Sólido rígido

Dinámica de rotación

Ecuación de la
dinámica de rotación

Momentos de inercia

Dinámica de rotación
y balance energético

Péndulo de torsión

Péndulo compuesto

El columpio

Rozamiento en el
movimiento de rotación

El oscilador de 
"Atwood"

Varilla inclinada

Lápiz que cae (I)

Lápiz que cae (II)

Escalera que desliza

Escalera, estática y
dinámica

Procedimientos de los mínimos cuadrados

Péndulo compuesto no homogéneo

Referencias

La medida de la aceleración de la gravedad g mediante el péndulo compuesto es una práctica habitual en el laboratorio de Física. En esta página, se explica y se simula esta experiencia, y se proporciona un programa interactivo que permite calcular la aceleración de la gravedad y el momento de inercia de la varilla aplicando el procedimiento de los mínimos cuadrados.

Fundamentos físicos

El péndulo compuesto es un sólido en rotación alrededor de un eje fijo. Cuando se separa un ángulo q  de la posición de equilibrio y se suelta, sobre el sólido actúa el momento del peso, que tiene signo contrario al desplazamiento.

La ecuación de la dinámica de rotación se escribe IO·a =-mgxsenq Donde x es la distancia entre el centro de masa y el centro de oscilación O. IO es el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de rotación que pasa por O.

Expresamos la ecuación de la dinámica de rotación en forma de ecuación diferencial

Esta no es la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple. Si la amplitud es pequeña podemos aproximar el seno del ángulo al ángulo medido en radianes senθ≈θ. La ecuación diferencial se escribe entonces

Esta es la ecuación diferencial de un M.A.S. de frecuencia angular ω y periodo P

Por el teorema de Steiner

R se denomina radio de giro, para una varilla R²=l²/12, siendo l la longitud de la varilla. El periodo se escribe

Cuando se representa P en función de x. Aparecen dos curvas simétricas con respecto a la posición de centro de masas. El periodo alcanza un valor infinito para x=0, es decir, cuando coincide el centro de masa con el centro de oscilación O. La curva presenta un mínimo para un cierto valor de x que se puede calcular derivando P respecto de x e igualando a cero.

Dado un valor de P podemos hallar los dos valores de x que hacen que el péndulo compuesto oscile con dicho periodo.

Para obtener estos valores, elevamos al cuadrado la fórmula del periodo P, obteniendo la ecuación de segundo grado

La ecuación de segundo grado en x, tiene dos soluciones, que se muestran en la figura, las abscisas x₁ y x₂ de las intersecciones de la recta horizontal (P=cte) y la curva (P en función de x).

De las propiedades de las soluciones de la ecuación de segundo grado

Midiendo en la gráfica x₁ y x₂ para un valor dado de P, obtenemos el valor de la aceleración de la gravedad g. También podemos obtener el momento de inercia del péndulo I_c=mR² compuesto respecto a un eje que pasa por el centro de masa, pesando en una balanza el péndulo y calculando R² mediante el producto de x₁ por x₂.

Ejemplo

Se ha realizado una experiencia con una varilla de l=1 m de longitud con agujeros cada 5 cm. En la figura vemos la representación del periodo P en función de x, y los datos experimentales (puntos de color rojo).

Vemos que para un periodo P=1.6 s, x₁=0.182 m y x₂=0.457 m. De la primera ecuación, despejamos g=9.85 m/s², y de la segunda calculamos R²=0.08≈1/12 m²

Actividades

Se mide el periodo de cinco oscilaciones para cada una de las posiciones del centro de oscilación.

El péndulo compuesto es una varilla de longitud l=1 m en la que se han hecho agujeros equidistantes 5 cm. El péndulo aparece oscilando en el primer agujero. Se mide el periodo de cinco oscilaciones poniendo en marcha el cronómetro, pulsando el botón titulado En marcha. Cuando se hayan completado las cinco oscilaciones se pulsa el mismo botón que ahora se titula Parar.

La medida del tiempo se guarda en el área de texto situada en la parte izquierda del applet.

Se pulsa el botón titulado Siguiente, para realizar la medida del periodo de cinco oscilaciones con el segundo agujero y así sucesivamente, hasta completar todas las medidas.

Se pulsa el botón titulado Gráfica. Aparece representada la curva P en función de x, y varios puntos en color rojo que son los datos "experimentales". La representación de las medidas efectuadas se situará sobre la curva si están realizadas con cuidado.

