Sólido rígido |
Dinámica de rotación Ecuación de la dinámica de rotación Momentos de inercia Dinámica de rotación y balance energético Péndulo de torsión Péndulo compuesto El columpio Rozamiento en el movimiento de rotación El oscilador de "Atwood" Varilla inclinada Lápiz que cae (I) Lápiz que cae (II) Escalera que desliza
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 Escalera
apoyada en dos paredes perpendiculares
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En esta página, vamos a estudiar el comportamiento de una escalera homogénea apoyada en dos paredes perpendiculares. Supondremos que la pared vertical no ejerce ninguna fuerza de rozamiento sobre el apoyo.
Escalera apoyada en dos paredes perpendicularesEstáticaSupongamos una escalera homogénea de masa m y longitud L apoyada en dos paredes perpendiculares. Las fuerzas sobre la escalera son las que se ha dibujado en la figura.
La situación de equilibrio solamente nos proporciona tres ecuaciones (dos para las fuerzas y una para los momentos), sin embargo, tenemos cuatro incógnitas, el problema es indeterminado. Véase el primer artículo citado en las referencias. Para resolver el problema tenemos que suponer por ejemplo que Fy=0, en la pared vertical no hay rozamiento.
Conocido el ángulo θ, despejamos la fuerza de rozamiento Fr que impide que el extremo inferior deslice a lo largo de la pared horizontal
A medida que se incrementa el ángulo θ, se inclina cada vez más la escalera, la fuerza de rozamiento aumenta. Alcanza su valor máximo cuando Fr=μsN= μsmg Donde μs es el coeficiente estático de rozamiento El ángulo límite θl a partir del cual la escalera empieza a deslizar es tanθl=2μs Dinámica
1.- El extremo superior de la barra permanece en contacto con la pared vertical
La posición del centro de masas es (x, y). Mientras el extremo superior de la barra está apoyada en la pared vertical Fx>0, hay una relación entre x, y y el ángulo θ.
Derivamos dos veces respecto del tiempo
Despejamos Fx y N en las ecuaciones del movimiento del c.m.
Introducimos N, Fx y Fr=μN en la ecuación de la dinámica de rotación.
Se resuelve la ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: En el instante t=0, dθ/dt=0, θ=θ0. Observamos que la fuerza horizontal que ejerce la pared vertical Fx va disminuyendo hasta que se hace cero en el instante t1. El ángulo que forma la escalera con la vertical es θ1 y la velocidad angular de rotación es (dθ/dt)1. La velocidad horizontal del centro de masas es
2.- El extremo superior de la barra deja de estar en contacto con la pared vertical
Las ecuaciones del movimiento son
La ordenada y del centro de masas es
Derivamos dos veces respecto del tiempo
Despejamos la reacción N
Introducimos la expresión de N en la ecuación de la dinámica de rotación y en la de traslación del c.m. Obtenemos el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden
Se resuelve este sistema de dos ecuaciones diferenciales con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t1, el ángulo que forma la escalera con la vertical es θ1, la velocidad angular de rotación es (dθ/dt)1 y la velocidad horizontal del centro de masas es
Se detiene el movimiento cuando la escalera forma un ángulo θ=π/2 con la dirección vertical, cuando la escalera está tumbada en el suelo. ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Si el ángulo θ0 es menor que el ángulo límite tanθl=2μs
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Escalera apoyada en dos paredes perpendiculares por la que sube una persona.Supongamos una escalera homogénea de masa m y longitud L apoyada en dos paredes perpendiculares. Un hombre de masa M sube por la escalera hasta un peldaño situado a una distancia d del extremo inferior de la escalera, vamos a estudiar el comportamiento del sistema formado por la escalera supuesta una varilla homogénea y el hombre supuesto una masa puntual. Estática
Cuando la escalera forma un ángulo θ con la vertical las ecuaciones de equilibrio son: La resultante de la fuerzas debe ser cero.
El momento de las fuerzas respecto de cualquier punto (por ejemplo el extremo inferior de la escalera) es cero.
Conocido el ángulo θ, despejamos la fuerza de rozamiento Fr que sujeta el extremo inferior de la escalera.
A medida asciende el hombre por los peldaños de la escalera, se incrementa d, la fuerza de rozamiento aumenta. Alcanza su valor máximo cuando Fr=μsN= μs(mg+Mg) Donde μs es el coeficiente estático de rozamiento El valor máximo del desplazamiento dm del hombre a lo largo de la escalera es
Dinámica
Aplicando el teorema de Steiner calculamos el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de masas
La fuerza de rozamiento Fr=μN en el extremo inferior de la escalera disminuye ligeramente, ya que el coeficiente cinético μ suele ser menor que el estático μs El movimiento de la escalera consta de dos etapas: 1.- El extremo superior de la barra permanece en contacto con la pared vertical
Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas
La posición del centro de masas es (x, y). Mientras el extremo superior de la barra está apoyada en la pared vertical Fx>0, hay una relación entre x, y y el ángulo θ.
