Sólido rígido

Dinámica de rotación

Ecuación de la
dinámica de rotación

Momentos de inercia

Dinámica de rotación
y balance energético

Péndulo de torsión

Péndulo compuesto

El columpio

Rozamiento en el
movimiento de rotación

El oscilador de 
"Atwood"

Varilla inclinada

Lápiz que cae (I)

Lápiz que cae (II)

Escalera que desliza

Escalera, estática y
dinámica

Balance energético

Actividades

Referencias

El movimiento de caída de un lápiz nos muestra que la ecuación del movimiento

donde el momento angular L y y el momento de las fuerzas exteriores M se evalúan en el punto O de contacto del lápiz con el suelo no es correcta, ya que O no está en reposo con respecto a un sistema inercial de referencia.

Tenemos que usar la ecuación

que es válida incluso si el centro de masas (c.m.) no está en reposo con relación al sistema inercial de referencia

Ecuación del movimiento

Las fuerzas sobre el lápiz son: El peso mg que actúa en el centro de masas La reacción del suelo N que actúa en el punto de contacto

La posición del c.m. es

y=(L/2)cosθ 

La velocidad del c.m. es

Ecuación del movimiento del centro de masas

que podemos escribir en términos del ángulo θ

    (1)

La ecuación del movimiento de rotación alrededor del c.m. es

      (2)

Donde I_c=mL²/12 es el momento de inercia de una varilla de masa m y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el c.m.

Eliminando la reacción N de las ecuaciones (1) y (2), obtenemos una ecuación diferencial que se resuelve por procedimientos numéricos

con las condiciones iniciales: t=0, θ= θ₀, dθ/dt=0.

Una vez calculado el ángulo θ en el instante t, la altura y del c.m. vale y=(L/2)cosθ.

Aproximación

Cuando el lápiz está en posición casi vertical, el ángulo θ es pequeño, y la velocidad dθ/dt es pequeña, la ecuación diferencial se puede escribir

La solución de esta ecuación diferencial es de la forma

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales t=0, θ= θ₀, dθ/dt=0.

θ=θ₀·cosh(k·t)

Si kt es grande, el coseno hiperbólico se puede aproximar a cosh(kt)≈exp(kt)/2, despejamos el tiempo t. 

Por ejemplo si L=1 m, θ₀=0.0001 rad y θ=0.1 rad, el tiempo t=0.99 s.

Balance energético

La energía cinética del lápiz es la suma de la energía de cinética de rotación alrededor del c.m. más la energía de traslación del c.m.

La energía potencial del c.m. es

E_p=mgy=mg(L/2)cosθ

La suma de ambas contribuciones es la energía total, que es la energía potencial inicial del lápiz

Derivando con respecto del tiempo,

despejamos d²θ/dt² y volvemos a obtener de nuevo la ecuación del movimiento.

En la posición final θ=π/2, la energía potencial del c.m. es nula, y la energía cinética se reparte del siguiente modo:

• una cuata parte para la energía cinética de rotación

• tres cuartas partes para la de traslación del c.m.

Actividades

Se introduce

• El ángulo θ₀ que forma el lápiz con la vertical en el instante inicial t=0, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo

• La masa de la barra se ha fijado en m=1 kg

• La longitud de la barra se ha fijado en L=1 m

Se pulsa el botón titulado Empieza

Observamos el movimiento del lápiz. En la parte derecha, tenemos un diagrama que nos muestra como van cambiando los distintos tipos de energía a medida que cae el lápiz

• la energía potencial, en color azul

• la energía cinética de rotación, en color rosa

• la energía cinética de traslación del c.m,. en color rojo