Situamos el puntero del ratón sobre la flecha roja situada a la derecha del applet. Se pulsa el botón izquierdo y se mantiene pulsado para mover la recta horizontal. Situamos la recta horizontal en aquél intervalo en el que interseca dos veces a la curva, obteniéndose dos valores de b, que se miden en el eje de las abscisas.

A partir de x₁ y x₂ para un valor dado de P, se pide hallar el valor de la aceleración de la gravedad, g=9.8 m/s2 y el radio de giro de la varilla R²=1/12.

Procedimiento de mínimos cuadrados

Elevando al cuadrado la fórmula del periodo P del péndulo compuesto

o bien, la función y=a/x+bx, con y=P²

Dada una tabla de valores x_i y periodos y_i se trata de calcular los valores de los coeficientes a y de b que mejor ajustan a los datos experimentales. El procedimiento aplicado es similar a la regresión lineal

Medimos el periodo P_i de péndulo para cada posición x_i, completando una tabla con N pares de datos

Si (x_i, y_i) son las coordenadas de un dato experimental, a la abscisa x_i le correspondería la ordenada y=a/x_i+bx_i. La diferencia es

d_i=y_i-a/x_i-bx_i

Calcularemos los valores de los parámetros a y b que hacen que la suma

sea mínima.

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, para determinar los coeficientes a y b.

Ejemplo

Datos tomados del programa interactivo más arriba.

Para una varilla de longitud l=1 m, el radio de giro vale R²=1/12, Los coeficientes a y b

Los valores experimentales que nos proporciona le programa interactivo son

a=0.333 m/s², b=4.025 s²/m

Actividades

Se introduce

• En los controles de edición de la columna de la izquierda, los datos de las posiciones x_i en m

• En los controles de edición de la columna de la derecha, los datos de los periodos P_i en segundos

Se pulsa el botón titulado Calcular

Para borrar los datos e introducir otros nuevos, se pulsa el botón titulado Borrar

Péndulo compuesto no homogéneo

Consideremos un péndulo compuesto formado por un tubo hueco largo y de pequeño radio de masa M0 y longitud L como se muestra en la figura. Se sujeta por un eje que pasa por uno de los extremos y se desplaza de la  posición de equilibrio comenzando a oscilar. El periodo es

Siendo I₀=M₀L²/3 el momento de inercia y y₀=L/2 la posición del centro de masa

Supongamos que el tubo hueco se rellena uniformemente hasta una altura h con una masa m de cierta sustancia (en color rojo). El periodo es

Donde I_m es el momento de inercia de la masa m alrededor del eje de oscilación e y es la distancia del centro de masa del sistema formado por el tubo y la masa m de relleno desde el centro de oscilación.

El periodo P vale

Sea M la masa de la sustancia que rellena completamente el tubo, entonces cuando el tubo está parcialmente lleno hasta una altura h,  m=M·h/L. El periodo P se expresa

El periodo P es función de los cocientes R=M/M₀ y x=h/L

El periodo P presenta un máximo para cierto valor de x=h/L, que se calcula igualando la derivada primera de P respecto de x, a cero, dP/dx=0

Resultando la ecuación

R²x⁴-4R²x³+3R²x²-3Rx²+4Rx-R=0

Que se puede resolver empleando procedimientos numéricos

Actividades

Se introduce

• El cociente R=M/M₀ en el control de edición titulado Cociente

• La altura x=h/L de sustancia en el tubo hueco, actuando en la barra de desplazamiento.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se mide el periodo de 3 oscilaciones del péndulo compuesto, mediante el cronómetro dispuesto al efecto. El botón titulado En marcha pone en marcha el cronómetro y el mismo botón titulado Parar, detiene el cronómetro. El tiempo medido se guarda en el control área de texto situado a la izquierda del applet.

Se cambia la altura x=h/L sin modificar el cociente R=M/M₀, y se mide el periodo de 3 oscilaciones del péndulo compuesto con el cronómetro.

Se repite hasta un máximo de 10 medidas con el mismo valor del cociente R=M/M₀

Una vez que se han realizado las medidas, se pula el botón titulado Gráfica.

Se representa en el eje vertical el periodo, y en el eje horizontal x=h/L, se observa que el periodo aumenta con x y luego disminuye, para un valor dado de x el periodo presenta un máximo que se señala en la curva.

Se cambia el valor del cociente R=M/M₀, y se pulsa el botón titulado Nuevo, y se repite la secuencia de medidas del periodo para distintos valores de x.