Derivamos dos veces respecto del tiempo
Despejamos Fx y N en las ecuaciones del movimiento del c.m.
Introducimos N, Fx en la ecuación de la dinámica de rotación. Obtenemos la ecuación diferencial
Se resuelve la ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: En el instante t=0, dθ/dt=0, θ=θ0. Observamos que la fuerza horizontal que ejerce la pared vertical Fx va disminuyendo hasta que se hace cero en el instante t1. El ángulo que forma la escalera con la vertical es θ1 y la velocidad angular de rotación es (dθ/dt)1. La velocidad horizontal del centro de masas es
2.- El extremo superior de la barra deja de estar en contacto con la pared vertical Las ecuaciones del movimiento son
Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas
La ordenada y del centro de masas es
Derivamos dos veces respecto del tiempo
Despejamos la reacción N
Introducimos la expresión de N en la ecuación de la dinámica de rotación y en la de traslación del c.m. Obtenemos el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden
Se resuelve este sistema de dos ecuaciones diferenciales con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t1, el ángulo que forma la escalera con la vertical es θ1 y la velocidad angular de rotación es (dθ/dt)1. y la velocidad horizontal del centro de masas es
Se detiene el movimiento cuando la escalera forma un ángulo θ=π/2 ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza La escalera permanece en equilibrio En caso contrario, observamos el movimiento del sistema formado por la escalera y una masa puntual y las fuerzas sobre la misma. |
Mendelson K. S. Statics of a ladder leaning against a rough wall. Am. J. Phys. 63 (2) February 1995. pp. 148-150.
public abstract class State {
double t;
double x;
double vx;
public State(double t, double x, double vx) {
this.t=t;
this.x=x;
this.vx=vx;
}
}
public class Estado extends State{
public Estado(double t, double x, double vx) {
super(t, x, vx);
}
}
public class Estado1 extends State{
double y;
double vy;
public Estado1(double t, double x, double y, double vx, double vy) {
super(t, x, vx);
this.y=y;
this.vy=vy;
}
}
public interface RK {
abstract public void resolver(State e);
}
public abstract class RungeKutta implements RK{
double h;
RungeKutta(double h){
this.h=h;
}
public void resolver(State e){
//variables auxiliares
double k1, k2, k3, k4;
double l1, l2, l3, l4;
double q1, q2, q3, q4;
double m1, m2, m3, m4;
//condiciones iniciales
double x=e.x;
double v=e.vx;
double t=e.t;
k1=h*v;
l1=h*f(x, v, t);
k2=h*(v+l1/2);
l2=h*f(x+k1/2, v+l1/2, t+h/2);
k3=h*(v+l2/2);
l3=h*f(x+k2/2, v+l2/2, t+h/2);
k4=h*(v+l3);
l4=h*f(x+k3, v+l3, t+h);
//nuevo estado del sistema
x+=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
v+=(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;
//cambia el estado de la partícula
e.x=x;
e.vx=v;
e.t=t+h;
}
abstract public double f(double x, double v, double t);
}
public abstract class RungeKutta1 implements RK{
double h;
RungeKutta1(double h){
this.h=h;
}
public void resolver(State e){
//variables auxiliares
double k1, k2, k3, k4;
double l1, l2, l3, l4;
double q1, q2, q3, q4;
double m1, m2, m3, m4;
//estado inicial
double x=e.x;
double y=((Estado1)e).y;
double vx=e.vx;
double vy=((Estado1)e).vy;
double t=e.t;
k1=h*vx;
l1=h*f(x, y, vx, vy, t);
q1=h*vy;
m1=h*g(x, y, vx, vy, t);
k2=h*(vx+l1/2);
l2=h*f(x+k1/2, y+q1/2, vx+l1/2, vy+m1/2, t+h/2);
q2=h*(vy+m1/2);
m2=h*g(x+k1/2, y+q1/2, vx+l1/2, vy+m1/2, t+h/2);
k3=h*(vx+l2/2);
l3=h*f(x+k2/2, y+q2/2, vx+l2/2, vy+m2/2, t+h/2);
q3=h*(vy+m2/2);
m3=h*g(x+k2/2, y+q2/2, vx+l2/2, vy+m2/2, t+h/2);
k4=h*(vx+l3);
l4=h*f(x+k3, y+q3, vx+l3, vy+m3, t+h);
q4=h*(vy+m3);
m4=h*g(x+k3, y+q3, vx+l3, vy+m3, t+h);
