Sólido rígido |
Dinámica de rotación Ecuación de la dinámica de rotación Momentos de inercia Dinámica de rotación y balance energético Péndulo de torsión Péndulo compuesto
Rozamiento en el movimiento de rotación El oscilador de "Atwood" Varilla inclinada Lápiz que cae (I) Lápiz que cae (II) Escalera que desliza Escalera, estática y dinámica |
Etapas del movimiento | |||||||||||||||
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Se efectuará un análisis simplificado, en el que se considera al niño como una masa puntual situada en su centro de masas, que puede subir o bajar su c.m. una longitud δ mediante la acción de las fuerzas interiores. Se despreciará también el rozamiento del aire y en el eje del columpio.
Etapas del movimientoEn este apartado, haremos un análisis detallado de cada una de las etapas de un ciclo de las oscilaciones del columpio. Primera etapa
Segunda etapa
La velocidad angular final ω2 aumenta al disminuir la distancia al eje de rotación.
La energía total es
Balance energético Calculamos en la posición de equilibrio θ=0, la energía inicial, la final y el trabajo que ejercen las fuerzas interiores para subir una altura δ el centro de masas del niño. La energía inicial es
La energía final es
La fuerza F tiene el mismo sentido que el desplazamiento, el trabajo es positivo
Hemos comprobado que el trabajo realizado por las fuerzas interiores para elevar el c.m. es igual a la diferencia entre la energía final y la inicial. Tercera etapaTenemos ahora la situación opuesta a la primera etapa, el columpio con una velocidad angular inicial ω2 en la posición θ=0, alcanza un máximo desplazamiento angular θ1. Aplicando el principio de conservación de la energía
El ángulo máximo θ1 que se desvía el columpio es, combinado las expresiones anteriores
como d>(d-δ) resulta que θ1>θ0 La energía total es E2=mg(d-δ)(1-cosθ1)+mgδ=mgd(1-cosθ1)+mgδcosθ1 Cuarta etapa
La energía total es E3=mgd(1-cosθ1) Quinta etapaEs similar a la primera etapa, el columpio se mueve hacia la posición de equilibrio estable θ=0, que alcanza con una velocidad angular ω3. Aplicando el principio de conservación de la energía
La energía total es E3 Sexta etapa
Séptima etapaLa séptima etapa es similar a la tercera etapa. El columpio parte de la posición de equilibrio estable θ=0, con una velocidad angular inicial ω4, alcanzando un desplazamiento máximo θ2 que se obtiene aplicando el principio de conservación de la energía
Como ω4> ω3 el máximo desplazamiento θ2 > θ1 Relacionamos ambos desplazamientos mediante la fórmula
La energía total es E4=mg(d-δ)(1-cosθ2)+mgδ=mgd(1-cosθ2)+mgδcosθ2 Octava etapa
Ecuaciones del movimiento del columpio entre las posiciones media y extremas
El momento M de las fuerzas que actúan sobre la partícula respecto del origen O es M=-mglsenθ La ecuación del movimiento es dL/dt=M se escribe en forma de ecuación diferencial
Las condiciones iniciales dependen de cada etapa del movimiento:
Resumiendo
Ejemplo
En la figura se muestra un ciclo completo de operación del columpio
1.-La energía inicial es E1=mgd(1-cosθ0)=m·9.8·1.0·(1-cos10º)=0.15·m 2.-Se aplica el principio de conservación de la energía. La velocidad angular ω1 en la posición de equilibrio es
La energía E2=E1 3.-El centro de masa asciende, se conserva el momento angular md2·ω1=m(d-δ)2·ω2, ω2 =0.62 rad/s La energía total es
4.-La energía cinética se convierte en energía potencial, el columpio se desvía un ángulo θ1
La energía E4=E3 5.-El centro de masas desciende, la energía total es E5=m9.8·1(1-cos11º)=0.18·m 6.-Se aplica el principio de conservación de la energía. La velocidad angular ω3 en la posición de equilibrio es
La energía E6=E5 7.-El centro de masa asciende, se conserva el momento angular md2·ω3=m(d-δ)2·ω4, ω4 =0.68 rad/s La energía total es
8.-La energía cinética se convierte en energía potencial, el columpio se desvía un ángulo θ2
La energía E8=E7 9.-El centro de masas desciende, la energía total es E9=m9.8·1(1-cos12º)=0.22·m 10.-Comienza un nuevo ciclo. Los desplazamientos máximos se pueden calcular mediante las fórmulas
Aplicamos la misma fórmula para calcular el desplazamiento máximo θ2, conocido θ1.
y así sucesivamente... El programa interactivo, se ha diseñado de modo que el desplazamiento máximo θi (i=0, 1, 2,3 ..) no crezca indefinidamente. Cuando este desplazamiento supera 75º, se invierte el sentido de δ. El c.m. baja cuando el columpio pasa por la posición de equilibrio θ=0 disminuyendo la velocidad angular en vez de aumentarla. Desde el punto de vista energético diremos que las fuerzas interiores realizan un trabajo negativo que hacen que la energía final sea menor que la inicial. El columpio va disminuyendo de amplitud en cada ciclo de su movimiento oscilatorio, hasta pararse después de un tiempo teóricamente infinito. En la práctica, los rozamientos con el aire y en el eje y otras variables que no se han tenido en cuenta en este modelo simplificado hacen que se pare al cabo de cierto tiempo.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Se observa el movimiento del columpio, y el cambio de posición del c.m. del niño representado por un punto de color rojo, cuando el columpio pasa por las posiciones de máximo desplazamiento ω=0, por la posición de equilibrio estable θ=0. En la parte derecha del applet, se muestra la energía total del columpio. El nivel cero de energía potencial se ha establecido en la parte más baja de la trayectoria del c.m, es decir, en la posición del c.m. cuando el columpio está en equilibrio θ0=0. Podemos observar dónde cambia la energía total, y dónde se conserva, transformándose la energía potencial en cinética y viceversa. |
Tea P., Falk H. Pumping on a swing. Am. J. Phys. 36 (1968) 1165-1166
El columpio
