disco se ha fijado en R=1 m

• La masa del disco se ha fijado en m_d=1 kg

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se dibuja la función energía potencial, observamos el máximo y el mínimo si existen.

A la derecha del applet, observamos el movimiento del sistema, que oscila alrededor de la posición del mínimo de energía potencial si existe, o el bloque cae si no existe posición de equilibrio estable.

Para comenzar una nueva experiencia se pulsa el botón titulado Nuevo