x+=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
vx+=(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;
y+=(q1+2*q2+2*q3+q4)/6;
vy+=(m1+2*m2+2*m3+m4)/6;
t+=h;
//estado final
e.x=x;
((Estado1)e).y=y;
e.vx=vx;
((Estado1)e).vy=vy;
e.t=t;
}
abstract public double f(double x, double y, double vx, double vy, double t);
abstract public double g(double x, double y, double vx, double vy, double t);
}
public class Sistema extends RungeKutta{
double mInercia;
final double m=10.0;
final double lonVarilla=1.0;
double mu;
Sistema(double mu, double h){
super(h);
this.mu=mu;
this.mInercia=m*lonVarilla*lonVarilla/12;
}
public double f(double x, double v, double t){ // x es ángulo, v es velocidad angular
double seno=Math.sin(x);
double coseno=Math.cos(x);
double A=mInercia+m*lonVarilla*lonVarilla/4-m*lonVarilla*lonVarilla*mu*seno*coseno/2;
double B=m*lonVarilla*lonVarilla*mu*coseno*coseno/2;
double C=m*9.8*lonVarilla*seno/2-m*9.8*mu*lonVarilla*coseno;
return ((B*v*v+C)/A);
}
public double fuerza_X(double x, double v){
double Fx=mu*9.8+(-mu*Math.sin(x)+Math.cos(x))*f(x, v, 0.0)*lonVarilla/2-
(mu*Math.cos(x)+Math.sin(x))*v*v*lonVarilla/2;
return (m*Fx);
}
public double fuerza_Y(double x, double vx){
double temp=9.8-(f(x, vx, 0.0)*Math.sin(x)+vx*vx*Math.cos(x))*lonVarilla/2;
return (m*temp);
}
}
public class Sistema1 extends RungeKutta1{
double mInercia;
final double m=10.0;
final double lonVarilla=1.0;
double mu;
Sistema1(double mu, double h){
super(h);
this.mu=mu;
this.mInercia=m*lonVarilla*lonVarilla/12;
}
public double g(double x, double y, double vx, double vy, double t){
return (-mu*fuerza_Y(x, vx)/m);
}
public double f(double x, double y, double vx, double vy, double t){
double seno=Math.sin(x);
double coseno=Math.cos(x);
double A=mInercia+m*lonVarilla*lonVarilla*seno*(seno-mu*coseno)/4;
double B=-m*lonVarilla*lonVarilla*coseno*(seno-mu*coseno)/4;
double C=m*9.8*lonVarilla*(seno-mu*coseno)/2;
return ((B*vx*vx+C)/A);
}
public double fuerza_Y(double x, double vx){
double temp=9.8-(f(x, 0.0, vx, 0.0, 0.0)*Math.sin(x)+vx*vx*Math.cos(x))*lonVarilla/2;
return (m*temp);
}
}
public class MiCanvas extends Canvas {
//objeto sistema
RK sistema;
double angInicial=Math.PI/6;
State estado=new Estado(0.0, angInicial, 0.0);
//otros miembros dato...
//funciones miembro
void setNuevo(int ang, double muEst, double muDin){
this.angInicial=ang*Math.PI/180;
this.mu=muDin;
tipo=1;
estado=new Estado(0.0, angInicial, 0.0);
if(angInicial>=Math.atan(2*muEst)){
sistema=new Sistema(mu, dt);
tipo=1;
}else{
tipo=3;
}
xExtremo=lonVarilla*Math.sin(angInicial);
repaint();
}
void mover(){
switch(tipo){
case 1:
sistema.resolver(estado);
xExtremo=lonVarilla*Math.sin(estado.x);
double fX=((Sistema)sistema).fuerza_X(estado.x, estado.vx);
if(fX<0){
double fY=((Sistema)sistema).fuerza_Y(estado.x, estado.vx);
sistema=new Sistema1(mu, dt);
double x0=lonVarilla*Math.sin(estado.x)/2;
double vx0=lonVarilla*Math.cos(estado.x)*estado.vx/2;
estado=new Estado1(estado.t, estado.x, x0, estado.vx, vx0);
fY=((Sistema1)sistema).fuerza_Y(estado.x, estado.vx);
tipo=2;
}
break;
case 2:
sistema.resolver((Estado1)estado);
xExtremo=((Estado1)estado).y+lonVarilla*Math.sin(estado.x)/2;
double vPunta=((Estado1)estado).vy+estado.vx*lonVarilla*Math.cos(estado.x)/2;
double dist=((Estado1)estado).y-lonVarilla*Math.sin(estado.x)/2;
if(dist<0){
parent.hilo.putMsg(Hilo.PAUSE);
System.out.println("vuelve a tocar");
}
if(estado.x>Math.PI/2){
estado.x=Math.PI/2;
parent.hilo.putMsg(Hilo.PAUSE);
}
if(vPunta<0){
parent.hilo.putMsg(Hilo.PAUSE);
System.out.println("se para");
}
break;
case 3:
break;
default:
break;
}
repaint();
}
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Escalera, estática y
dinámica
